1、直線的投影北京交大 機電學院 機械系 劉之汀3.投影面傾斜線（一般位置直線）2.投影面垂直線正垂線鉛垂線側垂線正平線水平線側平線1.投影面平行線二、各種位置直線的投影二、各種位置直線的投影1.在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應投影面傾角。在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應投影面傾角。2.其余兩投影平行于相應的投影軸，且小于實長。其余兩投影平行于相應的投影軸，且小于實長。投影面平行線的特性：投影面平行線的特性：水平線水平線正平線正平線側平線側平線1.與線段垂直的投影面上，投影積聚為一點。與線段垂直的投影面上，投影積聚為一點。2.其余兩投影分別垂于相應的投影軸，且反映實長。其余

2、兩投影分別垂于相應的投影軸，且反映實長。鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側垂線側垂線投影面垂直線的特性：投影面垂直線的特性：四、四、兩兩直線的相對位置直線的相對位置兩直線平行兩直線相交同面直線兩直線交叉異面直線1.兩直線平行兩直線平行四、直線的相對位置四、直線的相對位置空間兩平行直線其投影也必平行。四、直線的相對位置四、直線的相對位置2.兩直線相交兩直線相交kkkkk四、直線的相對位置四、直線的相對位置3.兩直線交叉兩直線交叉五、一邊平行于投影面的直角的投影五、一邊平行于投影面的直角的投影 當兩直線相互垂直成直角，而其中有一條直線平行于某一當兩直線相互垂直成直角，而其中有一條直線平行于某一投影面時，則

3、此兩直線在該投影面上的投影仍交成直角。投影面時，則此兩直線在該投影面上的投影仍交成直角。 六、用直角三角形法求直線的真長及對投影面的傾角六、用直角三角形法求直線的真長及對投影面的傾角 以直線在某一投影面的投影為底邊，兩端點與這個投影面的以直線在某一投影面的投影為底邊，兩端點與這個投影面的距離差為高，形成的直角三角形的斜邊是直線的真長，斜邊與底距離差為高，形成的直角三角形的斜邊是直線的真長，斜邊與底邊的夾角就是該直線對這個投影面的傾角。邊的夾角就是該直線對這個投影面的傾角。七七、換面法以及直線在換面法中的基本情況、換面法以及直線在換面法中的基本情況 當直線處于一般位置時，其投影無度量性。 當直線

4、處于特殊位置時，其相互間的度量、定位問題就會變得簡單。投影變換原理：在原有投影體系中建立新的投影面，投影變換原理：在原有投影體系中建立新的投影面， 使得在原投影面體系中成一般位置的空間幾何元使得在原投影面體系中成一般位置的空間幾何元 素改變為與新投影面成特殊位置。素改變為與新投影面成特殊位置。如何建立新的投影面？1.必須垂直于原有投影面之一，必須垂直于原有投影面之一，使組成新投影面體系能夠利用使組成新投影面體系能夠利用正投影規律作圖。正投影規律作圖。2.必須置于適當位置，即垂直必須置于適當位置，即垂直或平行于給出的空間直線或平或平行于給出的空間直線或平面，以改變它們在投影面體系面，以改變它們在

5、投影面體系中的相對位置。中的相對位置。如何求得新投影？1.一次換面：一次換面： ()將一般位置直線變為投影面的平行線將一般位置直線變為投影面的平行線1.一次換面：一次換面： ()將一般位置直線變為投影面的平行線。將一般位置直線變為投影面的平行線。 ()將投影面的平行線變為投影面的垂直線。將投影面的平行線變為投影面的垂直線。1.一次換面：一次換面： ()將一般位置直線變為投影面的平行線。將一般位置直線變為投影面的平行線。 新的投影軸應平行于直線原有的投影。新的投影軸應平行于直線原有的投影。X1O1(V1)(H) b1a1例：如圖所示，求直線例：如圖所示，求直線AB的真長及其對的真長及其對V面的傾

6、角面的傾角 。 X1O1H1Va1b1真長真長例：如圖所示，已知直線例：如圖所示，已知直線AB的的 投影投影ab和和ab，求直線，求直線AB的的 真長及其對真長及其對W面的傾角面的傾角 。Z1O1V1W a1b1例：例：已知直線已知直線AB的正面投的正面投影影a b和和A點的水平投點的水平投影影a，并知點，并知點B在點在點A的的后方，后方，AB對對V面的傾角面的傾角 =45，求直線求直線AB的的水平投影。水平投影。b1 =45X1O1H1Va1b1.一次換面一次換面 ()將投影面的平行線變為另一投影面的垂直線。將投影面的平行線變為另一投影面的垂直線。 新投影軸應垂直于直線所保留的反映真長的投影

