1、1赫爾默特方差分量估計因此平差時隨機模型都是使用觀我們知道,平差前觀測值向量的方差陣一般是未知的,測值向量的權陣.而權確實定往往都是采用經驗定權,也稱為隨機模型的驗前估計,對于同類觀測值可按第一章介紹的常用定權方法定權；對于不同類的觀測值,就很難合理地確定各類觀測值的權.為了合理地確定不同類觀測值的權,可以根據驗前估計權進行預平差,用平差后得到的觀測值改正數來估計觀測值的方差,根據方差的估計值重新進行定權,以改善第一次平差時權的初始值,再依據重新確定的觀測值的權再次進行平差,如此重復,直到不同類觀測值的權趨于合理,這種平差方法稱為驗前方差分量估計.此概念最早由赫爾默特在1924年提出,所以又稱

2、為赫爾默特方差分量估計.、赫爾默特方差分量估計公式為推導公式簡便起見,設觀測值由兩類不同的觀測量組成,不同類觀測值之間認為互不相關,按間接平差時的數學模型為一.LiBiXi一(8-4-i)(8-4-2)(8-4-3)8-4-4)(8-4-5)L2B2X2(函數模型)D(Li)D(i)oPi1_2_iD(L2)D(2)0P2D(Li,L2)D(i,2)0(隨機模型)其誤差方程為ViBi?li權b$PiV2B2212權BP2作整體平差時,法方程為N»W0式中TTNNiN2,NiBiPBi,N2B2P2B2TTWWi畋WiBRli,W2B2圍2般情況下,由于第一次給定的權pi、P2是不恰當

3、的,或者說它們對應的單位權方差22是不相等的,設為01和02,那么有D(Li)O1P12i(8-4-6)Pi、D(L2)02P212但只有0122020才認為定權合理.方差分量估計的目的就是根據事先初定的權P2進行預平差,然后利用平差后兩類觀測值的TT2V1PV1、V2P2V2來求估計量？01、再根據(8-4-6)式求出伙Li)、伙L2),由這個方差估值再重新定權,再平差,直到？01?02T_T八2八2為止.為此需要建立V1PiVi、V2F2V2與估計量01、02之間的關系式.Y由數理統計知識可知,假設有服從任一分布的q維隨機變量q1,其數學期望為q1,Y方差陣為qq,那么q1向量的任一二次型

4、的數學期望可以表達為：(8-4-7)E(YtBY)tr(B)tB式中B為任意q階的對稱可逆陣.現用V向量代替上式中的Y向量,那么其中的應換為E(V),應換為D(V),B陣可以換成權陣P,于是有(8-4-8)(8-4-9)E(VtPV)tr(PD(V)E(V)tPE(V)前面已經證實E(V)0,于是有:TE(ViPVi)tr(PD(Vi)1V1B1NWl11B1N(W1W2)l1B1N1B1TPl1B1N1B2TP2l2l11T1T(B1N舊1TpiI)l1B1N1B2P2l2對上式應用協因數傳播律得_1_T_1_T_TD(V1)(B1NB1PlI)D(L1)(B1NB1PlI)_1T_1_TB

5、1NB2P2D(L2)P2B2NB1c/i2門1c/i2門1將D(L1)01P1、D(L2)02P2代入上式,整理后得_2_11_T1_T_12_11_TD(V1)01(B1N1N1N1B12B1N1B1"1)22B1N1N2N1B1將上式代入(8-4-9)式,得E(VRV1)tr(P1D(V1)2_11_T1_T_101tr(P1B1NN1NB12KBiNB1RP1)211T02tr(P1B1N1N2N1B1)顧及矩陣跡的性質,上式可寫為E(V1TP1V1)211nl2tr(N1N1)tr(N1N1N1N1)22tr(N1N1N2N1)同理可得_T_2_111211E(V2P2V2

6、)02n22tr(N2N)tr(NzNN2N).1懺3網N2N)2222去掉上面兩式的期望符號,相應的單位權方差01、02也改用估值符號？01、？02表示,整理順序后得111_2n12tr(NN1)tr(N1N1NN1)?0111.9Ttr(N1N1N2N1)?京VPM(8-4-10)V；P2V211_2111_2tr(NNN2N)?01n22tr(NzN)tr(NzNN2N)?.2其矩陣形式可寫為S?W2221?S1W21(8-4-11)(8-4-12)(8-4-13)式中11tr(N1N1N2N1)1112tr(N2N1)tr(N2N1N2N1)111n12tr(N1N1)tr(N1N1N

7、1N1)11tr(N1N1N2N1)n2,2T02TTTWViRViV2P2V2(8-4-12)、(8-4-13)兩式即為赫爾默特方差分量估計的嚴密公式.由此式可以求得兩類觀測值的單位權方差估值,從而可以根據(8-4-6)式求得觀測值方差的估值,以此方差估值再次定權,再次平差,直至滿足要求為止.現將以上推導擴展至m組觀測值.誤差方程為ViBi?li(i1,2m)令21D(Li)oiPimNBTPBi,NNi1mWBTPili,WWi1那么得參數的估值為?N1W根據上述類似的推導,那么有m_T_2_111211E(ViPM)0ini2tr(NiN)tr(NiNNiN)0jtr(NiNNjN)j1

