1、第3講質數與合數知識網絡1. 質數與合數(1) 一個大于1的自然數，如果除了1和它本身，再不能被其他自然數整除，那么它就叫做質數(也叫做素數)。(2) 一個大于1的自然數，如果除了1和它本身，還能被其他自然數整除，那么它就叫做合數。例如：4、6、8、10、12、14,都是合數。在100以內有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25個質數。2. 質因數與分解質因數(1) 如果一個質數是某個數的約數，那么就是說這個質數是這個數的質因數。(2) 把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。例

2、如，把42分解質因數，即是42=2X3X7。其中2、3、7叫做42的質因數。又如，50=2X5X5,2、5都叫做50的質因數。重點難點要注意以下幾條：(1) 1既不是質數，也不是合數。(2) 關于質數1) 質數有無限多個。2) 最小的質數是2。3) 在質數中只有2是偶數，其余的質數全是奇數。4) 每個質數只有兩個約數：1和它本身。(3) 關于合數1) 合數有無限多個。2) 最小的合數是4。3) 每個合數至少有三個約數：1、它本身、其他約數。例如，8的約數除1和8外，還有2、4,所以8是合數。學法指導(1) 對比一下幾種判別質數與合數的方法，可以看出例1方法的優越性。判別269,用2至268中所

3、有的數試除，要除267個數；用2至268中的質數試除，要除41個數；而用本題的方法，只要除6個數。(2) 將質數按照從小到大的順序逐一去除一個數，來判斷這個數是質數還是合數的方法，有弊病。如果一個數是質數，在我們試除的過程式中就永遠找不到另一個質數是它的約數。那么，試除的數有什么范圍呢？能不能使試除的數少一點呢？請同學們學習例1。(3) 用例1的方法判斷一個數是質數還是合數，有著它的優越性，它可以明確試除的質數范圍，使試除的數的量進一步減少。例1判斷269、437兩個數是合數還是質數。思路剖析對于一個不太大的數N,要判斷它是質數還是合數，可以先找出一個大于N且最接近N的平方數再寫出k以內的所有

4、質數。如果這些質數都不能整除N，那么N是質數；如果這些質數中有一個能器N,那么N是合數。解答因為勇9。17以內的質數有2、3、5、7、11、13。根據能被某些數整除的數的特征，個位數是9,所以269不能被2、5整除；2+6+9=17,所以269不能被3整除。經逐一判斷或試除知，這6個質數都不能整除269,所以269是質數。因為437<21七441。21以內的質數有2、3、5、7、11、13、17、19。容易判斷437不能被2、3、5、7、11整除，用13、17、19試除437,得到437+19=23,所以437是合數。例2判斷數1111112111111是質數還是合數？思路剖析按照例1的

5、方法判別這個13位數是質數還是合數，當然是很麻煩的事，能不能想出別的辦法呢？根據合數的意義，如果一個數能夠寫成兩個大于1的整數的乘積，那么這個數是合數。解答根據整數的意義，這個13位數可以寫成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111X(1000000+1)=1111111X1000001由上式可知111111和1000001都能整除1111112111111所以1111112111111是合數。例3數a是質數，且a+10、a+14也都是質數，數a是多少？思路剖析任何自然數除以3的余數只有3種情況：余1、余2、余0(即能被3整除)。因為10除以3余

6、1,14除以3余2。所以a不能是被3除余1的數，否則a+14能被3整除，就不是質數了。a也不能是被3除余2的數，否則a+10能被3整除，也不是質數。因此a只能是能被3整除的數，a本身又是質數，因此a只能是3。解答由上述分析可知數a只能是3。點津本題分析中有這樣一條規律：如果兩個數除以3的余數相加的和能被3整除，那么這兩個數的和也能被3整除。例4三個質數的和是80,這三個質數的積最大是多少？思路剖析由于三個數的和是偶數，所以這三個數中必有一個是偶數，在質數中只有2是偶數，所以三個數中一定有2。另兩個質數的和是78,要使乘積盡可能大，那么這兩個質數的差值應盡可能小。顯然，和是78的兩個質數中，以4

