1、解解排列組合排列組合的問題一般的思考過程如下：的問題一般的思考過程如下：元素放進位置元素放進位置(1)(1)弄清楚要做什么事弄清楚要做什么事. .(2)(2)怎么做才能完要做的事怎么做才能完要做的事.(.(熟悉兩個計數原理熟悉兩個計數原理) )即采取即采取分步分步還是還是分類分類，或，或分步分類分步分類同時進行。同時進行。(3)(3)確定確定每一類每一類或或每一步每一步是是有序（排列）有序（排列）還是還是無無序（組合）序（組合）問題。問題。元素元素總數多少，取多少個總數多少，取多少個元元素素。(4)(4)掌握一些常用的解題策略。掌握一些常用的解題策略。常用的解題策略常用的解題策略（1）特殊元素

2、，特殊位置優先處理策略）特殊元素，特殊位置優先處理策略（2）相鄰元素，捆綁策略）相鄰元素，捆綁策略（3）不相鄰元素，插空策略）不相鄰元素，插空策略（4）定序問題，倍縮策略，空位策略，插入策略）定序問題，倍縮策略，空位策略，插入策略（5）允許重復的排列問題，以元素為對象，求冪策略）允許重復的排列問題，以元素為對象，求冪策略（6）排列組合混合問題，先選后排策略）排列組合混合問題，先選后排策略（7）元素相同，隔板策略）元素相同，隔板策略（8）多類元素，分類，分步策略）多類元素，分類，分步策略（9）平均分組，除法策略）平均分組，除法策略（11）正難則反，總體淘汰策略）正難則反，總體淘汰策略（10）樹形

3、圖策略）樹形圖策略（1）特殊元素，特殊位置優先處理策略）特殊元素，特殊位置優先處理策略例例1：由：由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字可以組成多少個沒有重復數字五位奇數五位奇數.解解: :由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求, ,應該優先安排應該優先安排, ,以免不合要求的元素占了這兩個位置以免不合要求的元素占了這兩個位置. . C14A34C1313C第一步：排末位，共有第一步：排末位，共有1，3,5三個選一個三個選一個14C 第二步：排首位，共有第二步：排首位，共有 除了除了0和末位選擇的一個數字外，剩余和末位選擇的一個數字外，剩余4個數字個數字34A 第三步：排

4、其它位置共有第三步：排其它位置共有 其余的四個數字沒限制，全排列其余的四個數字沒限制，全排列由分步計數原理得由分步計數原理得113434288C C A 策略說明：策略說明：位置分析法位置分析法和和元素分析法元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法, ,1 1）若以）若以元素分析元素分析為主為主, ,需先安排特殊元素需先安排特殊元素, ,再處理其它元素再處理其它元素. .2 2）若以）若以位置分析位置分析為主為主, ,需先滿足特殊位置的要求需先滿足特殊位置的要求, ,再處理其它位置。再處理其它位置。3 3）若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條

5、件的同時還要兼顧其它條件）若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件4）在同一題里，是選擇）在同一題里，是選擇元素分析，元素分析，還是還是位置分析，位置分析，可以根據題目中的可以根據題目中的特殊元素特殊元素，特特殊位置殊位置個數較少的來選擇。個數較少的來選擇。練習題練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？2545A A元素分析元素分析3454A A位置分析位置分析（2）相鄰元素，捆綁策略）相鄰元素，捆綁策略例例2：7

6、人站成一排人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種共有多少種 不同的排法不同的排法.解：可先將解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素復合元素， 同時同時丙丁也看成一個丙丁也看成一個復合元素復合元素，再與其它元素進行排列再與其它元素進行排列， 同時同時對相鄰元素內部進行自排對相鄰元素內部進行自排。由分步計數原理可得共有。由分步計數原理可得共有522522480A A A 種不同的排法。種不同的排法。乙乙甲甲丁丁丙丙策略說明策略說明要求某幾個元素必須排在一起的問題要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題可以用捆

