1、第一章概率論的基本概念1.寫出下列隨機試驗的樣本空間.(1)記錄一個小班一次數學考試的平均分數(充以百分制記分),解：S=L|i=0,1,I100n.其中n為小班人數.n(2)同時擲三顆骰子.記錄三顆骰子點數之和；解：S=3.4,18.(3)生產產品直到得到10件正品為止.記錄生產產品的總件數.解：S=10.11.12.-.n.(4)對某工廠出廠的產品進行檢查.合格的記上正品”.不合格的記上次品"如連續查出2個次品就停止檢查或檢查4個產品停止檢查記錄檢查的結果,解：S=00.100.0100.0101.1010.0110.1100.0111,1011,1101。110，1111，其中

2、0表7K次品-1表7K正品1(5)在單位圓內任意取一點.記錄它的坐標；解S=(xy)|x2y21(6)將一尺之棱成三段觀察各段的長度,解:S=(x-y-z)|x>0-y>0-z>0-x+y+z=1.其中x-y-z分別表示第一、二、三段的長度2 .設A.B.C為三事件用A.B.C的運算關系表示下列各事件(1)A發生.B與C不發生；解：表示為：ABC或A-(AB+AC)或A-(BC).(2)A.B都發生.而C不發生；解：表示為：ABC或ABABC或ABC.(3)A-B-C中至少有一個發生；解：表示為：A+B+C.(4)A.B.C都發生；解：表示為：ABC(5)A.B.C都不發生；

3、解：表示為ABC或S-(A+B+C)或A、,B=C(6)A-B-C中不多于一個發生；解：即A.B.C中至少有兩個同時不發生相當于一ABBCAC中至少有一個發生.故表示為一AbbTcAc(7)A-B-C中不多于二個發生；解：相當于中至少有一個發生,故表示為：A+1B+t或ABC.(8)AB-C中至少有二個發生.解：相當于：AB.BCAC中至少有一個發生，故表示為ABBCAC3 .設A.B是兩事件且P(A)3.6，P(B尸是7.問:(1)在什么條件下P(AB)取得最大值最大值是多少？(2)在什么條件下P(AB)取得最小值最小值是多少？解：(1)因為P(AB)=P(A)+P(B)-P(A=B).且P

4、(A)<P(B)卬(A-B).所以當AB時，P(AB)=P(B)，P(AB)取到最大值最大值為P(AB)=P(A)=0.6(2)當AJB=S時.P(AB)取到最小值.最小值為P(AB)=0.60.7-1=0.34 .設A.B.C是三事件.且P(A)=P(B)=P(C)=1/4.P(AB)=P(BC)=0.P(AC)=1/8.求A.B.C至少有一個發生的概率.解：P(A.B-C至少有一個發生/P(A+B+C)=P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)P(ABC)=(3/4)_(1/8)0=5/8.5 .在一標準英語字典中有55個由兩個不同的字母所組成的單詞若從26個英文

5、字母中任取兩個字母予以排列問能排成上述單詞的概率是多少？解：記A表能排成上述單詞因為從26個任選兩個來排列排法有A26種.每種排法等可能.字典中的二個不同字母組成的單詞：55個所以P(A)=-55-.在房間里有10人,分別佩戴從1號到10號的紀念章任選3人記錄其紀念章的號碼,(1)求最小的號碼為5的概率；解：記三人紀念章的最小號碼為5”為事件A.因為10人中任選3人為一組：選法有G3。種.且每種選法等可能.又事件A相當于：有一人號碼為5其余2人號碼大于5,這種組合的種數有VC1所以P(A)A26130(2)求最大的號碼為5的概率.解：記三人中最大的號碼為5”為事件B.同上.10人中任選3人選法

6、有C*種.且每種選法等可能.又事件B相當于：有一人號碼為5.其余2人號碼小于5.選法有1C：種.所以p(B)-1C4_1p-M-元7.某油漆公司發出17桶油漆.其中白漆10桶、黑漆4桶.紅漆3桶,在搬運中所有標簽脫落交貨人隨意將這些標簽發給顧客問一個定貨4桶白漆3桶黑漆和2桶紅漆顧客能按所訂顏色如數得到定貨的概率是多少？解：記所求事件為A.在17桶中任取9桶的取法有C130種.且每種取法等可能.取得4白3黑2紅的取法有C1c3mC；.故P(A)二CwC3CL252C524318.在1500個產品中有400個次品.1100個正品.任意取200(1)求恰有90個次品的概率；解：用A表示取出的產品恰

