1、全國一等獎(軒轅楊杰整理)車燈線光源的優化設計電子科技大學指導老師：杜鴻飛參賽隊員：呂驥余白敏肖世堯2002年9月23日車燈線光源的優化設計摘要 本文在滿足給定設計規范的條件下，以線光源功率最小為優化目標，運用微元法對車燈線光源長度的設計問題進行了討論。首先將線光源分為若干段（微元），視每一段為一個點光源。引進兩個物理量：照度和發光效率，分別用來度量光強和建立光源功率與輻射光能的聯系。搜索每個點光源發出的光線有多少條經反射后能照到給定的B、C兩點，進而建立起光源功率與B、C點照度之間的聯系。再以設計規范中要求的B、C點的照度與額定值之間的關系為約束條件，以線光源功率最小為目標建立優化模型。代入

2、距光源25米處照度的額定值和線光源的功率線密度等參數，得出相應線光源的最優長度。以高壓毛細汞燈（發光效率50流明/瓦、功率線密度30瓦/毫米）為例，算出它的優化長度為4.2毫米，并繪出測試屏上反射光的亮區圖。從實際、安全、經濟等多角度出發，討論了該設計規范的合理性。最后考慮到實際的光源輻射有衰減、燈具反射面的污染等因素，建議引進照度補償系數，使模型的實用性更強。車燈線光源的優化設計一、問題的提出汽車頭部的車燈形狀為一旋轉拋物面，其對稱軸水平地指向正前方，并已知其開口半徑為36毫米，深度為21.6毫米。經過車燈的焦點F，在與對稱軸相垂直的水平方向上，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源。要求在某

3、一設計規范標準下確定線光源的長度。該設計規范可簡單描述如下：在焦點F正前方25米處的A點放置一測試屏，屏與FA垂直，用以測試車燈的反射光。在屏上過A點引出一條與地面相平行的直線，在該直線A點的同側取B點和C點，使AC=2AB=2.6米。要求C點的光強度不小于某一額定值（可取為1個單位），B點的光強度不小于該額定值的兩倍（只須考慮一次反射）。我們需要解決的是：（1） 滿足該設計規范的條件下，計算線光源長度，使線光源的功率最小。（2） 得到的線光源長度，在有標尺的坐標系中畫出測試屏上反射光的亮區。（3） 討論該設計規范的合理性。二、問題的分析2.1 首先我們來明確幾個概念線光源寬度與其長度相比小得

4、多的發光體。光通量光源在單位時間內輻射出的光能，用國際規定的眼（對光適應的眼）的靈敏度來估定。發光效率光源每消耗1瓦特功率可輻射出的光通量，又叫光效。 照度單位面積所接受的光通量，單位為勒克斯。2.2 分析問題首先解決本問題的一個難點：由于問題討論的主要對象是線光源，而線光源處理起來不太容易，因此想到用微元法將線光源劃分為若干小段（微元 l），每一段可視為一個點光源。這樣就將線光源的問題轉化為了點光源的疊加問題。由于該線光源照射到測試屏上，有兩種途徑：直射和反射。因此我們在考慮某點的光強時，必須同時考慮兩種情況。現在我們還需解決的幾個關鍵問題是如何度量光強，光強的額定值為多少，如何建立起功率與

5、光強的關系。通過查資料，我們引入了描述光強的物理量照度。同時查到距車燈25米處的照度額定值為1勒克斯，即光強額定值為1勒克斯（見參考文獻1）。另外，還引入發光效率這個量來建立起光源功率與光強的關系（見參考文獻2）。 在上述討論的基礎上，作進一步分析，我們認為可以建立一個以給定設計規范為約束條件，以線光源的功率最小為目標的規劃模型。可以通過步長搜索，來求得線光源長度的最優解。1三、模型的假設1、 光在反射時及整個傳播過程中，能量均無損耗。 2、 只計此線光源的長度，其體積忽略不計。3、 此線光源均勻分布，各點同性。且任意一點向整個空間各個方向均勻輻射能量。 4、 光強額定值為1勒克斯。5、 不考