7、綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素即將需要相鄰的元素合并為一個元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列再與其它元素一起作排列,同時要同時要注意注意合并元素合并元素內部也必須排列內部也必須排列.練習題練習題:某人射擊某人射擊8槍，命中槍，命中4槍，槍，4槍命中恰好有槍命中恰好有3槍連在一起的槍連在一起的情形的不同種數為情形的不同種數為 20 （先思考，再看解析）（先思考，再看解析）解：四搶命中，即有四槍不命中。可以把不命中的四槍排開，則有解：四搶命中，即有四槍不命中。可以把不命中的四槍排開，則有5 5個空隙，個空隙， 3槍連在一起，看成一個元素，與另外一槍（看成另一元素），安排放進槍連在一起，

8、看成一個元素，與另外一槍（看成另一元素），安排放進5個空隙中。個空隙中。2520C本題，既有本題，既有捆綁捆綁，也有，也有插空。插空。（3）不相鄰元素，插空策略）不相鄰元素，插空策略例例3：一個晚會的節目有：一個晚會的節目有4個舞蹈個舞蹈,2個相聲個相聲,3個獨唱個獨唱,舞蹈節目不能舞蹈節目不能連續出場連續出場,則節目的出場順序有多少種？則節目的出場順序有多少種？55A第一步排第一步排2 2個相聲和個相聲和3 3個獨唱共有個獨唱共有 （第一步跟順序有關，排列問題）（第一步跟順序有關，排列問題）5456A A由分步計數原理由分步計數原理, ,節目的不同順序共有節目的不同順序共有解解:分兩步進行分

9、兩步進行46A第二步將第二步將4舞蹈插入第一步排好的舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共個元素中間包含首尾兩個空位共有有 （第二步依舊與順序有關，排列問題）（第二步依舊與順序有關，排列問題）策略說明策略說明元素不相鄰問題元素不相鄰問題可可先先把沒有位置要求的元素進行排隊，把沒有位置要求的元素進行排隊，再再把不相鄰元素插入中間把不相鄰元素插入中間和兩端。和兩端。練習題練習題1：某班新年聯歡會原定的某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目又增加了兩個新節目.如果將這兩個新節目插入原節目單中，如果將這兩個新節目插入原節目單中，且兩個新

10、節目不相鄰，那么不同插法的種數為（且兩個新節目不相鄰，那么不同插法的種數為（ ） 26A練習題練習題2 2：馬路上有編號為馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈的九只路燈, ,現要現要關掉其中的關掉其中的3 3盞盞, ,但不能關掉相鄰的但不能關掉相鄰的2 2盞或盞或3 3盞盞, ,也不能關掉兩端的也不能關掉兩端的2 2盞盞, ,求滿足條件的關燈方法有多少種？求滿足條件的關燈方法有多少種？35C解：解：把此問題當作在把此問題當作在6盞亮燈的盞亮燈的5個空隙中插入個空隙中插入3個不亮的燈有個不亮的燈有（4）定序問題，倍縮策略，空位策略，插入策略

11、）定序問題，倍縮策略，空位策略，插入策略例例4：7人排隊人排隊,其中甲乙丙其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法。人順序一定共有多少不同的排法。解解:(:(倍縮法倍縮法) )對于某幾個元素順序一定的排列問題對于某幾個元素順序一定的排列問題, ,可可先先把這幾個元素與其他元素一起進行排列把這幾個元素與其他元素一起進行排列, ,然后然后用總排列數除以用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數這幾個元素之間的全排列數, ,則共有不同排法種數是：則共有不同排法種數是：7373/AA47A47A( (空位法空位法) )設想有設想有7 7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種

12、方法，其余的三個位置甲乙丙共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1 1種坐法，則共有種坐法，則共有種方法。種方法。（插入法（插入法)先排甲乙丙三個人先排甲乙丙三個人,7個位置選擇個位置選擇3（無序組合問題）有（無序組合問題）有 ， 因為定序，共有因為定序，共有1種排法種排法,再把其余再把其余4四人依次插入共有四人依次插入共有 37C34741CA 練習題練習題:10人身高各不相等人身高各不相等,排成前后排，每排排成前后排，每排5人人,要求從左至右要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？身高逐漸增加，共有多少排法？510C（5）允許重復的排列問題，以元素為對象，求冪策略）允許重復的排列問題，以元

