1、穿根法解不等式的原理、步驟和應用范例摘要：本文通過闡述穿根法解不等式的原理、步驟和應用范例，嘗試對其進行系統性的論述。在原理層面，提出該方法中不等式的標準形式為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)0，規范了序軸的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，動態考察了f(x)的符號變化規律，并介紹如何使用穿根法表達此規律；在步驟層面，對解高次不等式、分式不等式和含等號不等式的操作步驟進行了分類詳述；然后通過6個應用范例，進一步展現了穿根法解不等式的具體操作細節和若干注意事項。論文最后概括說明了穿根法的特征和實用意義。關鍵詞：穿根法；解不等式；原理；步驟；應用穿根法，又稱序軸標根法，是解一元

2、整式、分式不等式的重要通用方法，特別在解簡單高次不等式時，一直居于主流地位。然而，該方法目前尚未進入中學正式教材，在很多資料中，對此法也往往是只提應用，而對其來龍去脈，敘述不清，建構模糊。現結合中學一線教學經驗，通過闡述其原理、步驟和應用范例，嘗試對其進行系統性的論述。一、 原理穿根法解不等式時，一般先將其化為形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)0 （或0 （或0的解；而x1左邊的點都是小于x1的點，即是x-x10 （或0）(1) x1x2時，不妨設x10，處于(x1,x2)內的點滿足f(x) 0；而當點x=a從x2右側移動到左側時，x-x2變為負值，而x-x1符號不變，所以有

3、f(x)必然變號，此時由正變負；而再當點x=a從x1右側移動到左側時，x-x1由正變負，而x-x2符號不變，所以f(x)又一次變號，此時由負變正。總之，無論從哪個方面看，f(x)的符號都可以如圖標注。(2) x1=x2時，即形如f(x)=(x-x1)2時顯然，(-,x1)與( x1 ,+)都是f(x) 0的解。而若動態的考察此問題，則有點x=a 從x1右側移動向左側移動時，由于平方項內的x-x1由正到0又到負，所以f(x)經歷了由正到0又回到正的過程。故而f(x)在x1兩側符號同正，只有在x=x1處為0。（三） 高次不等式標準形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)0 （或0），x

4、1x2xn(1) x1x20；而當點x=a從xn右側移動到左側時，x-xn符號變化，而其余任一x-xi均不變號，所以有f(x)由正變負；類似可得：對任一i，當點x=a從xi右側移動到左側時，x-xi符號變化，而其余每個x-xj (ji)都不變號，所以有f(x)必然變號，或由正變負，或由負變正。就這樣，由于每過一個xi都恰有一個因式x-xi變號，所以我們可以從最右上方開始畫一條依次穿過各根的線，這正是穿根法的原理和名稱由來。(2) x1x2xn且有等號成立時其標準形式可寫為f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2(x-xn) mn 0 （或0），x1x20，其中f(x)為x的高次多項式，用穿

5、根法解的步驟如下：（1）整理原式化為標準型 把f(x)進行因式分解，并化簡為下面的形式：f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2(x-xn) mn 0（或0解集，在序軸下方的曲線對應的區間為f(x)0或f(x)/g(x)0 f(x)g(x)0 f(x)/g(x)0 f(x)g(x) 0即將分式不等式轉化為整式不等式再處理。（三） 含等號的整式、分式不等式對于整式不等式，要注意寫解集時將各個根包括進去。一般只需將開區間符號改為閉區間符號，同時注意必要時合并區間。對于分式不等式，尤其要注意分母非0。 f(x)/g(x)0 f(x)g(x)0 且 g(x)0 f(x)/g(x)0 f(x)g(x

6、)0且 g(x)0這樣就要求在標根時，將能夠使不等式成立的根標為實點，否則標為虛點。（四） 注意分式不等式和高次不等式在化簡時每一步變形都應是不等式的等價變形。對于變形中出現的形如x2+px+q=0的因式，若其0，則繼續分解。若0，則直接消去，因為此時該式恒大于0。三、 應用范例例1 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)120解：將原不等式變形：(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)-1200(x2-5x+4)(x2-5x+6)-1200(x2-5x)2+10(x2-5x)-960(x2-5x+16)(x2-5x-6)0(x2-5x+16)(x-6)( x+1)0 x2-5x

7、+16恒大于零，于是得與原不等式同解的不等式(x-6)( x+1)0對此也可用穿根法解決，如圖所以，原不等式的解集是：(-,-1)(6,+)例4 解不等式： (3x-5)/( x2+2x-3) 2解：原不等式 (3x-5-2x2-4x+6)/(x2+2x-3)0 (2x2+4x-6-3x+5)/(x2+2x-3)0 (2x2+x-1)/(x2+2x-3)0 (x+1)(2x-1)/(x+3)(x-1)0 (x+1)(2x-1)(x+3)(x-1)0 且 (x+3)(x-1)0 如圖，用穿根法，注意區分實點和虛點，可得原不等式解集為：(-,-3)-1，1/2(1,+ )例5 解關于x的不等式：(

8、x-1)(x-t)0解：1) t1時，如圖用穿根法，可得原不等式解集為：(1,t)例6 若a1，解關于x的不等式 (x-a)/(x+1)(x-1)0解：1) a-1時，如圖用穿根法，原不等式解集為：(-,a)(-1,1)2） -1a1時，如圖用穿根法，原不等式解集為：(-, -1)(1, a說明：解整式、分式不等式注意事項，可記以下口訣：移項調號，分解排序，奇穿偶回，分母非零，參數討論，小心等號。四、 小結穿根法通過序軸、標根、穿根線及區間正負標志，形象的表示f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)值的符號變化規律，較好體現了數形結合的思想，具備直觀明晰的優點。它還有數軸標根法、區間法，根軸法等名稱，但相對來說，用“序軸標根法”作為