7、有90個次品,在1500個產品中任取200個取法有種每種取法等可能,200個產品恰有90個次品取法有C400C1T00種,因此90110C400c1100P(A)200C1500(2)至少有2個次品的概率解：用B表示至少有2個次品.B0表示不含有次品B1表示只含有一個次品，同上200個產品不含次品取法有Cl%種.200個產品含一個次品.取法有C4o0Ci1900種.因為-B=Bo+Bi且B0.B1互不相容.所以P(B)=1-P，B)=1-P(B0)P(Bi)=11199200C400c1100'C1100C20015009.從5雙不同鞋子中任取4只.這4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率

8、是多少？解：樣本空間所含的樣本點數為G'.用A表示4只全中至少有2支配成一對則:表示4只全不配對,入所包含的樣本點數為C>24(先從5雙鞋中任取4雙.再從每雙中任取一只卜因此821_c424P(A)=宣C10P(A)=1-P(A)=1哮嚕10.在11張卡片上分別寫上Probability這11個字母.從中任意連抽7張求其排列結果為Ability的概率，解：所有可能的排列構成樣本空間其中包含的樣本點數為P1用A表示正確的排列則A包含的樣本點數為c11c2c2clic11c11G1=4.則P(A)=.=0.0000024P111將3個球隨機地放入4個杯子中去求杯子中球的最大個數分別為

9、1-2-3解：記Ai表示杯中球的最大個數為i個(i=1,2,3).三只球放入四只杯中.放法有43種每種放法等可能對Ai:必須三球放入三杯中每杯只放一球,放法4X3X2種,故p(A)=432=6(A)4316對A2:必須三球放入兩杯.一杯裝一球.一杯裝兩球,放法有C；m4M3種.故p(A2)=CLAJ_&4316對A3必須三球都放入一杯中,放法有4種.P(A3)=4.c431612.將50只釧釘隨機地取來用在10個部件.其中有3個釧釘強度太弱每個部件用3只釧釘若將三個強度太弱的釧釘都裝在一個部件上則這個部件強度就太弱問發生一個部件強度太弱的概率是多少？解：記A表示10個部件中有一個部件強

10、度太弱,把隨機試驗E看作是用三個釘一組三個釘一組去釧完10個部件(在三個釘的一組中不分先后次序但10組釘釧完10個部件要分先后次序ME：釧法有CQCC：；父以種每種裝法等可能對A:三個次釘必須釧在一個部件上,這種釧法數為(Cc：7c：4C233)10c3c3c3C3110dP(A)=C3C47C4453110=1=0.00051C50C；7C33196013-已知P(A)=0.3，P(B)=04,P(AB)=0.5,求P(B|AB)-解P(A)=1-P(A)=0.7P(B)=1-P(B)=0.6A=AS=A(B=B)=ABjAB,注意(AB)(AB)=G.故有P(AB)=P(A)-P(AB)=

11、.7-0.5=0.2再由加法定理P(A-B)=P(A)P(B)-P(AB)=0.70.6-0.5=0.8于是P(B|A一B);PB(A-B):上應3=0.25P(A-B)P(A-B)0.814.已知P(A)。P(B|A)J.P(A|B)=1.求P(AjB).432解：根據條件概率P(A|B)=P(AB)_P(A)P(B|A)P(B)一P(B)11P(B)=P(A)P(B|A).43一1P(A|B)162根據乘法公式P(AB)=P(B|A)P(A)=31=12根據加法公式P(A-B)=P(A)P(B)-P(AB)=4、步.15,擲兩顆骰子已知兩顆骰子點數之和為7-求其中有一顆為1點的概率(用兩種