13、素為對象，求冪策略例例5：把：把6名實習生分配到名實習生分配到7個車間實習個車間實習,共有多少種不同的分法共有多少種不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名實習生分配到車間有把第一名實習生分配到車間有 7 7 種分法種分法. .把第二名實習生分配到車間也有把第二名實習生分配到車間也有 7 種分種分法法依此類推依此類推, ,由分步計數原理共有由分步計數原理共有67策略說明策略說明允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地一般

14、地n不同的元素沒有限制地安排在不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為個位置上的排列數為nm練習題：練習題： 某某8 8層大樓一樓電梯上來層大樓一樓電梯上來8 8名乘客人名乘客人, ,他們到各自的一層下電梯他們到各自的一層下電梯, ,下電梯的方法下電梯的方法872.某班新年聯歡會原定的某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中，如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為那么不同插法的種數為 42 （6）排列組合混合問題，先選后排策略）排列組合混合問題，先選后排策略例例6：有：有5

15、個不同的小球個不同的小球,裝入裝入4個不同的盒內個不同的盒內,每盒至少裝一個球每盒至少裝一個球, 共有多少不同的裝法共有多少不同的裝法.25C解解: :第一步第一步從從5 5個球中選出個球中選出2 2個組成個組成一個一個復合元素復合元素共有共有44A第二步第二步把把4 4個元素個元素( (包含一個復合元素包含一個復合元素) )裝入裝入4 4個不同的盒內有個不同的盒內有2454C A根據根據分步計數原理分步計數原理裝球的方法共有裝球的方法共有策略說明策略說明解決排列組合混合問題解決排列組合混合問題,先選后排先選后排是最基本的指導思想是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎此法與相鄰元素捆

16、綁策略相似嗎? 練習題練習題1：一個班有一個班有6名戰士名戰士,其中正副班長各其中正副班長各1人現從中選人現從中選4人完成人完成四種不同的任務四種不同的任務,每人完成一種任務每人完成一種任務,且正副班長有且只有且正副班長有且只有1人參加人參加,則不同的選法有則不同的選法有 種種練習題練習題2：有有6名男醫生，名男醫生，4名女醫生，從中選出名女醫生，從中選出3名男醫生，名男醫生，2名女醫生到名女醫生到5個不同的地區巡回醫療，但規定男醫生甲不能到個不同的地區巡回醫療，但規定男醫生甲不能到地區地區A，則共有多少種不同的分派方法？，則共有多少種不同的分派方法？（7）元素相同元素相同，隔板策略，隔板策略

17、例例7：有有10個遠動員名額，分給個遠動員名額，分給7個班，每班至少一個，個班，每班至少一個，有多少種分配方案？有多少種分配方案？解：解：因為因為1010個名額沒有差別個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間，把它們排成一排。相鄰名額之間 形成個空隙。在個空檔中選個位置插個隔板，可把形成個空隙。在個空檔中選個位置插個隔板，可把 名額分成份，對應地分給個班級，每一種插板方法對名額分成份，對應地分給個班級，每一種插板方法對 應一種分法共有應一種分法共有69C一一班班二二班班三三班班四四班班五五班班六六班班七七班班策略說明：策略說明：元素相同元素相同時，才使用時，才使用隔板法隔板法（與（與插入法

18、插入法區分）區分）將將n個相同的元素分成個相同的元素分成m份（份（n，m為正整數）為正整數）,每份至少一個元每份至少一個元素素,可以用可以用m-1塊隔板，插入塊隔板，插入n個元素排成一排的個元素排成一排的n-1個空隙中，個空隙中，所有分法數為所有分法數為11mnC練習練習1：有有10個相同的小球，裝入個相同的小球，裝入4個盒內，每個盒子個盒內，每個盒子至少有一個球，共有多少種不同的裝法？至少有一個球，共有多少種不同的裝法？59C59126C 1234666623126CCCC 2615C （8）多類元素，分類，分步策略）多類元素，分類，分步策略例例8：在一次演唱會上共在一次演唱會上共10名演員

19、名演員,其中其中8人能能唱歌人能能唱歌,5人會跳舞人會跳舞,現要演出一個現要演出一個2人唱歌人唱歌2人伴舞的節目人伴舞的節目,有多少選派方法。有多少選派方法。230235CCC第一類：只會唱的第一類：只會唱的5 5人中沒有人選上唱歌人員共有人中沒有人選上唱歌人員共有131245CCC第二類：只會唱的第二類：只會唱的5 5人中只有人中只有1 1人選上唱歌人員人選上唱歌人員5252C C第三類：只會唱的第三類：只會唱的5 5人中只有人中只有2 2人選上唱歌人員有人選上唱歌人員有22112223353455C CC C CC C由分類計數原理共有由分類計數原理共有解：解：10演員中有演員中有5人只會

