1、第五章用差分法和變分法解平面問題NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 51 1差分公式的推導差分公式的推導NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 51 1差分公式的推導差分公式的推導0 xy0312456789101112A1314BhhNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEA

2、STERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 51 1差分公式的推導差分公式的推導0 xy0312456789101112A1314Bhh,ffx yxxf22000200343400340012!113!4!ffffxxxxxxffxxxxxxNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 51 1差分公式的推導差分公式的推導0,0 xh0,0 xhh223330230

3、00223310230002626fhfhfffhxxxfhfhfffhxxx2230200221020022fhfffhxxfhfffhxx0fx220fxNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程220fx5 51 1差分公式的推導差分公式的推導130213022022fffxhffffxhy240224022022fffyhffffyh0fxNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEA

4、STERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 51 1差分公式的推導差分公式的推導 65782130068572222214ffffffyyffhhx yxyhhffffh 40139114404012345678224040241012440164142164ffffffxhffffffffffx yhffffffyhNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 51 1差分公式的推導差分公式的推導fxyNORT

5、HEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 52 2應力函數的差分解應力函數的差分解NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 52 2應力函數的差分解應力函數的差分解 當不計體力時，我們已把彈當不計體力時，我們已把彈性力學平面問題歸結為在給定邊性力學平面問題歸結為在給定邊界條件下求解雙調和方程的問題。界條件下求解

6、雙調和方程的問題。用差分法解平面問題，就應先將用差分法解平面問題，就應先將雙調和方程變換為差分方程，而雙調和方程變換為差分方程，而后求解之。后求解之。0 xy0312456789101112A1314Bhh40雙調和方程：雙調和方程：NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 52 2應力函數的差分解應力函數的差分解1 1、應力分量（不計體力）、應力分量（不計體力） 一旦求得彈性體全部節點的一旦求得彈性體全部節點的 值后，就可按應力分量差分公式（對值

7、后，就可按應力分量差分公式（對節點節點0 0）算得彈性體各節點的應力。）算得彈性體各節點的應力。0 xy0312456789101112A1314Bhh2240220021302200257682001()21()21()()4xyxyyhxhx yh 如果知道各結點的如果知道各結點的 值，就可以求得各結點的應力分量。值，就可以求得各結點的應力分量。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 52 2應力函數的差分解應力函數的差分解雙調和方程雙調和方

8、程 對于彈性體邊界以內的每一結點，都可以建立這樣一個差分方程。對于彈性體邊界以內的每一結點，都可以建立這樣一個差分方程。 應力函數在域內應該滿足上式。應力函數在域內應該滿足上式。444422420 xxyy整理即得整理即得2 2、差分方程（相容方程）、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式相容方程的差分公式0 xy0312456789101112A1314Bhh0123456789101112208() 2() () 0 NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性

9、力學簡明教程5 52 2應力函數的差分解應力函數的差分解 當對于邊界內一行的（距邊界為當對于邊界內一行的（距邊界為h的）結點，建立的差分方程還將涉及的）結點，建立的差分方程還將涉及邊界上各結點處的邊界上各結點處的 值，并包含邊界外一行的虛結點處的值，并包含邊界外一行的虛結點處的 值。值。為了求得邊界上各結點處的為了求得邊界上各結點處的 值，須要應用應力邊界條件，即：值，須要應用應力邊界條件，即： xyxxxyyylmflmf 在 上s代入上式，即得：代入上式，即得： 222222;xylmflmfyx yx yx （b）22222,xyxyyxx y （a）NORTHEASTERN UNIVE

10、RSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 52 2應力函數的差分解應力函數的差分解由圖（由圖（52）可見）可見cos,coscos,sindyln xdsdxmn yds AB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx圖5-2因此，式（因此，式（b）可以改寫成）可以改寫成222222ddddddddxyyxfsysx yyxfsx ysx NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力