7、。新投影軸應垂直于直線所保留的反映真長的投影。a1(b1)H1X1O1X1O1H1Va1(b1)abBA2.兩次換面兩次換面 將一般位置直線變換成投影面的垂直線。將一般位置直線變換成投影面的垂直線。 一般位置直線一般位置直線投影面平行線投影面平行線投影面垂直線。投影面垂直線。a2(b2)a1b1X1O1V1HO2X2V1H2距離距離例：已知直線例：已知直線AB、CD相相 互平行，求兩直線間互平行，求兩直線間 的距離。的距離。a1b1c1d1a2(b2)c2(d2)X2O2V1H2X1O1V1H例：已知交叉兩直線例：已知交叉兩直線AB和和CD， 求兩直線公垂線的投影求兩直線公垂線的投影 及最短距

8、離。及最短距離。a1b1c1d1n1X1O1X2O2d2c2a2( b2)m1mnmnn2m2=HV1H2V1距離距離平面的投影北京交大 機電學院 機械系 劉之汀2.一直線和該直線一直線和該直線 外一點。外一點。3.兩相交直線。兩相交直線。4.兩平行直線。兩平行直線。5.任意平面圖形。任意平面圖形。1.不屬于同一直線不屬于同一直線 的三個點。的三個點。1.不屬于同一直線不屬于同一直線 的三個點。的三個點。一、平面的表示法一、平面的表示法(用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面)一、平面的表示法一、平面的表示法(用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面)2.一直線和該直線一直線和該直線 外一點。外一點

9、。3.兩相交直線。兩相交直線。4.兩平行直線。兩平行直線。5.任意平面圖形。任意平面圖形。1.不屬于同一直線不屬于同一直線 的三個點。的三個點。2.一直線和該直線一直線和該直線 外一點。外一點。一、平面的表示法一、平面的表示法(用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面)2.一直線和該直線一直線和該直線 外一點。外一點。3.兩相交直線。兩相交直線。4.兩平行直線。兩平行直線。5.任意平面圖形。任意平面圖形。1.不屬于同一直線不屬于同一直線 的三個點。的三個點。3.兩相交直線。兩相交直線。2.一直線和該直線一直線和該直線 外一點。外一點。3.兩相交直線。兩相交直線。4.兩平行直線。兩平行直線。5.任意

10、平面圖形。任意平面圖形。1.不屬于同一直線不屬于同一直線 的三個點。的三個點。4.兩平行直線。兩平行直線。一、平面的表示法一、平面的表示法(用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面)一、平面的表示法一、平面的表示法(用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面)2.一直線和該直線一直線和該直線 外一點。外一點。3.兩相交直線。兩相交直線。4.兩平行直線。兩平行直線。5.任意平面圖形。任意平面圖形。1.不屬于同一直線不屬于同一直線 的三個點。的三個點。5.任意平面圖形。任意平面圖形。5.任意平面圖形。任意平面圖形。1.不屬于同一直線不屬于同一直線 的三個點。的三個點。2.一直線和該直線一直線和該直線 外一點

11、。外一點。3.兩相交直線。兩相交直線。4.兩平行直線。兩平行直線。一、平面的表示法一、平面的表示法(用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面)二、各種位置平面投影二、各種位置平面投影平面平行于平面平行于投影面投影面(投影面的平行面投影面的平行面)平面傾斜于平面傾斜于投影面投影面(投影面的傾斜面投影面的傾斜面)平面垂直于平面垂直于投影面投影面(投影面的垂直面投影面的垂直面)反映實形反映實形呈類似形呈類似形積聚成直線積聚成直線定義：投影面的垂直面定義：投影面的垂直面-僅僅垂直于一個投影面的平面垂直于一個投影面的平面僅垂直于正面投影面的平面-正垂面僅垂直于水平投影面的平面-鉛垂面僅垂直于側面投影面的平面