20、唱歌，人只會唱歌，2人只會跳舞人只會跳舞3人為全能演員。人為全能演員。以以選上唱歌人員選上唱歌人員為為標準標準進行研究進行研究*以以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準個全能演員是否選上跳舞人員為標準 *以只會跳舞的以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準人是否選上跳舞人員為標準本題還有如下分類標準本題還有如下分類標準：例例9. 在產品檢驗中，常從產品中抽出一部分進行檢查在產品檢驗中，常從產品中抽出一部分進行檢查.現有現有100件產品，其中件產品，其中3件次品，件次品，97件正品件正品.要抽出要抽出5件件進行檢查，根據下進行檢

21、查，根據下列各種要求，各有多少種不同的抽法？列各種要求，各有多少種不同的抽法？(1)無任何限制條件；無任何限制條件；(2)全是正品；全是正品；(3)只有只有2件正品；件正品；(4)至少有至少有1件次品；件次品；(5)至多有至多有2件次品；件次品；(6)次品最多次品最多.100個元素選個元素選5個個元素構成元素構成正品正品（97）次品次品（3）第一類第一類50第二類第二類41第三類第三類32第四類第四類23或或解答：解答：5100C（1 1）50973C C（2 2）23973CC（3 3）5510097CC（4 4）413223973973973CCCCCC（5 5）5041329739739

22、73CCCCCC23973CC（6 6）策略說明策略說明解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發生的連續過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重事件發生的連續過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。從從4名男生和名男生和3名女生中選出名女生中選出4人參加某個座談會，人參加某個座談會，若這若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有34 練習題：練習題：（9）平均分組，除法策略）

23、平均分組，除法策略例例1010. 6本不同的書平均分成本不同的書平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有多少分法？本共有多少分法？222642C C C222642C C C解解: : 分三步取書得分三步取書得種方法種方法,但這里出現重復計數的現象但這里出現重復計數的現象33A22236423/C C CA不妨記不妨記6 6本書為本書為ABCDEFABCDEF，若第一步取，若第一步取AB,AB,第二步取第二步取CD,CD,第三步取第三步取EFEF該分法記為該分法記為(AB,CD,EF),(AB,CD,EF),則則 中還有中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD

24、,AB),(EF,AB,CD)(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有故共有故共有種分法。種分法。種取法種取法 ,而這些分法僅是而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法一種分法,平均分組，除法策略平均分組，除法策略平均分成的組平均分成的組,不管它們的順序如何不管它們的順序如何,都是一種情況都是一種情況,所以分組所以分組后要一定要除以后要一定要除以 ( 為均分的組數為均分的組數)避免重復計數。避免重復計數。nnAn544213842/C C CA2224262290C CAA3.103.10名學生分成名學生分成3 3組組

25、, ,其中一組其中一組4 4人人, , 另兩組另兩組3 3人但正副班長不能分人但正副班長不能分在同一組在同一組, ,有多少種不同的分組方法有多少種不同的分組方法 （15401540）練習題：練習題：1 1、將、將1313個球隊分成個球隊分成3 3組組, ,一組一組5 5個隊個隊, ,其它兩組其它兩組4 4個隊個隊, , 有多少分法？有多少分法？2.某校高二年級共有六個班級，現從外地轉入某校高二年級共有六個班級，現從外地轉入4名學生，要安排到名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數為名，則不同的安排方案種數為_4332334311063863

26、8412222-C C CC C CC C CAA（11）正難則反，總體淘汰策略）正難則反，總體淘汰策略有些排列組合問題有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡而它的反面往往比較簡捷捷,可以可以先先求出它的反面求出它的反面,再從整體中淘汰再從整體中淘汰.具體做法：一）把題目中的限制條件去掉，求出整體；二）把限制具體做法：一）把題目中的限制條件去掉，求出整體；二）把限制條件改為反面，求出反面；三）整體減去反面。條件改為反面，求出反面；三）整體減去反面。正難則反，總體淘汰策略正難則反，總體淘汰策略 在思想上，與補集，命題的否定，反證在思想上，與補集，命題的否

