1、專題集訓10等腰三角形探究、選擇題1 .如圖，點A的坐標為（0,1）,點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等腰直角ABC使/BAG=90°,設點B的橫坐標為x,點C的縱坐標為y,能表示y與x的函數關系的圖象大致是（A）【解析】如圖，作AD/x軸，作CDLAD于點D,由已知可得，OB=x,OA=1,/AOB=90°,ZBAC=90°,AB=AC點C的縱坐標是y,.AD/x軸，DAQ-/AO9180°,./DAO=90°,./OABH/BAD=/BADFZDAC=90°,OAB=/DAC可證OAB2DACAAS),，OB=CD=點C到

2、x軸的距離為y,點D到x軸的距離等于點A到x的距離1,y=x+1(x>0).故選A.2 .如圖，/AO比120,。沖分/AOB且O由2.若點MN分別在OAOB±,且PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的PMNT（D）A.1個B.2個C.3個D.3個以上如圖，在OAOB上截取OE=OF=OP作/MPNh60.OP平分/AOB，/EOP=/POF=60,.OP=OE=OF.OPEOPF>等邊三角形，EP=OP/EPO=ZOEP=ZPON=/MPNh60°,./EPIM=/OPN可證4PE陣PO(ASA),.PM=PN:/MPNk60,.POM1等邊三角形，只要/MPN

3、h60°,PMNt是等邊三角形，故這樣的三角形有無數個.、填空題3.正方形ABCD勺邊長是4,點P是AD邊的中點，點E是正方形邊上的一點，若PBE是等腰三角形，則腰長為2/M5度隼.【解析】如圖，取E為C,則PB=PO245;在AB上取E使PE=ER如圖，設AE2235=x,(4x)=x+4,解得x=2,使P&2；在BP上取中點M如圖，作MHPB交DC于E設EC=x,由PE=BE知42+x2=22+(4x)2,解得x=；,，PE=22+(4J2=254.如圖，在菱形ABC計，/ABC=60。若以點P,B,C為頂點的三角形是等腰三角形,離為_2j32_.【葡析】如圖，連結ACB

4、D交于點Q,AB=2,點P是這個菱形內部或邊上的一點,則P,RP,D兩點不重合以B為圓心BC為半徑畫圓交)兩點間的最短距BDTP.此時PBC是等腰三角形，線段PD最短，:四邊形ABCD1菱形，/ABC=60°,，AB=BC=CD=AD/ABC=ZADC=60,.ABCADC是等邊三角形，B0=DO=乎*2=3,.BD=2B0=2遮PD/Nt=BD-BP=2/3-2.三、解答題5.如圖，已知點A(1,2)是反比例函數y=k圖象上的一點，連結A0并延長交雙曲線的x另一分支于點B,點P是x軸上一動點；若PA配等腰三角形，求點P的坐標.k解：:反比例函數y=,圖象關于原點對稱，.A,B兩點關

5、于O對稱，O為AB的中點，x且R1,2),，當4PAB為等腰三角形時有PA=AB或PB=AB設P點坐標為(x,0),A(1,2),B(-1,2),.AB=.1(1)2+2(2)2=2鄧,PA=q(x1)2+22,PB-#(x+1)2+(2)2,當PA=AB時，則有寸(x1)2+22=245解得x=3或5,此時P點坐標為(3,0)或(5,0);當PB=AB時，則有?(x+1)2+(2)2=2后解得x=3或一5,此日P點坐標為(3,0)或(一5,0).綜上可知P點的坐標為(一3,0)或(5,0)或(3,0)或(5,0)6.如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(-1,0),R3,0)兩

6、點，與y軸交于點C(0,3),頂點為D.(1)求此拋物線的解析式；(2)探究對稱軸上是否存在一點若存在，請求出所有符合條件的P,使得以點P,D,A為頂點的三角形是等腰三角形?P點的坐標，若不存在，請說明理由.解：(1)二.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(-1,0),R3,0)兩點，與y軸-2ax(-1)+bx(-1)+c=0,a=1,交于點C(0,-3),aX32+3b+c=0,解得彳b=2,即此拋物線的解c=-3,、c=-3,析式是y=x2-2x-3;(2)存在一點P,使得以點P,D,A為頂點的三角形是等腰三角形，設點P的坐標為(1,y),當PA=PD時，(-1-1)2+(0-