8、,ji2?2去掉期望符號,相應的單位權方差0i也改為用估值符號？0i,那么有S?Wmmm1(8-4-14)式中1111111n12tr(N1N1)tr(N1N1N1N1),tr(N1N1N2N1)tr(N1N1NmN1)Str(N2N1N1N1),n22tr(N2N1)tr(N2N1N2N1)tr(N2N1N2N1)1111111tr(NmN1N1N1),tr(NmN1N2N1)nm2tr(NmN1)tr(NmN1NmN1),2?201-02WViTPiViV2Tp2V2TTVmPmVmPi、P2Pm.、計算步驟1 .將觀測值分類,并進行驗前權估計,即確定各類觀測值的權的初值2 .進行第一次平

9、差,求得VipVi；?23 .按(8-4-14)式求各類觀測值單位權方差估值.0i；4 .按(8-4-6)式計算各類觀測值方差的估值;5 .依據定權公式再次定權,再次平差,如此反復,直到各類單位權方差的估值相等或接近相等為止.2秩虧自由網平差在前面介紹的經典平差中,都是以的起算數據為根底,將限制網固定在數據上.如水準網必須至少網中某一點的高程,平面網至少要一點的坐標、一條邊的邊長和一條邊的方位角0當網中沒有必要的起算數據時,我們稱其為自由網,本節將介紹網中沒有起算數據時的平差方法,即自由網平差.在經典間接平差中,網中具備必要的起算數據,誤差方程為VB父ln1ntt1n1(8-2-1)式中系數陣

10、B為列滿秩矩陣,其秩為R(B)t.在最小二乘準那么下得到的法方程為Nbb?W0ttt1t1(8-2-2)由于其系數陣的秩為R(Nbb)R(BTPB)R(B)t,所以Nbb為滿秩矩陣,即為非奇異1陣,具有凱利逆N1bb,因此具有唯一解,即"N1bbW(8-2-3)u,誤差方程為(8-2-4)當網中無起算數據時,網中所有點均為待定點,設未知參數的個數為式中d為必要的起算數據個數.盡管增加了d個參數,但B的秩仍為必要觀測個數,即R(B)tu其中B為不滿秩矩陣,稱為秩虧陣,其秩虧數為d.組成法方程N0W0uuu1u1(8-2-5)式中uNuB4Bu"BP1,且R(N)R(BTPB)

11、R(B)tu,所以N也為秩虧陣,秩虧數為：dut(8-2-6)由上式知,不同類型限制網的秩虧數就是經典平差時必要的起算數據的個數.即有：1,水準網、測站平差d3,測邊網、邊角網、導線網4,測角網在限制網秩虧的情況下,法方程有解但不唯一.也就是說僅滿足最小二乘準那么,仍無法求得Q的唯一解,這就是秩虧網平差與經典平差的根本區別.為求得唯一解,還必須增加新的約束條件,來到達求唯一解的目的.秩虧自由網平差就是在滿足最小二乘VTPVmin和最小范數夕？min的條件下,求參數一組最正確估值的平差方法.下面將推導自由網平差常用兩種解法的有關計算公式.一、直接解法,一、,人,一、,N及W0小一,根據廣義逆理論

12、,相容方程組uuu1u1雖然具有無窮多組解,但它有唯一的最小范數解,即：(8-2-7)?rNmiW式中NmNTINNT,稱為矩陣N的最小范數g逆.NNT稱為矩陣NNT的g逆.代入8-2-7式得(8-2-8)*Nt(NNt)W上式就是根據廣義逆理論直接求解參數的唯一最小范數解的公式.由于廣義逆計算較為復雜,下面將公式做進一步改化:iit21Ni2tdN22ddNiN2(8-2-9)式中Ni行滿秩,即RNiNNTWuiWitiW2di(8-2-10)t,于是有NiTiNiTN2iNTNiNTNiNTN2NTN2NT8-2-11)而R(NiNiT)R(Ni)t,所以(NiNT為滿秩方陣,根據降階法求

13、矩陣廣義逆的方法,即：如果有矩陣AmnAnrrA2i(mr)rAi2r(nr)A22(mr)(nr)其中R(Ai)r,Ai存在凱利逆,那么有根據上式可得AmnAiiirr0(8-2-12)(NiNT)Ti(NiNT)i0Qii000(8-2-i3)代入8-2-8式,得2T2TQiiNiN20WW2N；QiiW1(8-2-14)或寫成及nT(NiNT)iiWi(8-2-15)未知參數的協因數陣為:Q&NiTQiiQwiwi(NiTQii)TNTQiiNiiQiiNi(8-2-16)二、附加條件法(偽觀測值法)前面已提及,秩虧自由網平差就是在滿足最小二乘VTPVmin和最小范數夕?min的

