1、1一階微分方程一階微分方程2可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程3二階線性微分方程的解的結構二階線性微分方程的解的結構4二階常系數線性微分方程二階常系數線性微分方程一、第七章要點一、第七章要點1一階微分方程一階微分方程1)可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程解法解法xxfyygd)(d)(1類型類型)()(ygxfy 2)一階線性微分方程一階線性微分方程類型類型)()(xQyxPy解法解法CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(3)齊次方程齊次方程此為變量可分離的微分方程此為變量可分離的微分方程類型類型xyyxfy),(解法解法 令令 ，則，則 原方程變為原方程變為xyu xuxu

2、xydddduuxux)(dd4)伯努利方程伯努利方程為一階線性微分方程為一階線性微分方程類型類型) 1 , 0()()(，yxQyxPy解法解法 令令 ，則原方程變為，則原方程變為1yz，)()1 ()()1 (ddxQzxPxz2可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程方法方法 作作 次積分次積分n新方程是一個一階微分方程新方程是一個一階微分方程1)類型類型)()(xfyn2)類型類型),(yxfy 方法方法 令令 ，則原方程轉變為，則原方程轉變為py ，),(pxfp 新方程是一個一階微分方程新方程是一個一階微分方程3)類型類型 ),(yyfy 方法方法 令令 ，則原方程轉變為，則原方程

3、轉變為py ，),(ddpyfypp3二階線性微分方程的解的結構二階線性微分方程的解的結構設二階線性微分方程設二階線性微分方程而稱方程而稱方程為方程所對應的齊次線性方程有為方程所對應的齊次線性方程有)()()(xfyxQyxPy 0)()( yxQyxPy1)若若 是方程的線性無關解，則方程有通解是方程的線性無關解，則方程有通解21, yy2211yCyCy的一個特解的一個特解*2211yyCyCy2)若若 是方程的特解，則方程有通解是方程的特解，則方程有通解*y3)若若 是方程是方程 的特解，的特解，)()()(xfyxQyxPyi *iy則則 為方程為方程*2*1yy )()()()(21

4、xfxfyxQyxPy 4二階常系數線性微分方程二階常系數線性微分方程1)二階常系齊次數線性微分方程二階常系齊次數線性微分方程設方程設方程相應的特征方程為相應的特征方程為0 qyypy02qprr則：若方程有兩個不同的實根則：若方程有兩個不同的實根 ，則方程的通解為，則方程的通解為21,rr；xrxrCCy21ee21若方程有兩個相同的實根若方程有兩個相同的實根 ，則方程的通解為，則方程的通解為21rr ；xrCxCy1e)(21若方程有一對共軛復根若方程有一對共軛復根 ，則方程的通，則方程的通i2, 1r)sincos(e21xCxCyx解為解為2)二階常系數非齊次線性微分方程二階常系數非齊

5、次線性微分方程設方程為設方程為則方程有特解則方程有特解，)(exPqyypymx ，)(e*xQxymkx其中其中 是一個與是一個與 同次的多項式，而同次的多項式，而)(xQm)(xPm，210k若若 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根設方程設方程則方程有特解則方程有特解，sin)(cos)(exxPxxPqyypymlx ，sin)(cos)(e21*xxRxxRxynnxk其中其中 是是 次的多項式，次的多項式， ，而，而)(),(21xRxRnnn,maxlmn 按按 是否為特征方程的根而分別取是否為特

6、征方程的根而分別取1或或0ki二、例二、例 題題 選選 講講解解 此方程為一個可分離變量的微分方程分離變量，此方程為一個可分離變量的微分方程分離變量，因因得得例例1 求解方程求解方程 0d)4(d2yxxxy，24ddxxxyy，xxxxxxd411414d2兩邊積分，得兩邊積分，得即得原方程的通解即得原方程的通解，Cxxyln|)4|ln|(ln41|lnxCxy )4(4解解 原方程變形后為齊次方程原方程變形后為齊次方程例例2 求解方程求解方程 ， 0tanyxyxyx32xyxyxyytan作變換作變換 ，則有，則有xyu ，uuxuxutandd移項，得移項，得兩邊積分，得兩邊積分，得

7、，xxuuud1dsincos，Cxuln|ln|sin|ln將將 代入，有代入，有xyu ，xCxysin即滿足初始條件的解為即滿足初始條件的解為由初始條件由初始條件 ，得，得 ，即原方程的解為，即原方程的解為32xy1C，xxy1sinxxy1arcsin解解 原方程變形為原方程變形為即即例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解0dd)3(24xxyyxy，133ddxyxyyx，3222)(6d)d(yxyyx此是關于函數此是關于函數 的一階線性非齊次線性微分方程，的一階線性非齊次線性微分方程，)(2yfx 由求解公式得由求解公式得6436d12CyyCyyyCyyxyyyyde2ed

