1、習題一、選擇題1.質點沿軌道AB作曲線運動，速率逐漸減小，圖中哪一種情況正確地表示了質點在C處的加速度？7z B一-BCC aAA(A)(B)答案：C解：加速度方向只能在運動軌跡內側，只有(C)B、C符合；又由于是減速運動，所以加速度的切向分量與速度方向相反，應選(C)。2.一質點沿x軸運動的規律是x t t內質點沿圓周運動了半周，故所走路程為R?；蛘?4t 5 (SI制)。那么前三秒內它的(A )位移和路程都是 3m ；(B )位移和路程都是-3m ；(C)位移疋-3m，路程疋 3m ；(D)位移是-3m，路程是5m。答案:D解:x xx2 5t 3t 03dxdx2t 4，令 一 0，得

2、t 2。即 t2時x取極值而返回。所以：dtdtSS0 2S2 3| x0 2 | x2 3 | |xt 2xt 0 | xt 3 xt 2 | |15 | 21| 53.vV一質點的運動方程是 v Rcos tiRsin tV , R、 為正常數。從t= /到 t=2 /時間內(1 )該質點的位移是(A) -2Ri ；(B) 2Ri ；(C) -2 j ；(D) 0。(2)該質點經過的路程是(A)2R；( B)R ；( C)0 ；( D)R。答案：B ； B。2 r r rr解：(1)t1 -,t2 ， r r(t2) r(t1)2Ri ；dxdtVydy dt，V-2VyR, S ：vdt

3、 R4. 一細直桿 AB，豎直靠在墻壁上,B端沿水平方向以速度到圖示位置時，細桿中點C的速度 (A) 大小為v/2，方向與B端運動方向相同；(B) 大小為v/2，方向與A端運動方向相同；(C) 大小為v/2,方向沿桿身方向；(D) 大小為v/(2cos )，方向與水平方向成角。答案：D解：對C點有V滑離墻壁，那么當細桿運動位置：xc2l lsin , yc2l l cos速度：Vexicos J, Veydtlsindt所以,Vc2dt2cos(B 點：Xb2lsin , Vb2l cosddtv,ddtV )。2l cos風從東北方向吹來。實際風速與風向為(A) 4km/h，從北方吹來;(C

4、) 4.2 km/h，從東北方吹來;5.某人以4km/h的速率向東前進時，感覺風從正北吹來，如將速率增加一倍，那么感覺 (B) 4km/h，從西北方吹來；(D) 4. 2 km/h，從西北方吹來。答案> D解:VVv 風地v 風人Vv人地V VV VV VoVVVo ,Vo2VoVVo,vcosVd tanVsin 45 vV2v.2%tan222小V VVo2VV0 cos2Vo,2VD4v0 2.2v0 coscoscos2v( tan2二、填空題2sin21V0 Vcos1sin V2452vo 4.2(km/h)(從西北方吹來)。1.一物體作如下圖的斜拋運動，測得在軌道P點處速度

5、大小為成30°角。那么物體在P點的切向加速度aT=，軌道的曲率半徑答案1g2v2。3g解:a gja a sing sin30 °2v2ana cosgcos30°。又因2V an所以anog cos302.和秒為單位，那么從t = 1秒到t = 3秒質點的位移為 速 度為r r答案：2i 3j ;一質點在xy平面內運動,其運動學方程為2ti(2 t2)j解:2x 2t,y 2 t ,3. 一質點沿半徑為其中r,t分別以米t =2秒時質點的加;質點的軌跡方程是22 X42j ; y消去時間3j ,d2x.r dFi2x_。4d2y rdFj2jR的圓周運動，運動學

6、方程為Vgt1-bt2，其中v0 ,b都是常數,2t時刻，質點的加速度矢量 a加速度大小為 b時，質點沿圓周運行的圈數為答案竊n br;4 Rb°解:(1)vdS v0 bt , adta ann ad s bbdt22(vobt)n brR(2)2 2(Vobt)Rb2Vobv0StS0vo?Vo 2b-bG°)2 b2bsrR4 Rb4 火車靜止時，側窗上雨滴軌跡向前傾斜o角?；疖囈阅骋凰俣葎蛩偾斑M時，側窗上雨滴軌跡向后 傾斜-角，火車加快以另一速度前進時，側窗上雨 滴軌跡向后傾斜 2角，火車加速前后的速度之比 為。答案：cos otg 1 sin 0cos otg 2

7、 sin 0解：設Vo為火車靜止時觀察到的雨滴的速度，其傾 角為o 這也是雨滴相對地面的速度和傾角。設火車以v-行駛時，雨滴相對火車的速度為V ,其傾角為 1，Vo根據伽利略變換：v Vo V-I同理，火車以V2行駛時，雨滴相對火車的速度為V，已知其傾角為2，所以VVoV2v sin 1V1V°sin 0(1)；v cos 1Vo cos ov sin 2V2V。sin o(3)；v cos 2Vo cos 0聯立1(2)式得tg 1v1v0 sin 0- ， v1 Vo (cosotg 1 sino)Vo cos o聯立3(4)式得tg 2V2Vo sin oV2 Vo (cos

