1、數值分析方淼數值分析什么是數值分析數值分析中的誤差誤差定性分析與避免誤差危害算法設計的技術 提問：數值分析是做什么提問：數值分析是做什么用的？用的？數值數值分析分析輸入復雜問題或運算輸入復雜問題或運算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 計算機計算機近似解近似解1.1什么是數值分析數值分析也稱計算數學是數學的一個分支解決科學技術和工程問題的步驟: 實際問題建立數學模型研究計算方法編程上機計算。 例如: 某一地區的地形圖,用空中航測方法,空中連續拍照。 為形成三維地形圖,建立了一個大型超定線性方程組。 采用最小二乘方法求解該方程組的最小二乘解,然后再整體平滑。 編程序,形成

2、一個大型程序,上機進行計算。1.1什么是數值分析數值分析主要內容：計算機只能進行加減乘除四則運算和一些簡單的函數計算(即使是函數也是通過數值分析方法處理,轉化為四則運算而形成了的一個小型論軟件包)。1.數值代數:求解線性和非線性方程的解法,分直接方法和間接方法。2.插值和數值逼近。3.數值微分和數值積分。4.常微分方程和偏微分方程數值解法。1.1什么是數值分析數值分析的特點：面向計算機 可靠的理論分析良好的計算復雜性數值實驗1.2數值分析中的誤差誤差的來源和分類模型誤差: 在建立數學模型過程中,不可能將所有因素均考慮,必然要進行必要的簡化,這就帶來了與實際問題的誤差。測量誤差: 測量已知參數時

3、,數據帶來的誤差。截斷誤差: 在設計算法時,必然要近似處理,尋求一些簡化。舍入誤差: 計算機的字長是有限的,每一步運算均需四舍五入,由此產出的誤差稱舍入誤差。 數值分析主要討論截斷誤差。測量誤差看作初始的舍入誤差,數值分析也要從整體來討論舍入誤差的影響,但這兒不討論模型誤差。例1.1截斷誤差/ /* * Truncation Error Truncation Error * */ /用Taloy多項式近似( )f x( )2(0)(0)(0)( )(0)1!2!nnffff xfxxxn( )2(0)(0)(0)( )(0)1!2!nnfffp xfxxxn其截斷誤差/ /* * Trunca

4、tion Error Truncation Error * */ /為(1)1( )( )( )( ), 0| | 6 6 log6 log6，即，即 n n 6 6，應，應取取 * * = 3.14159= 3.14159。3 3 函數的誤差估計函數的誤差估計 /*Error Estimation for Functions*/問題問題：對于：對于 y y = f = f ( (x x) )，若用，若用 x x* * 取代取代 x x，將對，將對y y 產生什么影響？產生什么影響？分析分析：e e* *( (y y) = ) = f f ( (x x* *) ) f f ( (x x) )

5、e e* *( (x x) = ) = x x* * x xMean Value Theorem= = f f ( )()(x x* * x x) )x x* * 與與 x x 非常接近時，可認為非常接近時，可認為 f f ( ) ) f f (x x* *) ) ，則有：，則有：| |e e* *( (y y)| )| | | f f (x x* *)|)| |e e* *( (x x) )| |即：即：x x* *產生的誤差經過產生的誤差經過 f f 作用后被放大作用后被放大/ /縮小了縮小了| | f f (x x* *)|)|倍。故稱倍。故稱| | f f (x x* *)|)|為為放

6、大因子放大因子 /* amplification factor */ 或或 絕對條件數絕對條件數 /* absolute condition number */.3 Error Estimation for 3 Error Estimation for FunctionsFunctions*)()(*| )(|xfyey*er *)(*| )(|xxex*er )(*)(*)(*)(*)(*)(xexfxfxxxxxfxxxxfxfr 相對誤差條件數相對誤差條件數 /* relative condition number*/ f f 的條件數在某一點是的條件數在某一點是小小 大大，則稱，則稱

7、f f 在該點是在該點是好條件的好條件的 /* well-conditioned */ 壞條件的壞條件的 /* ill-conditioned */。注：關于多元函數注：關于多元函數 的討論，請參閱的討論，請參閱教材第教材第5 5、6 6頁。頁。).,(21nx,x,xfy 3 Error Estimation for 3 Error Estimation for FunctionsFunctions例例: :計算計算 y y = ln = ln x x。若。若 x x 20 20，則取，則取 x x 的幾位有效數字可保證的幾位有效數字可保證 y y 的相對誤的相對誤差差 0.1% ? 0.1

8、% ?*ln| )(*| )(*|*)(*)(*| )(|xxexexyxyxy*errr 解：設截取解：設截取 n n 位有效數字后得位有效數字后得 x x* * x x，則，則估計估計 x x 和和 y y 的相對誤差上限滿足近似關系的相對誤差上限滿足近似關系)(*ln)(*yxxrr %1 . 0*ln102111 xan不知道怎么辦啊？不知道怎么辦啊？x x 可能是可能是20.#20.#，也可，也可能是能是19.#19.#，取最壞情，取最壞情況，即況，即a a1 1 = 1 = 1。 n n 4 4例：計算例：計算 ，取，取 4 4 位有效，即位有效，即 , , 則相對誤差則相對誤差

9、9820ln)8920ln(. %.1010029820ln9820ln8920ln5 1.3誤差定性分析與避免誤差危害算法的數值穩定性病態問題與條件數避免誤差危害4 4 幾點注意事項幾點注意事項 /* Remarks */1. 1. 避免相近二數相減避免相近二數相減例：例：a a1 1 = 0.12345 = 0.12345，a a2 2 = 0.12346 = 0.12346，各有，各有5 5位有效數字。位有效數字。 而而 a a2 2 a a1 1 = 0.00001 = 0.00001，只剩下，只剩下1 1位有效數字。位有效數字。 幾種經驗性避免方法：幾種經驗性避免方法：;xxxx ;

10、1lnlnln xxx當當 | | x x | 1 | 1 時：時：;2sin2cos12xx .6121112xxxex4 Remarks4 Remarks2. 2. 避免小分母避免小分母 : : 分母小會造成浮點溢出分母小會造成浮點溢出 /* over flow */3. 3. 避免大數避免大數吃吃小數小數例：用單精度計算例：用單精度計算 的根。的根。010)110(992 xx精確解為精確解為110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在計算機內，在計算機內，10109 9存為存為0.10.1 10101010，1 1存為存為0.10.1 10101

11、 1。做加法時，兩加數的指數先向做加法時，兩加數的指數先向大指數對齊，再將浮點部分相加。即大指數對齊，再將浮點部分相加。即1 1 的指數部分須變為的指數部分須變為10101010，則：，則：1 = 1 = 0.0.000000000000000001 01 10 101010，取單精度時就成為：，取單精度時就成為： 10109 9+1=0.10000000+1=0.10000000 10101010+0.00000000 +0.00000000 10101010=0.10000000 =0.10000000 10101010大數大數吃吃小數小數024,102422921 aacbbxaacbbx4 Remarks4 Remarks算法算法2 2：先解出先解出 再利用再利用9211024)( aacbbsignbx11010991221 xacxacxx求和時求和時從小到大從小到大相加，可使和的誤差減小。相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1 + 2 + 3 + + 40 + 101