11、學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 52 2應力函數的差分解應力函數的差分解約去約去 dy、dx 得得： xyddffdsydsx ； （c）關于邊界上任一點處關于邊界上任一點處 、 的值，可將上式從基點的值，可將上式從基點 A A 到到 任意點任意點B B ，對對 s s 積分得到：積分得到：xyddBBBBxyAAAAfsfsyx；ddBBxyAABABAfsfsyyxx ； （d）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 52 2應

12、力函數的差分解應力函數的差分解由高等數學可知，由高等數學可知，ddd.dddxysxsys 將此式亦從將此式亦從 A A 點到點到 B B 點沿點沿 s s 進進行積分，就得到邊界上任一點行積分，就得到邊界上任一點 B B 處的處的 值。為此利用分部積分法，得：值。為此利用分部積分法，得： dddd ,ddBBBBBAAAAAxxsyysxsxysy bbbaaau x dv xu x v xv x du xAB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx圖5-2NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERS

13、ITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 52 2應力函數的差分解應力函數的差分解將式將式( (c),(dc),(d) )代入，整理得：代入，整理得：由前知，把應力函數加上一個線性函數，并不影響應力。因此，可設由前知，把應力函數加上一個線性函數，并不影響應力。因此，可設想把應力函數加上想把應力函數加上a+bx+cy，然后調整然后調整a，b，c三個數值，使得三個數值，使得由式由式(d)(d)及式及式(c)(c)可見，設可見，設 已知，則可根據面力分量求得已知，則可根據面力分量求得邊界邊界s s上任一點上任一點B B的的 ,.BBBxy,AAAxy0A0,0AAxy()()()d(

14、)dBBBABABABxByAAAAxxyyyy fsxxfsxy（e）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 52 2應力函數的差分解應力函數的差分解于是式于是式(d)，式式(e) 簡化為：簡化為：dd()d()dBxABByABBBBBBxyAAfsyfsxyy fsxxfs （511）（512）（513） 討論：討論：（1）（）（511）右邊積分式表示）右邊積分式表示AB之間，之間， 方向的面力之和；方向的面力之和；x（2）（）（512）右

15、邊積分式表示）右邊積分式表示AB之間，之間， 方向的面力之和改號；方向的面力之和改號；y（3）（）（513）右邊積分式表示）右邊積分式表示AB之間，之間， 面力對面力對B的力矩之和；的力矩之和；（4）以上結果不能用于多連體的情況。）以上結果不能用于多連體的情況。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 52 2應力函數的差分解應力函數的差分解邊界外一行的虛節點的邊界外一行的虛節點的 值值139141022ABhxhy（514）0 xy0312456

16、789101112A1314Bhh1392Axh14102AyhNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 52 2應力函數的差分解應力函數的差分解用差分法解彈性平面問題時，可按下列步驟進行：用差分法解彈性平面問題時，可按下列步驟進行：（2 2）應用公式（）應用公式（5 51414），將邊界外一行虛結點處的），將邊界外一行虛結點處的 值用邊界內的相值用邊界內的相 應結點處的應結點處的 值來表示。值來表示。0AAAxy取取 （1 1）在邊界上任意選定一

17、個結點作為基點）在邊界上任意選定一個結點作為基點A A，然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結點處然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結點處 的值，以的值，以及所必需的一些及所必需的一些 及及 值，即垂直于邊界方向的導數值。值，即垂直于邊界方向的導數值。xy（3 3）對邊界內的各結點建立差分方程（）對邊界內的各結點建立差分方程（5 51010），聯立求解這些結點處的），聯立求解這些結點處的 值。值。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5

18、52 2應力函數的差分解應力函數的差分解（5 5）按照公式（）按照公式（5 59 9）計算應力的分量。）計算應力的分量。 說明：說明： 如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐標軸正交，則邊界附近將如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐標軸正交，則邊界附近將出現不規則的內結點。對于這樣的結點，差分方程（出現不規則的內結點。對于這樣的結點，差分方程（5 51010）必須加）必須加以修正。以修正。（4 4）按照公式（）按照公式（5 51313），算出邊界外一行的各虛結點處的），算出邊界外一行的各虛結點處的 值。值。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYN

19、ORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程 設彈性

20、體在一定外力作用下，處于設彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態平衡狀態，發生的，發生的真實位移真實位移為為u,v,w，它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條件它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條件和用位移表示的應力邊界條件。彈性體受力后，發生變形，外力作和用位移表示的應力邊界條件。彈性體受力后，發生變形，外力作功，外力功轉化為變形能，儲存在彈性體內，單元體內的變形能為功，外力功轉化為變形能，儲存在彈性體內，單元體內的變形能為5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能1()12xxyyzzyzyzzxzxxyxyU 101d2ijijijijijU 1

21、1d d dd dd2ijijUU x y zxyz NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能112xxyyxyxyU 112xxyyxyxyAAUU dxdydxdy 22112 1xxyyyxxyxyEEE222121222 1xyxyxyEU ,xyxy111,xyxyxyxyUUU（515）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSIT

22、YNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能222121222 1EuvuvvuUxyxyxy 21EE1平面應力 平面應變22221222 1AEuvuvvuUdxdyxyxyxy （516）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能NORTHEASTERN UNIVERS

23、ITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能,xyffS,xyffxyxyAsVWf uf v dxdyf uf v ds （518）xyxyAsWf uf v dxdyf uf v ds（517）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 55 5 位移變分方程位移變分方程NORTHE

24、ASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程 設有任一彈性體，在一定外力作用下處于設有任一彈性體，在一定外力作用下處于平衡狀態平衡狀態。命。命 為該彈性體中為該彈性體中實際存在實際存在的位移分量，它們滿足位移分量表示的平衡微分的位移分量，它們滿足位移分量表示的平衡微分方程，并滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應力邊界條件。方程，并滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應力邊界條件。, ,u v w 假想假想，位移分量發生了位移邊界條件

25、所容許的微小改變，即，位移分量發生了位移邊界條件所容許的微小改變，即虛位移虛位移，或或位移變分位移變分, uv,uuuvvv對于三維時：對于三維時：,uuuuuuwww一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）注：變分和微分都是微量，運算方法相同。注：變分和微分都是微量，運算方法相同。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程給出彈性體的限制條件：給出彈性體的限制條件：（1）沒有溫度改變

26、（熱能沒變）；）沒有溫度改變（熱能沒變）；（2）沒有速度改變（動能沒變）。）沒有速度改變（動能沒變）。根據能量守恒，變形勢能的增加等于外力勢能的減少（外力的虛功）根據能量守恒，變形勢能的增加等于外力勢能的減少（外力的虛功）三維：三維：xyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw ds上式：位移變分方程（拉格朗日變分方程）上式：位移變分方程（拉格朗日變分方程）xyxyAsUfufv dxdyfufv ds體力的虛功面力的虛功（522）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈

27、性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程二、虛功方程二、虛功方程按照變分原理，變分運算與定積分的運算可以交換次序。11UU dxdydzU dxdydz利用（515）111111xyzyzzxxyxyzyzzxxyxxyyzzyzyzzxzxxyxyUUUUUUUdxdydzdxdydz 代入位移變分方程xyzxyzxxyyzzyzyzzxzxxyxyfufvfw dxdydzfufvfw dsdxdydz （524）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教

28、程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程對應于二維情況sxyxyAxxyyxyxyAfufv dxdyfufv dsdxdy （524） （524）就是虛功方程虛功方程，表示：如果在虛位移發生前，彈性體是處于平衡狀態平衡狀態，那么，在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功虛功，等于應力在虛應變上所做的虛功虛功。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程三、極小勢能原理三、極小勢能原理令在