27、定，反證法的假設，對立事件是一致的。法的假設，對立事件是一致的。例例11.從從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為這十個數字中取出三個數，使其和為不小于不小于10的偶數的偶數,不同的取法有多少種？不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于解：這問題中如果直接求不小于10的偶數很困難的偶數很困難,可用總體淘汰法。可用總體淘汰法。 所取的三個數含有所取的三個數含有3 3個偶數的取法有個偶數的取法有35C, , 這十個數字中有這十個數字中有5個偶數個偶數5個奇數個奇數,只含有只含有1 1個偶數的取法有個偶數的取法有1255C C,和為偶數的取法共有和為偶數的取

28、法共有 ,123555C CC再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶數共的偶數共9種，種， 1235559C CC則則練習題：練習題：我們班里有我們班里有43位同學位同學,從中任抽從中任抽5人人,正、副班長、正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?（12）樹形圖策略）樹形圖策略3 3人相互傳球人相互傳球, ,由甲開始發球由甲開始發球, ,并作為第一次傳球并作為第一次傳球, ,經過經過5 5次次傳求后傳求后,球仍回到甲的手中球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有則不同的傳球方式有_ 對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，對于條件比較復雜的排

29、列組合問題，不易用公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結果樹圖會收到意想不到的結果101.同一寢室同一寢室4人人,每人寫一張賀年卡集中起來每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9)44Nii號人不坐號人不坐（54321,i 2.2.分別編有分別編有1 1，2 2，3 3，4 4，5 5號碼的人與椅，其中號碼的人與椅，其中）的不同坐法有多少種？）的不同坐法有多少種？號椅號椅全錯位排列全錯位排列概率問題概率問題古典概形古典概形AP(A)=事件 所含的基本事件個數所有基本事件的個

30、數幾何概形幾何概形AP(A)=事件 所在的區域的長度，面積，體積，角度所有區域的長度，面積，體積，角度基本事件：基本事件：和事件（并事件）：和事件（并事件）：積事件（交事件）：積事件（交事件）：互斥事件：互斥事件：對立事件：對立事件：（1）求概率就是求兩個排列組合數之比。）求概率就是求兩個排列組合數之比。P=滿足約束條件下的方法數（情況數）所有的方法數（情況數）（2）概率問題同樣適用）概率問題同樣適用“分類加，分步乘分類加，分步乘”的運算法則。的運算法則。計數原理的應用計數原理的應用-概率問題概率問題單獨概率單獨概率=滿足條件的情況數所有的情況數某條件成立的概率某條件成立的概率=1-該條件不成

31、立的概率該條件不成立的概率 （對立事件）（對立事件）總體概率總體概率=滿足條件的各類情況概率之滿足條件的各類情況概率之和和（和事件）（和事件）總體概率總體概率=滿足條件的各步情況概率之滿足條件的各步情況概率之積積（積事件）（積事件）例例13:學校要從學校要從30名候選人中選名候選人中選10名組成學生會，其中名組成學生會，其中求該班恰有求該班恰有2名同學被選到的概率。名同學被選到的概率。求該班至少有求該班至少有2名同學被選到的概率。名同學被選到的概率。某個班有某個班有4名候選人，每名候選人有相同的機會被選到。名候選人，每名候選人有相同的機會被選到。284262030C CP=C2030C所有的情

32、況數28426C C滿足條件的情況數（單獨概率：（單獨概率：；）例例13:學校要從學校要從30名候選人中選名候選人中選10名組成學生會，其中名組成學生會，其中求該班至少有求該班至少有2名同學被選到的概率。名同學被選到的概率。某個班有某個班有4名候選人，每名候選人有相同的機會被選到。名候選人，每名候選人有相同的機會被選到。法一：法一： 2831402831404264264264264264262020202030303030C CC CC CC C +C C +C CP=+=CCCC理解如下：理解如下：總體概率總體概率=滿足條件的各類情況概率之和：滿足條件的各類情況概率之和： 283140426426426202020303030C CC CC C+CCC 單獨