8、63d62分離變量，得分離變量，得兩邊積分，得兩邊積分，得例例4 求解微分方程求解微分方程 32232yyxxyy解法解法1 此方程為齊次方程，作代換此方程為齊次方程，作代換 ，則有，則有uxy ，23dd2uuxuxu，xxuuuud3d) 1(2322故方程的通解為故方程的通解為即即由于由于，Cxuuuuln|ln3d) 1(2322uuuuuuuud)12(d) 1(23222，12) 1ln(21|ln2Cuu，3221xCuuCyxy222解法解法2 方程變形為方程變形為故方程的通解為故方程的通解為代回原變量，得代回原變量，得422Cyyx，132ddyxxyyx此方程為貝努利方程，

9、此時令此方程為貝努利方程，此時令 ，則有，則有2xz ，yzyyz64dd，42Cyyz例例5 求解下列方程求解下列方程即即方程的解為方程的解為，1lnlnlnCxp1. ； 2. 0 yyxyyy 3解解 1. 此方程不含變量此方程不含變量 ，故令變換，故令變換 ，則方程為，則方程為yyp，0ppx，xxppd1d1即即所以，方程的通解為所以，方程的通解為，xCxy1dd21lnCxCy方程變形為方程變形為即有即有0) 1dd(2 pypp2. 此方程中不含變量此方程中不含變量 ，作變換，作變換 ，則，則xyp，yppxydddd22，ppypp3dd解得解得即即分離變量后，再兩邊積分得分離

10、變量后，再兩邊積分得從而得方程的通解從而得方程的通解xCCye)sin(21由由 ，得方程的解為，得方程的解為 由由0pCy ，01dd2 pyp，1arctanCyp，)tan(1Cyy，21ln| )sin(|lnCxCy例例6 求下列方程的通解求下列方程的通解解解 1. 特征方程為特征方程為xxCCy2521e)(解得解得 ，由此得到方程的通解，由此得到方程的通解2521 rr，0252042rr1. ； 2. ；025204 yyyxxyy2e2 3. xxyycos4 則則xCCy221e 2. 特征方程為特征方程為 ，因而齊次方程的通解為，因而齊次方程的通解為022 rr由于由于

11、為單根，故可設方程的特解為為單根，故可設方程的特解為2，xbaxxy2*e)(，xbxbaaxy22*e)22(2，xbaxbaaxy22*e42)48(4代入方程后，比較系數得代入方程后，比較系數得所以所以因而方程的通解為因而方程的通解為，2141baxxy2*e)2(41xxxCCy2221e)2(41e代入到原方程，得代入到原方程，得，xdcxxbaxysin)(cos)(*3. 特征方程為特征方程為 ，解得，解得 ，所以齊次方，所以齊次方042ri22, 1r程的通解為程的通解為xCxCy2sin2cos21注意到注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可不是特征方程的根，故方程的特解可

12、ii 設為設為，xxxadcxxcbaxcossin)233(cos)223(1一階微分方程一階微分方程2可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程3二階線性微分方程的解的結構二階線性微分方程的解的結構4二階常系數線性微分方程二階常系數線性微分方程一、第七章要點一、第七章要點1一階微分方程一階微分方程1)可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程解法解法xxfyygd)(d)(1類型類型)()(ygxfy 2)一階線性微分方程一階線性微分方程類型類型)()(xQyxPy解法解法CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(3)齊次方程齊次方程此為變量可分離的微分方程此為變量可分離的微分方程類型類型x

13、yyxfy),(解法解法 令令 ，則，則 原方程變為原方程變為xyu xuxuxydddduuxux)(dd4)伯努利方程伯努利方程為一階線性微分方程為一階線性微分方程類型類型) 1 , 0()()(，yxQyxPy解法解法 令令 ，則原方程變為，則原方程變為1yz，)()1 ()()1 (ddxQzxPxz2可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程方法方法 作作 次積分次積分n新方程是一個一階微分方程新方程是一個一階微分方程1)類型類型)()(xfyn2)類型類型),(yxfy 方法方法 令令 ，則原方程轉變為，則原方程轉變為py ，),(pxfp 新方程是一個一階微分方程新方程是一個一階微