29、虛位移過程中，外力的大小和方向保持不變，只是作用點發生了改變xyzxyzxyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw dsf uf vf w dxdydzf uf vwfds將變分與定積分交換次序，移項0 xyzxyzUf uf vf w dxdydzf uf vf w ds令xyzxyzVf uf vf w dxdydzf uf vf w ds 極小勢能原理極小勢能原理： （523） 0UVNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程極小勢能原

30、理極小勢能原理： （523） 0UV5 55 5位移變分方程位移變分方程 在給定外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中間，實際存在的一組位移應使總勢能成為極值，對于穩定平衡狀態，這個值是極小值。 位移變分方程（極小勢能原理或虛功方程）等價于平衡微分方程和應力邊界條件。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程5 56 6 位移變分法位移變分法NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHE

31、ASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程56位移變分法（瑞利-里茨法）位移變分法：位移變分法：（1）設定一組包含若干待定系數的位移分量表達式；（2）使它們滿足位移邊界條件；（3）令其滿足位移變分方程（代替平衡微分方程核應力邊界條件）并求 出待定系數，就同樣地能得出實際位移解答。（1）位移分量表達式）位移分量表達式00,m mm mmmuuA uvvB v（525）其中：其中： 和和 是坐標的函數，是坐標的函數， 為為2m個互不依賴的待定系數個互不依賴的待定系數。00,u v,mmuv,mmABNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEA

32、STERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程（2）考察是否滿足邊界條件？56位移變分法令 等于給定約束位移值 ；us,u vus在邊界 上，令 等于零。,mmuv邊界條件滿足邊界條件滿足（3）怎樣滿足變分方程（522）？xyxyAsUfufv dxdyfufv ds體力的虛功面力的虛功（522）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程位移分量的變分56位移變分法,mmm

33、mmmuuAvvB注：位移分量的變分是由系數 的變分來實現的。,mmAB（a）形變勢能的變分mmmmmUUUABAB（b）（a），（b）代入變分方程（522）mmmmmxmmymmxmmymmAsmmUUABABf uAf vBdxdyf uAf vBdsNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程56位移變分法移項，整理0 xmxmmymymmAsAsmmmmUUf u dxdyf u dsAf v dxdyf v dsBAB變分 是任意的，互不依賴的

34、，所以系數必須為零,mmAB00 x mx mAsmy my mAsmUf u dxdyf u dsAUf v dxdyf v dsB（526）討論：（1）由于系數互不依賴，所以可由方程（526）求出各個系數；（2）再由（525）求得位移分量；（3）再求應變和應力分量。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程57位移變分法的例題NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNI

35、VERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程57位移變分法的例題例1：如圖（59）所示薄板，不計體力， 約束和外力如圖。圖：591 111 11uAuAxvBvB y（1）取位移分量表達式如下（2）考察是否滿足邊界條件？滿足22221222 1AEuvuvvuUdxdyxyxyxy （516）（3）由（526）求出待定常數，得到位移分量的解答首先，由（516）求出形變勢能（b）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程57位移變分法的

36、例題形變勢能的表達式22111120022 1abEUABAB dxdy 進行積分221111222 1EabUABAB由于不計體力，項數為1，（526）簡化為1111xsysUf u dsAUf v dsB（c）（d）（e）代入邊界條件積分NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程57位移變分法的例題（d），（e）式就變為1211,UUq abq abAB （f）再把形變勢能（c）代入上式11121122222 1222 1EabABq abEabB

37、Aq ab 解得11,A B122111,qqqqABEE （g）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程位移分量的解答1221,qqqquxvyEE （h）（4）由幾何方程求出應變分量；（5）由物理方程求出應力分量；57位移變分法的例題NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程例2xy0aabb圖510問題描述：如圖問題描述：如圖510，不計體力，自由邊，不計體力，自由邊 給定位移：給定位移：求：薄板位移求：薄板位移（1）取位移分量表達式如下）取位移分量表達式如下220,1xuva （i）2122212211111xx yyuAaa bbxyxyyvBababb （j）（k）57位移變分法的例題NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程彈