7、1與37的差最小，即這兩個數的積最大。解答三個質數的積是2X37X41=3034例5找出1100這100個自然數中所有的質數。思路剖析要找出1100這100個自然數中所有的質數，可以依次把這100個自然數的每一個數的約數求出來，找出其中只有兩個約數的數。不過這種方法顯得笨拙，可以用淘汰法，也就是首先把比2大的所有2的倍數全部劃去，然后在余下的數當中劃去所有比3大且是3的倍數的自然數，接下來再把余下的數當中比5大且是5的倍數的自然數全部劃去，如此進行下去，即可得到100以內的所有質數。解答100以內的所有質數為：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、5

8、9、61、67、71、73、79、83、89、97。點津想一想，在上面篩去100以內的合數的過程中，為什么最后篩去的是大于7的倍數，而不再篩去大于11的倍數，篩去大于13的倍數呢？事實上，這些倍數已包含在已劃去的倍數中，由于100=10X10,所以100以內所有合數只有大于10的因數，必然就有一個小于10的因數。也就是說，100以內的任何一個合數一定能被10以內的質數整除，而10以內的質數只有2、3、5、7這4個，所以最后篩去大于7的倍數就可以了。例6判斷391、123456789是質數還是合數。思路剖析在自然數中，除了1以外的數，若不是質數，則必是合數，二者必居其一。要判斷一個數是質數還是合

9、數，根據合數的定義，只要找到一個既不是1又不是這個數的本身的約數即可。一般方法只要把2、3、5、7、這些質數按由小到大的次序，逐一去除所要判斷的那個數；如果有某個質數恰好是它的約數，則所給的自然數為合數；如果這樣的質數不存在，則所給的自然數為質數。解答將質數2、3、5、7、11、這些質數逐一去除391，發現391能被17整除，所以391是合數。將質數2、3、5、7、11、這些質數逐一去除123456789,發現123456789是3的倍數，所以123456789是合數。另外，根據能被3整除的數的特征，也可以證明123456789是3的倍數，故123456789是合數。例7判斷439、943這兩

10、個數是合數還是質數。解答因為2尸=如亦439,翌=441439所以找到了大于439且接近439的平方數2好。21以內的質數有2、3、5、7、11、13、15、17、19。根據整除的特征，很容易判斷出439不能被2、3、5、7、11整除；用13、17、19試除439，均不能整除。所以439是質數。因為3護=900<943,31961>943所以找到了大于943且接近943的平方數31'。31以內的質數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、共十個。很容易推斷出2、3、5、7、11均不能整除943;再用13、17、19、23、29試除943,發現943能被23整除

11、。所以943是合數。例8m為一個質數，且m+16、m+20也均是質數，求m是多少？思路剖析我們知道，任何自然數被3除只有三種情況：即被3整除，被3除后余1和被3除后余2,故，我們作如下討論：(1) m不能是被3除余1的數，因為若m被3除1,則m+20就能被3整除，就不是質數了。(2) m也不能是被3整除余2的數，因為若m被3整除余2,則m+16就能被3整除，則不是質數，所以m只可能是被3整除的數，且又要求為質數，因此m=3。解答設q為m被3除的商，若m=3q+1,則3整除(m+20)若m=3q+2，貝U3整除m+16所以m=3q,且m為質數，所以m取3。答：m為3。例9有人說：“任何7個連續自

12、然數中一定有質數”，請你舉一個例子，說明這句話是錯的。解答解法一：題目要求我們具體找出7個連續的合數。中間夾著7個連續合數的兩個質數，其差一定大于7,所以只要找到差大于7的兩個相鄰質數即可。質數89與97相鄰，它們的差97-89=8乙所以89與97之間的七個連續自然數90、91、92、93、94、95、96全是合數，沒有質數。可見“任何7個連續自然數中一定有質數”這句話是錯誤的。解法二：任取7個連續的自然數，找出它們的一個公倍數，給它們各自加上這個公倍數，所得7個新數仍是連續的，并且原來的7個數分別是這7個數的約數，所以7個新數全是合數。任取7個連續的自然數，比如2、3、4、5、6、7、8,8

