1、計數原理計數原理第一章第一章這就是計數這就是計數數數案下所有可能的號碼案下所有可能的號碼種汽車牌照號碼組成方種汽車牌照號碼組成方某某數出數出這就要這就要才能滿足民眾的需求呢才能滿足民眾的需求呢法法車牌照號碼的組成方車牌照號碼的組成方管理部門應如何確定汽管理部門應如何確定汽交通交通那么那么個性化個性化照照多車主還希望自己的牌多車主還希望自己的牌許許另外另外汽車牌子號碼需要擴容汽車牌子號碼需要擴容量迅速增長量迅速增長汽車擁有汽車擁有家庭家庭高高隨著人們生活水平的提隨著人們生活水平的提成成適當順序排列而適當順序排列而并按照并按照數字中選出若干個數字中選出若干個個阿拉伯個阿拉伯個英文字母、個英文字母、

2、汽車牌照一般從汽車牌照一般從.,?,.,.,1026分步乘法計數原理分類加法計數原理與1 . 1?,碼的號總共能編出多少種不同給教室里的座位編號或一個阿拉伯數字用一個大寫的英文字母.361026,1090,26種不同的號碼所以總共可以編出個共有阿拉伯數字個因為英文字母共有問題一問題一 從甲地到乙地，可以乘火車，從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有也可以乘汽車，一天中，火車有3班，汽車班，汽車有有2班那么一天中，乘坐這些交通工具從班那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？甲地到乙地共有多少種不同的走法？ 因為一天中乘火車有因為一天中乘火車有3種走法，乘汽車

3、有種走法，乘汽車有2種走法，每種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：325（種）（種）:,有如下原理有如下原理一般地一般地.nmN.n2,m1,不同方法不同方法種種這件事共有這件事共有那么完成那么完成法法種不同方種不同方類方案中有類方案中有在第在第同方法同方法種不種不類方案中有類方案中有在第在第類不同方案類不同方案完成一件事有兩完成一件事有兩分類加法計數原理分類加法計數原理.兩類中的方法互不相同兩類中的方法互不相同:,B,A,1具體情況如下具體情況如下專業專業趣的強項趣的強項兩所大學各有自己感興兩所大學各有自己感興了解到了解到一名高中畢業生一名高

4、中畢業生在填寫高考志愿表時在填寫高考志愿表時例例工程學工程學物理學物理學醫學醫學化學化學生物學生物學大學大學A法學法學信息技術學信息技術學會計學會計學數學數學大學大學B?,擇共有多少種擇共有多少種這名同學可能的專業選這名同學可能的專業選那么那么有有60種取法。種取法。因此由分類加法計數原理知：因此由分類加法計數原理知：取法種數共有取法種數共有40+60=100（種）（種）補例補例1：兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個白球，個白球，60個個紅球，從中任取一個球，有多少種取法？紅球，從中任取一個球，有多少種取法？解：取一個球的方法可以分成兩類：解：取一個球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球

5、的袋子里取一個白球一類是從裝白球的袋子里取一個白球有有40種取法；種取法；另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球40個個60個個，那么應當如何計數？中都有若干種不同方法類不同方案，在每一類如果完成一件事情有有多少種不同的方法那么完成這件事共種不同方法案中有類方在第種不同的方法種方案中有在第種不同的方法類方法中有在第案成一件事有三類不同方如果完nmmm?.3,2,1,321探究探究1、分類計數原理、分類計數原理 （加法原理）（加法原理） 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有n類類辦法辦法,在第一類辦法中有在第一類辦法中有m1種不同的種不同的方法方法,在第

6、二類辦法中有在第二類辦法中有m2種不同的種不同的方法，方法，在第，在第n類辦法中有類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共種不同的方法。那么完成這件事共有有N=m1+m2+mn種不同的方法。種不同的方法。問題三問題三：用前6個大寫英文字母和19個阿拉伯數字,以A1,A2,B1,B2的方式給教室的座位編號.A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99種B1234567899種6 9 =54 問題四問題四：如圖：如圖,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3條，由條，由B村去村去C村的道路有村的道路有2條。從條。從A村經村經B村去村去C村，共有多少種不同的走村，共有多少種不同的走法

