1、高中數學第一章統計案例1.1回歸分析的基本思想及初步應用2教案新人教A版選修12【學情分析】：學生已掌握建立線性回歸模型的知識，并能用所學知識解決一些簡單的實際問題。在教學中，要結合實例讓學生了解評價回歸效果的三個統計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和。初步了解可以通過求回歸模型的相關指數或利用殘差分析不同的回歸模型的擬合精確度。在起點低的班級中注重讓學生參與實踐，鼓勵學生通過收集數據，經歷數據處理的過程，從而進一步體會回歸分析中的數理計算，初步形成運用統計方法解決實際問題的基本思想，認識統計方法在決策中的作用。讓學生直觀的觀察、思考，借助于線性回歸模型研究呈非線性關系的兩個變量之間的關

2、系?！窘虒W目標】：（ 1） 知識與技能：了解評價回歸效果的三個統計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和；了解偏差平方和分解的思想；了解判斷刻畫模型擬合效果的方法相關指數和殘差分析；了解非線性模型通過變換轉化為線性回歸模型。（ 2） 過程與方法：本節內容先從大學中女大學生的甚高和體重之間的關系入手，求出相應的回歸直線方程，從中也找出存在的不足，從而有進行回歸分析的必要性，進而學習相關指數，用相關指數來刻畫回歸的效果。（ 3） 情感態度與價值觀：從實際問題中發現自己已有知識的不足之處，激發學生的好奇心和求知欲，培養學生不滿足于已有知識，勇于求知的良好個性品質，引導學生積極進取?！窘虒W重點】：1

3、、了解判斷刻畫模型擬合效果的方法相關指數和殘差分析；2、通過探究使學生體會有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回歸模型。【教學難點】：1、 解釋殘差變量的含義；2、了解偏差平方和分解的思想?！菊n前準備】：課件【教學過程設計】教學環節教學活動設計意圖一、創設情境1 .由例1知，預報變量（體重）的值受解釋變量（身高）或隨機誤差的影響。2 .問題一：為了刻回預報變量（體重）的變化在多大程度上與解釋變量（身高）有美,在多大程度上與隨機誤差有關？我們引入了評價回歸效果的三個統計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和。引入回歸分析的效果評價的三個統計量二、探究新知總偏差平方和：每個效應（觀測值減去總的平

4、均值）的平方注起來，即n用yiy表小總的效應；i1n學生動手計算出例1中的總偏差平方和。yiy2354i1殘差平方和：數據點和它在回歸直線上相應的位置的差異yi?i是n一,一_一2隨機誤差的效應，稱ayi%為殘差，yi?為殘差平方和；i1結合實例由結果分析殘差圖是否異常，養成從實際問題出發，抽象為數學問題中的線性回歸問題，從而指導實際問題的解決。學生動手計算出例1中的殘差（如下表）與殘差平方和。編R12345678身高/cm16516515717017516515517體重/kg48575054646143554.3754.3747.5858.6162.8654.3745.8858.yi331

5、83338-6.37-4.61-2.88ei32.6272.41981.1376.62730.3n2yi?128.361i1回歸平方和：解釋變量和隨機誤差的總效應（總偏差平方和），即總的偏差平方和=回歸平方和+殘差平方和，所以回歸平方和二總的偏差平方和一殘差平方和學生動手計算出例1中的回歸平方和。354128.361225.639學習要領：注意yi、？、y的區別;預報變量的變化程度可以分解為由解釋變量引起的變化程度與殘差變量的變化程度之和；當總偏差平方和相對固定時，殘差平方和越小，則回歸平方和越大，此時模型的擬合效果越好；nyi?2對于多個不同的模型，我們還可以引入相關指數R21二_2yiyi

6、1來刻畫回歸的效果，它表示解釋變量對預報變量變化的貢獻率.R2的值越接近于1,說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合的效果越好，即解釋變置和預報變量的線相關性越強nyi?2代入例1中的數據知例1中的R21=0.64,即解2yiyi1釋變量對總效應約貢獻了64%而隨機誤差貢獻了剩余的36%所以身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多。問題二：觀察圖1.1-5中的殘差圖，樣本點是如何分布？有無異常情況（個別數據對應殘差過大，或殘差呈現不隨機的規律性等等）？師：提出問題，指導學生畫出殘差圖（以殘差為縱坐標，樣本編號或身高或體重為橫坐標作出圖形），引導學生進行殘差分析，從而做到檢8查數據是否有誤，或模型是