13、40是它們的一個公倍數，給2、3、4、5、6、7、8每一個都加上840得到842、843、844、845、846、847、848,這7個連續自然數分別有約數2、3、4、5、6、7、8,可見它們都是合數，沒有一個是質數，因此“任何7個連續自然數中一定有質數”這句話是錯誤的。發散思維訓練1. 連續九個自然數中至多有幾個質數？為什么？2. 975X935X972X(),要使這個連乘積的最末4個數字都是0,在括號內最小應填什么數？3. 把33拆成若干個不同質數之和，如果要使這些質數的積最大，問這幾個質數分別是多少？4. 用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字組成質數，如果每個數字都要用到，并且

14、只能用1次，那么這九個數字最多能組成幾個質數。5. 有三張卡片，在它們上面各寫著一個數字7、8、9,從中抽出一張、二張、三張,接任意次序排列起來，可以得到不同的一位數、二位數、三位數，請將其中的質數寫出來。6. 兩個質數的和是50,求這兩個質數乘積的最大值是多少。5的倍數的乘積。7.2000年的哪幾天，年數、月數和日數的乘積恰好等于三個連續的參考答案發散思維訓練1. 解：如果這連續的九個自然數在1與20之間，那么顯然其中最多有4個質數（如：1至9中有4個質數2、3、5、7）。如果這連續的九個自然數中最小的不小于3,那么其中的偶數顯然為合數，而其中奇數的個數最多有5個。這5個奇數中必只有一個數其

15、個位數是5,因而5是這個奇數的一個因數，即這個奇數是合數。這樣，至多另4個奇數都是質數。綜上所述，連續九個自然數中至多有4個質數。2. 解：要使連乘積最末4個數字都是0,連乘積應是10000的倍數，即要連乘積的因數中含4個2,4個5,因為2X2X2X2X5X5X5X5=10000975=5X5X39,935=5X187,972=2X2X243;其中已有兩個2和三個5,因此，只需要再乘上兩個2和一個5,即2X2X5=20就可以了。故在括號內最小應填20。3. 解：首先假設可以拆成五個不同質數之和（分成六個或六個以上質數之和不可能）：33是奇數，因此五個質數中不能有2（否則和是偶數），取最小連續五

16、個奇質數3、5、7、11、13的和是39,超過33,所以分成五個是不可能的。假設33可以分成四個質數之和，33是奇數，因此四個數中一定有一個偶數2,即其余三個的和是31,顯然可以找出其余三個分別是：3、5、23;3、11、17;7、11、13;5、7、19。在這些三個數的乘積中最大的是7X11X13=1001。假設33可分成三個質數和，只可能是3、13、17;3、11、19;3、7、23;5、l、17。乘積均小于2X7X11X13,33若分成為兩個質數之和，只可能是2和31,乘積僅為62,故應將33寫成四個數2、7、11、13的和時，它們的積最大。答：這幾個質數分別是2、7、11、13。4.

17、解：每個數字都要用到且只能用1次，同時又要組成的質數最多。我們在組成質數時，盡可能地將合數4、6、8、9和最小自然數1組成兩位數，同時數字8和9可以組成質數89,另外，一位質數不能是2、3、5、7四個，不然數字l、4、6、8、9無法組成兩位質數，那么當一位質數為3個時，兩位質數也為3個（例如：2、5、7、43、61、89或2、3、5、47、61、89）。答：這九個數字最多可組成6個質數。5. 解：數字卡片9倒過來變成6,而7+8+9=24,6+7+8=21,可知抽三張卡片時，無論按什么順序排列的三位數都能被3整除，所以它們都不是質數。從中任取=張卡片，按不同的順序排列的兩位數中有97、67、79、89是質數；從中任意抽取一張卡片得到的一位數中只有7是質數。所以，所求的質數有7、97、79、89、67五個。6. 解：把50表示為兩個質數的和，共有四種形式：50=47+3=43+7=37+13=31+19因為31X19=589>37X13=481>43X7=301>47X3=141所以所求的最大值是589。7. 解：因為20DQ=-必,它是有三個5的乘積的倍數，只需使另外三個數