7、法?A村村B村村C村村北北南南中中北北南南 解：解： 從從A村經村經 B村去村去C村有村有2步步, 第一步第一步, 由由A村去村去B村有村有3種方法種方法, 第二步第二步, 由由B村去村去C村有村有2種方法種方法, 所以所以 從從A村經村經 B村去村去C村共有村共有 3 2 = 6 種不同的方法種不同的方法。.nmN,n2,m1,:,種不同的方法種不同的方法件事共有件事共有那么完成這那么完成這種不同方法種不同方法步有步有做第做第種不同方法種不同方法步有步有做第做第要兩個步驟要兩個步驟件事需件事需成一成一完完分步乘法計數原理分步乘法計數原理有如下原理有如下原理一般地一般地.2,1步方法的選取步方

8、法的選取都不影響第都不影響第步采用哪種方法步采用哪種方法無論第無論第?,.24,302多少種不同的選法多少種不同的選法共有共有表班級參加比賽表班級參加比賽選出男、女生各一名代選出男、女生各一名代現要從中現要從中名名女生女生名名設某班有男生設某班有男生例例.2,1.,步步選選女女生生第第步步選選男男生生第第可可分分兩兩個個步步驟驟選選出出一一組組參參賽賽代代表表分分析析;30,130,1選法種不同有人名男生中選出從步第解;24,124,2種不同選擇有人名女生中選出從步第.7202430,種不同的選取法共有根據分步乘法計數原理補例補例2： 兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球與個紅球與6

9、0個白球，個白球，從中取一個白球和一個紅球，有多少種取法？從中取一個白球和一個紅球，有多少種取法？60個個40個個解：取一個白球和一個紅球可以分成解：取一個白球和一個紅球可以分成兩步來完成：兩步來完成：第一步從裝白球的袋子里取一個白球第一步從裝白球的袋子里取一個白球，共有共有60種取法；種取法；第二步從裝紅球的袋子里取一個紅球，第二步從裝紅球的袋子里取一個紅球，共有共有40種取法種取法因此由分步乘法計數原理知：因此由分步乘法計數原理知：取法種數共有取法種數共有40 60=2400（種）（種）?,3,2,1,321同的方法少種不那么完成這件事共的多的方法種不同步有做第種不同的方法步有做第種不同的

10、方法步有做第個步驟如果完成一件事需要三mmm?,n計計數數呢呢那那么么應應當當如如何何中中都都有有若若干干種種不不同同方方法法做做每每步步個個步步驟驟如如果果完完成成一一件件事事需需要要探究2、分步計數原理、分步計數原理 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n個個步驟，做第一步有步驟，做第一步有m1種不同的方法，種不同的方法，做第二步有做第二步有m2種不同的方法，種不同的方法，做第做第n步有步有mn種不同的方法，那么完種不同的方法，那么完成這件事有成這件事有N=m1m2mn種不種不同的方法同的方法。（乘法原理）（乘法原理） 一個三位密碼鎖一個三位密碼鎖,各位上數字由各位上數字由

11、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數字組成十個數字組成,可以設置多少種三位數的可以設置多少種三位數的密碼密碼(各位上的數字允許重復各位上的數字允許重復)?首位數字不為首位數字不為0的的密碼數是多少密碼數是多少?首位數字是首位數字是0的密碼數又是多少的密碼數又是多少? 分析分析: 按密碼位數按密碼位數,從左到右從左到右依次設置第一位、第二位、第三依次設置第一位、第二位、第三位位, 需分為三步完成需分為三步完成; 第一步第一步, m1 = 10; 第二步第二步, m2 = 10; 第三步第三步, m3 = 10. 根據乘法原理根據乘法原理, 共可以設置共可以設置 N = 101010 =

12、103 種三位數的密碼。種三位數的密碼。練習 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理聯系聯系區別一區別一完成一件事情共有完成一件事情共有n類類辦法，關鍵詞是辦法，關鍵詞是“分類分類”完成一件事情完成一件事情,共分共分n個個步驟，關鍵詞是步驟，關鍵詞是“分步分步”區別二區別二每類辦法都能每類辦法都能獨立完成獨立完成這件事情。這件事情。每一步得到的只是中間結果，每一步得到的只是中間結果，任何一步都任何一步都不能獨立完成不能獨立完成這件事情這件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成這件事情，只有每不能完成這件事情，只有每個步驟完成了，才能完成這個步驟完成了，才能完成這件事情。件事情。分類計數原理和

13、分步計數原理，回答的都是關于分類計數原理和分步計數原理，回答的都是關于完成一件事情的不同方法的種數的問題。完成一件事情的不同方法的種數的問題。區別三區別三各類辦法是互斥的、各類辦法是互斥的、并列的、獨立的并列的、獨立的各步之間是相關聯的各步之間是相關聯的分類計數與分步計數原理的區別和聯系：分類計數與分步計數原理的區別和聯系：ABm1m2mn.ABm1m2mn點評點評: :乘法原理看成乘法原理看成“串聯電路串聯電路”加法原理看成加法原理看成“并聯電路并聯電路”; ?,13 , 2 , 12?,11.23,32,413同取法同取法有多少種不有多少種不本書本書層各取層各取從書架的第從書架的第有多少種