12、方法解法一：(在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)即將事件B作為樣本空間求事件A發生的概率下擲兩顆骰子的試驗結果為一有序數組(x,y)(x,y=1,2,3,4,5,6)弁且滿足x+y=7.則樣本空間為S=(x,y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)每種結果(x,y)等可能，A=擲二骰子.點數和為7時.其中有一顆為1點.故P(A)=2=1.63解法二：用公式P(A|B)=PA/.S=(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6每種結果均可能A=擲兩顆骰子x,y中有一個為1點”.B=擲兩顆骰子.x+y=7”.P(B)=*6P(AB)噂2_

13、P(A|B)=P(AB)=62=2=1P(A|B)P(B)163616 .據以往資料表明某3口之家患某種傳染病的概率有以下規律P孩子得病=06P母親得病|孩子得病=05P父親得病|母親及孩子得病=0.4.求母親及孩子得病但父親未得病的概率解：令A=孩子得病B=母親彳導病.C=父親得病則P(A)=0.6，P(B|A)=0.5,P(C|AB)=0.4,所以P(一C|AB)=1-P(C|AB)=1-0.4=0.6.P(AB)=P(A)P(B|A)=0.60.5=0.3,所求概率為P（ABC）=P（AB）PfC|AB）=0.30.6=0.18.17 .已知在10只晶體管中有2只次品.在其中取兩次.每次

14、任取一只.作不放回抽樣.求下列事件的概率：(1)兩只都是正品；(2)二只都是次品(記為事件B)；(3)一只是正品.一只是次品(記為事件C)；(4)第二次取出的是次品(記為事件D)；解：設Ai=第i次取出的是正品)(i=1.2).(1"(AALpopCIA)*、7：28，10945211(2) P(AA2)=P(A)P(A2lA)=1x1=4!5-(3) p(aA=Aa)=p(aA)+p(Aa)=p（A）p（Aia）+p（A）p（AJA）=%、2+二蕖I09I0945(4) p（A）=p（aA+AN）=p（A）p（AdA）+p（A）p（&iA）=H+1G9=518 .某人忘記了

15、電話號碼的最后一個數字因而他隨機地撥號(1)求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率；(2)若已知最后一個數字是奇數那么此概率是多少？解：設人=第i次撥號撥對(i=1-2-3).A=撥號不超過3次而撥通.則a=a+Aa+AAa且三種情況互斥.所以p(A)=p(A)+p(A-iA)+吶噴iA)p(aiAA)于是P(A)二(2)P(A)=1919813IAIA-A=101091098101414313iAiAA=554543519 .(1)設甲袋中裝有n只白球.m只紅球.乙袋中裝有NN白球.M只紅球.今從甲袋中任取一只球放入乙袋中.再從乙袋中任意取一只球問取到白球的概率是多少？解：用A1表示從甲袋

16、中取得白球放入乙袋”A2表示從甲袋中取得紅球放入乙袋”.再記B表再從乙袋中取得白球因為B=A1B+A2B且AA2互斥.所以P(B)=P(A1)P(B|A1)P(AP(B|A2)=JN1N_nmNM1nmNM1(nm)Nn一(mn)(MN1)19.(2)第一只盒子裝有5只紅球.4只白球；第二只盒子裝有4只紅球5只白球先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去然后從第二盒子中任取一只球求取到白球的概率，解：記C1為從第一盒子中取得2只紅球”。為從第一盒子中取得2只白球C3為從第一盒子中取得1只紅球1只白球。D為從第二盒子中取得白球”顯然CC2-C3兩兩互斥CwC2C3=S.由全概率公式.有P(DP(C

17、1)P(D|C1)P(C2)P(D|C2)P(C3)P(D|C3)五式7dd旦=53C；11C；11C；119920,某種產品的高標為“MAXAM.其中有2個字母已經脫落有人撿起隨意放回求放回后仍為“MAXAM的概率,解：設Ai-A2.Ai0分別表示字母MA-MX-MA-MM-AX.AA-AM-XA-XM-AM脫落的事件.則P(A)='(i=1.2,-10).r10用B表示放回后仍為“MAXAM的事件.則P(B|A)=1(i=12,_11=3105.10).P(B|A)=P(B|A)=1.所以由全概公式得10111P(B)八P(A)P(B|A)=318:1i=11021021,已知男子