8、otg 2sino)Vo cos o所以，火車加速前后速度之比為wcosotg勺sinoV2cosotg2sino5質點沿半徑為 0.1m的圓周運動，其用角坐標表示的運動學方程為2 4t3 , 的單位為rad, t的單位為s。問t = 2s時，質點的切向加速度 法向加速度； 等于rad時，質點的加速度和半徑的夾角為 45°解:( 1)2dt 12t，d2 dF2424t ； an R144 Rt4，a24Rt。答案：224Rt; 230.4m/s ; 2.67rad。2 2t = 2s 時，an 230.4m/s ， a 4.8m/s(2)設t時，a和半徑夾角為 45°此時

9、an a，即144Rt 4 24Rt，得t 31/6所以(t)2 4t 32.67rad二、計算題1.一質點由靜止開始做直線運動，初始加速度為 增加ao，求經過t秒后質點的速度和位移。ao，以后加速度均勻增加，每經過 秒答案：v aotao .2/ ; xa0 .3t 。根據直線運動加速度定義adv dtVV0dVtdtadtt0(a°邑 t)dta°t色t2dt002t0時刻，V00所以va°ta0 4 212dxdxtta° 21 2a0又V所以xX0dtvdt0(a°t0t2)dta°ttdtdt00226t0時刻，X00所以x

10、丄a°t2色t326由題意可知，角速度和時間的關系為a0aa0t2 一質點以初速度 V。作一維運動，所受阻力與其速率成正比，試求當質點速率為(n 1)時，質點經過的距離與質點所能行經的總距離之比。n1答案：1 -。n解：質點作一維運動。初始條件：t 0時，x 0 , v v0。又由題意，質點的加速度可表示為a kv式中，k為大于零的常數。 解法一：由加速度的定義有別離變量由初始條件t 0時v v0，有積分得dv所以dtkvdvkdtv dvv0 vtk dt0ktvv°e(1)dx vdtv°ekt由初始條件t 0時x 0，積分得上式可寫為tkt 亠v0 “kt、

11、x v0edt (1 e )0 0kxxm(1ekt)其中，x為質點所能行經的最大距離。聯立式1和式2，得糾v°v°v)Xm(1v)v°將v 代入上式，得nXm解法二：由加速度的定義，并作變量替換有dvv -dxkdxkv即由初始條件x 0時v v0，有dvvdvxdx0積分得VVokx由上式得x Vo -。故當kVo十dxv0 kxdtdx又由V 一及式3,有dt由初始條件t 0時x 0 ,積分得lnMkt可見，質點所能行經的最大距離為VoVox o(1kVokt)故當V蟲時，由式4及上式得n厶1Xm3在離水面高度為 h的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸邊s距

12、離處，當人以速率vo勻速收繩時，試求船的速率和加速度大小。答案：Vv0 . h2s2;saxh223Vo 。s解：建立如下圖的坐標系根據題意可得dld!-Vo由上圖可得船的速率dxdtdlVh xVo)( Vo)x船的加速度大小axdvxh2dt(I23(h2)22 vol(Vo2)xVox = s 時，axh2Vo ，sVxv0 - h2s24如圖，一超音速殲擊機在高空A時的水平速率為1940 km/h，沿近似于圓弧的曲線俯沖到點B,其速率為2192 km/h，所經歷的時間為 3s,設圓弧 AB的半徑約為3.5km，且飛機從A到B的俯沖過程可視為勻變速率圓周運動，假設不計重力加速度的影響，

13、求：1飛機在點B的加速度；2飛機由點A到點B所經歷的路程。答案：1解: 12a 109m s ，與法向成因飛機作勻變速率運動，所以12.4°角；2s 1722m。at和為常量dv atdtvAVbtvAdV0atdt1940km h 1， vBVbVat 3s，r 3.5km，所以在點B的法向加速度在點B的總加速度大小a與法向之間夾角2192km hatanVb Vat2Vb 106m s 2r, ai a：arcta n 亙an2在時間t內矢徑r所轉過的角度為飛機經過的路程為23.3m109m12.4°Ats rVAt 丄命2 1722m25.如下圖，一條寬度為d的小河，河水的流速隨著離開河岸的距離成正比地增加， 靠兩岸邊河水的流速為零，而在河中心處流速最大，為Vo?，F有一人以不變的劃船速度u沿垂直于水流方向從岸邊劃船渡河，試求小船到達河心之前的運動軌跡。答案：x y2，即運動軌跡為拋物線。ud解：以河岸為參照系，建立如下圖的直角坐標。根據題意，初始條件為t 0時，x0 y0 0 , v0x 0 , v0y u。又根據題意，當y時，水流速度可表示為Vw ky ,2且當y d時，Vw V。故 k 2V02d2V0d對小船有dxVxVw ,dt利用前面各式及初始條件，對上兩式分別積分，得Vyu dtx uV0t2