14、不同取法有多少種不同取法本書本書從書架中任取從書架中任取不同的體育書不同的體育書本本層放有層放有第第本不同的文藝書本不同的文藝書層放有層放有第第本不同的計算機書本不同的計算機書層放有層放有書架的第書架的第例例 ;4,111:3,1種方法有本計算機書層取類方法是從第第類方法有從書架上任取一本書解;3,122種方法有本文藝書層取類方法是從第第.2,133種方法有本體育書層取類方法是從第第.9234mmmN,321不同取法的種數是根據分類加法計數原理 :3,13 , 2 , 1個步驟完成可以分成本書層各取從書架的第2 2;4,111種方法有本計算機書層取步從第第;3,122種方法有本文藝書層取步從第

15、第.2,133種方法有本體育書層取步從第第.24234mmmN,321不同取法的種數是根據分步乘法計數原理?,234有有多多少少種種不不同同的的掛掛法法問問共共墻墻的的指指定定位位置置幅幅分分別別掛掛在在左左、右右兩兩邊邊幅幅不不同同的的畫畫中中選選出出從從甲甲、乙乙、丙丙要要例例:,23可以分兩步完成邊墻上幅分別掛在左、右兩幅畫中選取從解;3,13,1方法種有幅掛在左邊墻上幅畫中選從步第.2,12,2種方法有上幅畫掛在右邊墻幅畫中選從剩下的步第.623N,不同掛法種數是根據分步乘法計數原理:6種掛法可以表示如下種掛法可以表示如下左邊左邊右邊右邊得到的掛法得到的掛法左甲右乙左甲右乙甲甲乙乙丙丙

16、左甲右丙左甲右丙甲甲乙乙丙丙左乙右甲左乙右甲左乙右丙左乙右丙甲甲乙乙丙丙左丙右甲左丙右甲左丙右乙左丙右乙1 1、從、從5 5名同學中選出正副班長各一名，則不同的任職名同學中選出正副班長各一名，則不同的任職方案有多少種？方案有多少種？2 2、三層書架上，上層放著、三層書架上，上層放著1010本不同的語文書，中層本不同的語文書，中層放著放著9 9本不同的數學書，下層放著本不同的數學書，下層放著8 8本不同的英語書，本不同的英語書，（1 1）從書架上任取一本，有多少種取法？）從書架上任取一本，有多少種取法？（2 2）從書架上任取語數外各一本，有多少種取法？）從書架上任取語數外各一本，有多少種取法？3

17、 3、在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩、在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數共有多少個？位數共有多少個？4某中學的一幢某中學的一幢5層教學樓共有層教學樓共有3處樓梯，問從處樓梯，問從1樓到樓到5樓共有多少種不同的走法？樓共有多少種不同的走法？判斷下列用分類判斷下列用分類 還是分步原理，并說出式子還是分步原理，并說出式子分步分步 5 54 4分類分類 10+9+810+9+8分步分步 10109 98 8分類分類( (按十位分按十位分) 8+7+6+5+4+3+2+1) 8+7+6+5+4+3+2+1分步分步 3 33 33 33 3 有些較復雜的問題往往不是單純有些較復雜的

18、問題往往不是單純的的“分類分類”“”“分步分步”可以解決的，可以解決的，而要將而要將“分類分類”“”“分步分步”結合起來結合起來運用一般是先運用一般是先“分類分類”，然后再，然后再在每一類中在每一類中“分步分步”， 綜合應用分綜合應用分類計數原理和分步計數原理類計數原理和分步計數原理注意注意 從甲地到乙從甲地到乙地有地有3條路，條路，從乙地到丁地從乙地到丁地有有2條路；從條路；從甲地到丙地有甲地到丙地有3條路，從丙條路，從丙地到丁地有地到丁地有4條路，問：從條路，問：從甲地到丁地有甲地到丁地有多少種走法？多少種走法？ 甲甲 乙乙 丙丙 丁丁補例補例31有不同的中文書有不同的中文書9本，不同的英文書本，不同的英文書7本，不同的日本，不同的日文書文書5本從其中取出不是同一國文字的書本從其中取出不是同一國文字的書2本，問有多本，問有多少