6、慮光的干涉、衍射等現象。6、 光強在某點疊加時，可直接取其代數和。 7、 只考慮一次反射。四、符號說明lm流明 W功率 m米lx勒克斯（1 lx=1 lm/m2）五、模型的建立與求解 5.1 準備工作首先建立如圖坐標系：圖一 車燈測試裝置三維坐標圖2其次，明確下面的定理：定理1 從焦點發出的光經反射后均為平行于對稱軸的光。 定理2 點光源發出的光以球面波的形式向空間傳播。定理3 光源從一點A經反射到達另一點B所走過的光程等于點A的鏡像A'到點B的直線距離。此定理可由圖二直觀表示：即AC+BC=A'B圖二再根據幾何推導，可得出一個重要的結論：結論 在旋轉拋物面上，每個反射點的法線

7、都與對稱軸相交。下面我們對此結論進行證明：從圖一，我們可以看出此旋轉拋物面是由曲線x2=2cy) z=0(c>0繞y軸旋轉得到的。于是推出此旋轉拋物面的方程為z2+x2=2cy 設(x0,y0,z0)為此拋物面上任意一點，求得過此點的切面方程為2x0(x-x0)-2c(y-0y)+2(zz-)0z=0 進而得法線方程為x-x0y0-z0x=y- 0-c=zz 0聯立對稱軸方程x=0z=0得到交點坐標為（0，y0+c，0）至此，結論得證。最后將開口半徑及深度等數據代入（5.1.1）式，得出焦距c2=15（mm）=0.015（m）5.1.1）5.1.2） 5.1.3）5.1.4）3（ （ （

8、 （然后代入y=0.015，推得該線光源的范圍為0.03, 0.03m。5.2 建立模型（1）計算線光源長度首先說明一點：以下我們將對B點進行分析，對于C點，所用方法及運算過程完全類似。 光源功率與照度的關系如果光源的發光強度為I，光源與被照面的距離是r，光線方向與被照面法線的夾角為。那么，這個面上的照度就是E=Ir2cos （5.2.1）可見，在點光源垂直照射的情況下，被照面上的照度跟光源的發光強度成正比，跟表面法線與光線方向之間夾角的余弦成正比，與光源到被照面問的距離的平方成反比。通過查資料，可知光通量與發光強度之間有如下關系式：由（5.2.1）和（5.2.2）得E=4r2=4I （5.2

9、.2） cos （5.2.3）對于功率線密度為k瓦米，發光效率為流明瓦的線光源，在距它r米的物體表面，照度為E=kL4r2cos （5.2.4）光源功率為 p=kL （5.2.5）即可推出 E= 微元法將線光源轉化為點光源對于線光源來說，我們利用微元法的思想，將其分為若干小段（l），每一段可視為一個點光源，各自獨立向四周輻射光能。而在測試屏上的任意一受光點的照度等于各點光源在此處的照度代數和。這樣我們就把對線光源的討論轉化成了對點光源的討論。 求直射光的強度線光源上任一點光源D直射到測試屏上B點處有且只有一條光線。因為D發出的光是以球面波的形式向空間傳播的，設該點到B點的半徑為r，則在B點處的

10、波面面積為S=4r （5.2.7） 2P4r2cos （5.2.6）據（5.2.4）式，可得任意一點光源直射到B點時該點的照度為：klklcos=cos e直= （5.2.8） 2S4r4可以看出此量與距離有關，也就是說，不同的點光源在B點所對應的照度值不同。但注意到所有的r差別太小，因此在實際計算中，我們對r作近似處理，令它為一個常數：r=（米）kLSkL4r2于是得出此線光源的直射光在B點輻射出的總照度為 E直=cos=cos （5.2.9）而此時線光源所消耗的功率 p=kL （5.2.10） 求反射光的強度為了便于分析，我們將圖一抽象出來，并旋轉一定角度后得圖三。D線光源上任一點 N對應