7、y)2=2233q(1-1)2+(-4-y),解得y=2,即點P的坐標為(1,一萬)；當DA=DP時，«(-1-1)2+0-(-4)2=7(11)2+(4y)2,解得y=4±2，5,即點P的坐標為(1,4275)或(1,4+25);當AD=AP時，7(TT)2+0(4)2=M(-1-1)2+(0-y)2,解得y=±4,即點P的坐標是(1,4)或(1,4),當點P為(1,4)時與點D重合，故不符合題意，由上可得，以點P,D,A為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為(1,3)或(1,4245)或(1,4+2，5)或(1,4)7.在等腰直角三角形ABC,/BAC=9

8、0°,AB=AC直線MN±點A且MIN/BC過點B為一銳角頂點作RtABDIEZBDE=90°,且點D在直線MN±(不與點A重合)，如圖1,DE與AC交于點P,易證：BD=DP(無需寫證明過程)(1)在圖2中，DE與CA的延長線交于點P,BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；(2)在圖3中，DE與AC的延長線交于點P,BD與DP是否相等？請直接寫出你的結論，無需證明.DA圖I(這是邊文，請據需要手工刪加解：MD圖2(1)BD=DP成立，證明：如圖2,過點D作DF±MN交AB的延長線與點F,則4ADF為等腰直角三角形，

9、DA=DF/.Z1+ZADB=90°,ZADBbZ2=90,，/1=/2.在4BDF與PDA中，fZ1=Z2,DF=DADFB=/DAP=45BDgPDAASA,bBD=DP(2)BD=DP.證明：如圖3,過點D作DFLMN交BA的延長線于點F,則4ADF為等腰/F=ZPAD=45°,直角三角形，DA=DF.在4BDF與4PDA中，$DF=DALBDF=/PDABD=DP(這是邊文，請據需要手工刪加)O是原點，矩形OABC勺頂點A在x軸的正半軸上,8.如圖，在平面直角坐標系中，點頂點C在y的正半軸上，點B(5,3),拋物線y=mx2+bx+c經過A,C兩點，與x軸的另5個交

10、點是點D,連結BD(1)求拋物線的解析式;(2)點P從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿D-B勻速運動，同時點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿BZD勻速運動，當點P到達點B時，P,Q同時停止運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以D,P,Q為頂點的三角形是等腰三角形？請求出所有符合條件t的值.A(5,0),C(0,3).點A(5,0),C(0,3)在拋物解：(1)丁矩形ABCDR5,3),線y=|x2+bx+c上，5$5解得b=三,c=3,拋物線的解析式為y=-x2x+3(2)555!.c=3,一43.、在Rf的中，AB=3,AA4,則BD=5,.sinZABD=5,血/陽及5.以

11、D,P，Q為頂點的三角形是等腰三角形，則：若PD=PQ如答圖1,此時有PD=PQ=BQ=t,過點Q作QELBD于點E,貝UBE=PEBE=BQ-cosB=3t,QE=BQ-sinB=|t,.DE=t+(t=|t,由勾股定理得DQ=DE+QLAD+AQ，即和2+康)2=42+(3-t)2,整理得11t2+30t-125一一.2525=0,斛得t=11或t=5(舍去)，.t=11；BB若PD=DQ如答圖2,此時PD=t,DQ=AB+AD-t=7-t,t=7t,t=：;若PQ=DQ如答圖3,.PD=t,.BP=5t;/DQ=7t,：PQ=7t,AQ=4-(7-t)44=t3,過點P作PF,AB于點F,則PF=PB-sinB=(5t)X二=4二t,BF=PB-cosB=55，3(5-t)X5333=35-=AB-BF=3(3g)/.過點P作PE±AD于點E,則四邊形PEAF為矩形，P