7、否合適等。引導學生利用殘差也可以分析所求出的模型的擬合三、例題選講效果通過學生動手計算感受相關指數R2與殘差分析說明回歸方程的預報情況。編R1234567溫度x/ ° C21232527293235產卵數y/個711212466115325卜表中，試建立 y與x之間的回歸方程。問題三：例2中如何選擇解釋變量與預報變量?引導學生分析 哪個變量作自變 量，哪個變量作因 變量引導學生根據 散點圖判斷兩個變 量的關系，使學生 了解不是任何兩個 變量都一定是線性 關系。生：分析、討論。從殘差圖中可以看到第1個樣本點和第6個樣本點的殘差較大，需要確認是否出現采集的錯誤，指導學生去掉這兩個數據后重

8、新再計算回歸方程與相關指數R2,了解到擬合的效果會更好。引導學生歸納殘差所能說明的情況：樣本點的殘差比較大，確認采集數據時是否出現人為的錯誤或其他原因；殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，說明選用的模型比較合適，帶狀區域的寬度越窄，模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。例2：一只紅鈴蟲的產卵數y和溫度x有關，現收集了7組觀測數據列于師：讀例2的要求，引導學生理解例題含義。生：思考、討論、敘述自己的理解。形成把溫度x作自變量，紅鈴蟲的產卵數y作因變量的共識問題四：觀察圖1.1-6中的散點圖，紅鈴蟲的產卵數y與溫度x具有線性關系嗎？除線性關系外，還學過哪些常見的函數關系？師：繪制散點圖1.1

9、-6,引導學生觀察散點圖的特點：隨著自變量的增加，因變量也隨之增加。引導學生探究紅鈴蟲的產卵數y與溫度x更可能是什么關系，選擇幾個模型，比如線性回歸模型、二次函數模型、指數函數模型。而二次與指數函數模型是屬于非線性回歸模型。生：討論、回憶一些常見函數圖象的特點，判斷紅鈴蟲的產卵數y與溫度x的可能關系從散點圖中可以看到樣本點分布在指數函數曲線yGec2x的周圍。問題五：請學生思考能否把模型yc1ec2x經過變換后轉化為另外兩個變量的線性關系？師：提出問題，引導學生尋找變換的方法，在學生討論后給出具體的方法。生：思考、討論、解釋。解答過程如下：對yGec2”兩邊取自然對數lnyInc1ec2xIn

10、c1Inec2xInc1c2xIneInc1c2Inex使學生進一步 體會把因變量與自 變量的非線性關系 經過變換后轉化為 另外兩個變量的線 性關系的方法。令zIny,建立z與x之間的線性回歸方程zInc1c2x問題六：經過變換后指數函數模型yGec2"轉化為線性回歸模型zInc1c2x,你如何得到這個線性回歸模型的參數估計？師：提出問題，引導學生分組討論，啟發學生把原變量的觀測數據轉化為新變量的數據，然后讓學生給出每種線性回歸模型的參數估計。生：以組為單位進行數據變換，求參數的最小二乘估計（可以用計算器）解答過程如下：令alnc1,bc2，即zabx分析x與z之間的關系，通過畫散點

11、圖（如下圖），可知x與z之間是存在著線性回歸關系， 可以用最小二乘法求出線性回歸方程z a bx使學生熟悉線性回歸模型的參數估計的方法733.7 7 27.43 3.61_. 25414 7 27.430.272編R1234567合計溫度x/°C21232527293235192產卵數y/個711212466115325569z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.78425.2852xi441529625729841102412255414xizi40.955.276.185.8121.5151.8202.4733.7x27.429z3.612nxi12_.5414ni1xiyy733.71列表計算出各個量nxizinxzi1n2-2xinxi1?z1?x3.843?0.272x3,843問題七：我們的目標是建立紅鈴蟲的產卵數y與溫度x的模型，如何使得到的線性回歸模型再變回紅鈴蟲的產卵數y與溫度x的模型？師：提出問題。生：進行變換，每組得到紅鈴蟲的產卵數y與溫度x的模型。因為zIny,所以ln?0.272x3,843,即y?e0,272x3,843o得出紅鈴蟲的產卵數y與溫度x的模型四、練習1.試對下列非線性模型進行適當的變形，使之線性化yeax；yabx解：對yeax兩邊取自然對數，