14、分方程3)類型類型 ),(yyfy 方法方法 令令 ，則原方程轉變為，則原方程轉變為py ，),(ddpyfypp3二階線性微分方程的解的結構二階線性微分方程的解的結構設二階線性微分方程設二階線性微分方程而稱方程而稱方程為方程所對應的齊次線性方程有為方程所對應的齊次線性方程有)()()(xfyxQyxPy 0)()( yxQyxPy1)若若 是方程的線性無關解，則方程有通解是方程的線性無關解，則方程有通解21, yy2211yCyCy的一個特解的一個特解*2211yyCyCy2)若若 是方程的特解，則方程有通解是方程的特解，則方程有通解*y3)若若 是方程是方程 的特解，的特解，)()()(x

15、fyxQyxPyi *iy則則 為方程為方程*2*1yy )()()()(21xfxfyxQyxPy 4二階常系數線性微分方程二階常系數線性微分方程1)二階常系齊次數線性微分方程二階常系齊次數線性微分方程設方程設方程相應的特征方程為相應的特征方程為0 qyypy02qprr則：若方程有兩個不同的實根則：若方程有兩個不同的實根 ，則方程的通解為，則方程的通解為21,rr；xrxrCCy21ee21若方程有兩個相同的實根若方程有兩個相同的實根 ，則方程的通解為，則方程的通解為21rr ；xrCxCy1e)(21若方程有一對共軛復根若方程有一對共軛復根 ，則方程的通，則方程的通i2, 1r)sinc

16、os(e21xCxCyx解為解為2)二階常系數非齊次線性微分方程二階常系數非齊次線性微分方程設方程為設方程為則方程有特解則方程有特解，)(exPqyypymx ，)(e*xQxymkx其中其中 是一個與是一個與 同次的多項式，而同次的多項式，而)(xQm)(xPm，210k若若 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根設方程設方程則方程有特解則方程有特解，sin)(cos)(exxPxxPqyypymlx ，sin)(cos)(e21*xxRxxRxynnxk其中其中 是是 次的多項式，次的多項式， ，而，而)()

17、,(21xRxRnnn,maxlmn 按按 是否為特征方程的根而分別取是否為特征方程的根而分別取1或或0ki二、例二、例 題題 選選 講講解解 此方程為一個可分離變量的微分方程分離變量，此方程為一個可分離變量的微分方程分離變量，因因得得例例1 求解方程求解方程 0d)4(d2yxxxy，24ddxxxyy，xxxxxxd411414d2兩邊積分，得兩邊積分，得即得原方程的通解即得原方程的通解，Cxxyln|)4|ln|(ln41|lnxCxy )4(4解解 原方程變形后為齊次方程原方程變形后為齊次方程例例2 求解方程求解方程 ， 0tanyxyxyx32xyxyxyytan作變換作變換 ，則有

18、，則有xyu ，uuxuxutandd移項，得移項，得兩邊積分，得兩邊積分，得，xxuuud1dsincos，Cxuln|ln|sin|ln將將 代入，有代入，有xyu ，xCxysin即滿足初始條件的解為即滿足初始條件的解為由初始條件由初始條件 ，得，得 ，即原方程的解為，即原方程的解為32xy1C，xxy1sinxxy1arcsin解解 原方程變形為原方程變形為即即例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解0dd)3(24xxyyxy，133ddxyxyyx，3222)(6d)d(yxyyx此是關于函數此是關于函數 的一階線性非齊次線性微分方程，的一階線性非齊次線性微分方程，)(2yfx

19、由求解公式得由求解公式得6436d12CyyCyyyCyyxyyyyde2ed63d62分離變量，得分離變量，得兩邊積分，得兩邊積分，得例例4 求解微分方程求解微分方程 32232yyxxyy解法解法1 此方程為齊次方程，作代換此方程為齊次方程，作代換 ，則有，則有uxy ，23dd2uuxuxu，xxuuuud3d) 1(2322故方程的通解為故方程的通解為即即由于由于，Cxuuuuln|ln3d) 1(2322uuuuuuuud)12(d) 1(23222，12) 1ln(21|ln2Cuu，3221xCuuCyxy222解法解法2 方程變形為方程變形為故方程的通解為故方程的通解為代回原變

20、量，得代回原變量，得422Cyyx，132ddyxxyyx此方程為貝努利方程，此時令此方程為貝努利方程，此時令 ，則有，則有2xz ，yzyyz64dd，42Cyyz例例5 求解下列方程求解下列方程即即方程的解為方程的解為，1lnlnlnCxp1. ； 2. 0 yyxyyy 3解解 1. 此方程不含變量此方程不含變量 ，故令變換，故令變換 ，則方程為，則方程為yyp，0ppx，xxppd1d1即即所以，方程的通解為所以，方程的通解為，xCxy1dd21lnCxCy方程變形為方程變形為即有即有0) 1dd(2 pypp2. 此方程中不含變量此方程中不含變量 ，作變換，作變換 ，則，則xyp，yppxydddd22，