11、于D點的反射點 G法線與中軸線的交點圖三對于線光源上的任意一點D（設坐標為（t，0.015，0），假設從它發出的光線經旋轉拋物面上的點N反射后，可以射到B點上。下面利用向量來推導旋轉拋物面上滿足此條件的所有反射點N的坐標。設反射點N的坐標為（x，y，z），由上文的證明可知，在旋轉拋物面上，每個反射點的法線都與對稱軸相交，且交點G的坐標為（0，y+c，0）。又已知點B的坐標為（-1.3，25.015，0），點D的坐標為（t，0.015，0）。經過分析，知道N點必須滿足以下三個條件：1）NG是BND的角平分線，即：BNG=DNGcosBNG=cosDNG5BNGNBNGN=GNDNGNDN=（5.

12、2.11）2）點G、B、N、D四點共面，所以：BNDNGN=0x+1.3xx-ty-25.015-cy-0.015zz=0 （5.2.12） z3）點N在拋物面上，所以應該滿足拋物線方程：x2+z2=2cy （5.2.13）聯立方程（5.2.11）、（5.2.12）、（5.2.13），即可求解出與線光源上一點D對應的所有的反射點N。但實際上我們并不關心N點的具體坐標值，而看重的是線光源上每一點能發出多少光線經拋物面反射后照到B或C點。由于光源發出的光能否反射受燈反射面幾何尺寸大小的限制，并且B、C點的位置相對燈而言是處在斜前方，所以，N點的位置并不具有對稱性。對于線光源上不同的點，與其對應的N

13、點數目也不同。但在線光源上位置十分相鄰的兩點，可認為它們對應的N點數目相同。即它們發出的光中有相同數目的光線經拋物面反射后恰好照射到B點（或C點）。我們采用在小區域采集離散點的方法，使用Mathematic軟件，通過改變微小l,得到線光源上當前D點對應的反射點（即N點）的數目。以此作為此微小區域 l,l+l內各點所對應的N點數目。（列表詳見附件1）如果把整個線光源劃成m個相等的微小區間，則由上述分析，第i個微小區間的點發出的光線經拋物面反射，如果能恰好射到B點（或者C點），那么在B點的照度為l+lnknik liei=cosdl=cos 22l4r4rmmiE反=ei=1=i=1nik l4r

14、2cos=nikL4mr2cos至此，我們已分別求得了E直E反于是我們可以得到 E=E直+E反=(求得長度的優化解6kL4r2+nikL4mr2) cos通過條件，建立線光源長度的優化模型：minp=kLEB=EB直+EB反2E0 s.tEC=EC直+EC反E0代入照度額定值(1勒克斯)、高壓毛細汞燈和鹵素燈的參數，得到以下結果：（2） 反射光亮區的繪制首先我們稱光能照射到的區域為亮區。我們以常用的高壓毛細汞燈為例（即 L= 4.2mm），來繪制出測試屏上反射光的亮區。亮區圖的繪制步驟：線光源反射光的亮區可以近似的看作線光源上一系列離散的點光源的反射光亮區的疊加。我們通過如下方式產生線光源反射

15、光的亮區： 1） 在線光源上等間距的選取一系列的點作為點光源; 2） 在旋轉拋物面上產生均勻排列的網格作為反光點；3） 對于每一點光源，計算它到所有反光點的入射光的方向向量及其法線方向向量； 4） 通過入射光方向向量及其法線方向向量計算反射光方向向量；5） 通過反射光方向向量及反射點的坐標求出反射光的解析式，進而求出反射光在測試屏上的投影坐標，并在此處描點。其中，由入射光方向向量及其法線方向向量計算反射光方向向量具體過程如下： 將入射光方向向量X'及其法線方向向量Y均轉化為單位向量（如圖四所示）； 取入射光方向向量X'的反方向向量X； 由幾何關系可知：X+Z=2Ycoss-X