14、條件下,求參數一組最正確估值的平差方法,實際上就是求相容方程組N及W0一,一uuuiui的最小范數解.附加條件法的根本思想：由于網中沒有起算數據,平差時多選了d個未知參數,因此在u個參數之間必定滿足d個附加條件式,即在原平差函數模型中需要參加d個未知參數間的限制條件方程,從而可以按附有條件的間接平差法求解.問題的關鍵是如何導出等價于娛欠min的限制條件方程的具體形式.為表達方便,我們先給出該限制條件方程,然后再推導平差計算公式,最后證實,在人一,_,N勿W0給定的限制條件方程下所求得的解,就是相容方程組uuu1u1的最小范數解.設等價于約束條件0T0min的限制條件方程為ST?0duu1(8-

15、2-17)式中R(S)d,且滿足BS0,S稱為附加陣.故秩虧自由網平差的函數模型為VB£ln1nuu1n1權陣為PST?0duui根據附有條件的間接平差可得法方程NS欠Wt0(8-2-18)R(B)tu,唯一不同的是這里ST0Ks0式中uNu設型BTpi,且R(N)R(BTPB)N為秩虧陣.為解決秩虧問題,將8-2-18中的第二式左乘S矩陣后,再加到第一組中得:NS)?WST0Ks0式中NNSST,且R(N)u根據附有條件的間接平差原理,上式的解為T1一Ks(SNS)SNW1.及N(WSKs)(8-2-19)(8-2-20)(8-2-21)由于上述解是通過增加未知參數間滿足的d個附加

16、條件,根據附有條件的間接平差法而實現的,因此人們把此法稱為附加條件法.但它又不同于經典的附有條件的間接平差法,其主要表現為：當S陣滿足BS0時,必定有下式成立證實從略Ks0將8-2-22式代入8-2-21式,可得參數的解為(8-2-22)?N1WN1BTPl(8-2-23)11T現在只需證實,按8-2-23式求得的解女NWNBPl就是法方程N及W0.uuu1u1的最小范數解.為此只需證實N是N的最小范數g逆中的一個即可,即只1.需證實N滿足以下兩式:NN1NN和(N1N)TN1N(8-2-24)現證實如下：由于NNSST,所以有11TNNNNSSI右乘S陣并展開,那么有N1NSN1NSN1SS

17、TSS而NSBTPBS0,所以有1TN1s(STS)S由于R(StS)d,存在逆陣,那么有N1sS(STS)1所以有N1NN1(NSST)(IN1SST)IS(STS)1ST1T1N(N1N)NNS(S'S)1SN因此(8-2-24)第一式得到驗證.由(8-2-27)式得1T_T1_TT_T1_T(N1N)T(IS(STS)1ST)TIS(STS)1ST考慮到(8-2-26)式,那么上式為1T1T11(NN)INSSIN(NN)NN(8-2-28)、(8-2-29)兩式說明N是N的最小范數g逆中的一個,因此按(得的？一定是相容方程組uNuu?W10的最小范數解.三、精度評定單位權中誤差

18、估值的計算9VTPV?0.r式中VTPV可以直接計算,也可以按下式求得VTPV1TpiWT)?未知參數的協因數陣為_-1_T_-1_T_TQXXNBPQ(NBP)-1_T_-1-1-1N1B1PQPBN1N1NN1-1-T-1-1T-1(8-2-26)(8-2-27)(8-2-28)(8-2-29)8-2-23)式求(8-2-30)(8-2-31)N(NSS)NN(ISSN)實際計算時,通常要對s進行標準化,設標準化后的S陣用G表示,即不僅要求滿足1T1一BG0,還要求滿足GGI,此時8-2-26式變成NGGGGG,轉置后T1T有GNG,因此8-2-32式將變成如下形式Q做N1GGT8-2-3

19、3四、兩點說明假設將Ks0代入法方程,那么法方程變為N?W0或BTPBSST?BTPl0上式相當于以下誤差方程聯合組成的法方程VB?lVgG上式的第一式為觀測值L的誤差方程,第二式可以看作是為求最小范數解而人為增設的d個虛擬誤差方程,因此附加條件法又叫偽觀測值法.該方法的特點就是用求凱利逆替代了求廣義逆,因此便于計算和計算機編程,但首要條件是必須知道附加陣S,關于附加陣確實定問題,本教材不準備作詳細討論,下面直接給出常見限制網的附加陣s及其標準化后的矩陣G的具體形式:水準網設有u個點(8-2-34)0101010i0100000Xiy2X2ymXm(8-2-35)ST1111測邊網設有m個點1ST032m0y00式中xi、yi為第I點的近似坐標gt32m1m1.m(1(010一R2(y101010)10101)-0-0