12、-側垂面定義：投影面的平行面定義：投影面的平行面-僅僅平行于一個投影面的平面平行于一個投影面的平面僅平行于正面投影面的平面-正平面僅平行于水平面投影面的平面-水平面僅平行于側面投影面的平面-側平面定義：投影面的傾斜面定義：投影面的傾斜面-平面對三個投影面均傾斜。平面對三個投影面均傾斜。相對于投影面各種位置的平面種類：相對于投影面各種位置的平面種類：投影面的傾斜面（一般位置平面）投影面的垂直面正垂面鉛垂面側垂面投影面的平行面正平面水平面側平面1.投影面的傾斜面投影面的傾斜面特性：投影面的傾斜面在三個投影面上的投影均為特性：投影面的傾斜面在三個投影面上的投影均為 空間平面圖形的類似性。空間平面圖形

13、的類似性。(用跡線表示平面用跡線表示平面)1.投影面的傾斜面投影面的傾斜面特性：投影面的傾斜面在三個投影面上的投影均為特性：投影面的傾斜面在三個投影面上的投影均為 空間平面圖形的類似性。空間平面圖形的類似性。2.投影面的垂直面投影面的垂直面特性：特性：i.在與平面垂直的投影面上，投影積聚成傾斜于投影軸在與平面垂直的投影面上，投影積聚成傾斜于投影軸 的直線，并反映該平面對其它兩個投影面的傾角。的直線，并反映該平面對其它兩個投影面的傾角。 ii.其余兩個投影都是原平面圖形的類似形。其余兩個投影都是原平面圖形的類似形。鉛垂面正垂面側垂面(用跡線表示平面用跡線表示平面)正垂面鉛垂面側垂面2.投影面的垂

14、直面投影面的垂直面特性：特性：i.在與平面垂直的投影面上，投影積聚成傾斜于投影軸在與平面垂直的投影面上，投影積聚成傾斜于投影軸 的直線，并反映該平面對其它兩個投影面的傾角。的直線，并反映該平面對其它兩個投影面的傾角。 ii.其余兩個投影都是原平面圖形的類似形。其余兩個投影都是原平面圖形的類似形。3.投影面的平行面投影面的平行面特性：特性：i.在與平面平行的投影面上，該平面反映實形；在與平面平行的投影面上，該平面反映實形； ii.其余兩個投影分別平行于相應的投影軸，具有積聚性。其余兩個投影分別平行于相應的投影軸，具有積聚性。正平面水平面側平面(用跡線表示平面用跡線表示平面)正平面水平面側平面3.

15、投影面的平行面投影面的平行面特性：特性：i.在與平面平行的投影面上，該平面反映實形；在與平面平行的投影面上，該平面反映實形； ii.其余兩個投影分別平行于相應的投影軸，具有積聚性。其余兩個投影分別平行于相應的投影軸，具有積聚性。三、平面上的點和直線三、平面上的點和直線1.平面上取直線平面上取直線條件：直線在平面上，該直線必通過這個平面上的條件：直線在平面上，該直線必通過這個平面上的 兩個點；或通過這個平面的一個點，且平行兩個點；或通過這個平面的一個點，且平行 于這個平面上的另一直線。于這個平面上的另一直線。deXOabccabddfXOabccabdfe三、平面上的點和直線三、平面上的點和直線

16、1.平面上取直線平面上取直線條件：直線在平面上，該直線必通過這個平面上的條件：直線在平面上，該直線必通過這個平面上的 兩個點；或通過這個平面的一個點，且平行兩個點；或通過這個平面的一個點，且平行 于這個平面上的另一直線。于這個平面上的另一直線。2.平面上取點平面上取點條件：若點在平面內的任意條件：若點在平面內的任意 直線上，則該點一定直線上，則該點一定 在平面上。在平面上。deXOabccabde定點先定線 作線先找點 例：已知例：已知 ABC平面的正面投影和水平投影，點平面的正面投影和水平投影，點D 在平面上。且已知在平面上。且已知d點，試求點，試求d。dnn方法一：d例：已知例：已知 ABC平面的正面投影和水平投影，點平面的正面投影和水平投影，點D 在平面上。且已知在平面上。且已知d點，試求點，試求d。dnn方法二：方法一：換面法的基本概念換面法的基本概念一次換面一次換面二次換面二次換面一般位置直線一般位置直線投影面平行線投影面平行線投影面平行線投影面平行線投影面垂