16、所以 Z=2YcoZ即為反射光的方向向量。圖四 任一點光源的向量反射光路圖7亮區圖的繪制結果為：圖五 測試屏上反射光的亮區圖（3） 設計規范合理性的討論要解釋此設計規范的合理性，就需要解釋清楚只選擇A、B、C點（即25米、1.3米、2.6米這些距離上的點）并要求這些受光點處的光強不小于某一額定值的原因。這需要從幾個方面來闡述。從實際著眼，司機在夜晚行車，難免有一定的安全隱患，如前方突然出現一橫穿公路的行人，或者前方有影響正常、安全行駛的障礙物等等。要避免交通事故的發生，就需要在一定遠的距離外，司機能看到這些突發事件并及時作出反應，采取措施（如立即剎車等）。而司機在遇到突發事件后總有一定的反應時

17、間，因此剎車總距離(也稱停車視距)為司機反應時間距離，剎車系統協調時間距離和剎車距離三者合一。為了確保安全，就必須保證進入停車視距的突發事件被充分照亮（即該處所接受的光強不小于某一額定值）。下面我們將分兩種情況來計算停車視距。情況一 正前方發生突發事件，司機或者立即剎車，或者調整方向，繞道而行。 對這兩種救急措施，我們認為其停車視距的計算可歸為一類，即計算上面定義的剎車總距離。資料顯示人的反應時間一般為1s，普通公路上車速一般為60km/h，剎車系統協調時間距離和剎車距離一般為8m。下面來計算停車視距。司機反應時間距離為 603.61=16.7（m）所以其停車視距為 16.7+8=24.7（m

18、）但由于剎車系統協調時間距離和剎車距離隨路面附著系數不同而不同，所以此種情況下的停車視距一般在2430米之間波動。因此可以看出保證25米處光強足夠大能在一定程度上確保安全性。情況二 相鄰車道發生突發事件，司機立即剎車。8基于情況一，我們進一步深入。通過查資料，我們了解到一般公路的車道寬度為2.54米，我們以3米為例，這時若有行人處于相鄰車道的中線，且與車垂直距離為25米，正欲橫穿本車道，我們來計算一下：假定行人行走速度為1.5m/s，其余參數同上。則易算出行人在快要到達本車道中線時，車也剛剛駛到，自然會出現事故。因此必須照亮相鄰車道的部分情況來使司機提前采取應急措施。針對不同的車道寬度，可算出

19、此值為2.54米。這說明僅照亮正前方25米還不夠，必須同時保證左右偏大約2.6米的地方也被照亮。同時從經濟的角度講，不選取更長的距離作為規范，是因為在已經保證安全性的前提下，避免造成浪費。以上的討論從實際、安全、經濟多角度出發，說明了該設計規范是合理的。六、模型的評價與推廣6.1 優缺點評價1、運用的數學工具簡單，模型清楚易懂，可讀性好，實用性強。2、運用近似計算的思想，將運算過程大大簡化，且對結果影響不大，增強了該模型的可運行性和可移植性。3、引進向量，使模型統一性好，巧妙地避開了運用初等幾何知識分析時需進行的大量復雜的討論4、引入發光效率，照度等物理概念來準確描述功率與光強的關系，受光強度等量，而且通過查資料得到一般測試光強的額定值等重要參數，實際背景較強。5、但在距離求和的運算中，考慮到毫米與米在數量級上差4個單位，因此我們忽略了毫米的微小影響，這樣可能會導致計算精度的下降及結果在小范圍內的偏差，但總的說來，這個偏差是能夠接受的。6.2 模型的推廣1、此模型不僅可運用于車燈線光源長度的設計，還可改變其開口半徑、深度等參數的值，將其推廣到實際生活中其它照明系統的光源長度的優化設計。2、在實際生活中，考慮到光源光通量的衰減，燈具反射面的污染等因素，可引進一個照度補償系數，將其