18、有5%是色盲患者.女子有0.25%是色盲患者.今從男女人數相等的人群中隨機地挑選一人恰好是色盲患者問此人是男性的概率是多少？解：A1=男人42=女人.B=色盲.顯然A-A2=S.A1A2=0-由已知條件知P(A)=P(A2)=1-P(B|A1)=5%,P(B|A2)=0.25%.P(A|B)=P(AB)P(B)由貝葉斯公式有P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(AOP(B|AO152100-201_5_12521210021000022,一學生接連參加同一課程的兩次考試,第一次及格的概率為p-若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為p,(1)若至少一次及

19、格則他能取得某種資格.求他取得該資格的概率.(2)若已知他第二次已經及格.求他第一次及格的概率.解：Ai=他第i次及格(i=1,2).已知P(Ai)=P(A2Ai)=PP(AdA)=p/2(1)B=至少有一次及格-則B=兩次均不及格所以p(b)=i-p(b)=i-p(AA)=i-p(A)p(AiA)=1-1-P(A)1-P(A|A)=1-(1-p)(1-P)=|p-1p2(2)由乘法公式.有P(AA)=P(A1)P(A2|a".由全概率公式有P(A)=P(A)P(AIA)P(A)P(AJA)=pp(1-p)Jp=-p-p于是P(A1A2)二此二券2223.將兩信息分別編碼為A和B傳遞

20、出去接收站收斂到時A被誤收作B的概率為002.而B被誤U作A的概率為001信息A與信息B傳送的頻繁程度為21若收站收到的信息是A問原發信息是A的概率是多少？解：設B1.B2分別表示發報臺發出信號A"及B"又以A1有A2分別表示收報臺收到信號A”及B”,則有211與)=2PE)"P(A1|B1)=09833P(A2|B1)=008P(A“B2)=001P(A2|B2)=091從而由Beyes公式得P(BIA)=P(B)P(AIB)p(B)p(AIB)P(B2)P(A|B2)1961972 0.9832 13 0.98'0.014 324.有兩箱同種類的零件.

21、第一箱裝50只.其中10只一等品；第二箱裝30只其中18只一等品今從兩箱中任挑出一箱.然后從該箱中取零件兩次.每次任取一只.作不放回抽樣.試求(1)第一次取到的零件是一等品的概率；(2)第一次取到的零件是一等品的條件下第二次取到的也是一等品的概率,解：(1)記Ai=在第i次中取到一等品(i=1.2).B=挑到第i箱.則有P(A)=P(BJP(A|B1)P(B2)P(A|B2)=m11黑0.425230(2) P(AA)=P(B)P(AAIB)+P(艮)P(AAI民)=11171但=0.19423492529230P(AdA)=PA*=端23=0.4856，P(A)0.4到家時間25,某人下午5

22、:00下班他所積累的資料表明5:355:395:405:445:455:495:505:545:54之后乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車.結果他是5:47到家的.試求他是乘地鐵回家的概率.解：設A=乘地鐵.B=乘汽車.C=在5:47到家.由題意AB=一，A-B=S已知P(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5由貝葉斯公式有P(A|C)=P(C|A)P(A)P(C|A)P(A)P(C)一P(C|A)P(A)P(C|B)P(B)=0.69230.

23、450.50.450.50.20.526 .(1)設有4個獨立工作的元件1.2.3.4.它們的可靠性分別為Pi-P2-P3-P4-將它們按圖1-3的方式聯接求系統的可靠1_2314解：記A表示第i個元件正常工作(i=1-2-3-4)A表示系統正常因為A=AiA2A3+A1A4兩種情況不互斥所以P(A)=P(AiA2A3)+P(AiA4)-P(AiA2A3A4)(加法公式)=P(Ai)P(A2)P(A3)P(Ai)P(A4)-P(Ai)P(A2)P(A3)P(A4)=PiP2P3+P1P4-PiP2P3P4(Ai,A2,A3,A4獨立)，26,(2)設有5獨立工作的元件1-2-3-4-5-它們的

24、可靠性均為p.將它們按圖1-4的方式聯接.求系統的可靠性.解：記Ai表示第i個元件正常工作(i=1.2-3-4-5).B表示系統正常.則P(B)=P(AA=NA2A2A4AA二P-P(AAA)P(AA)P(AAA)-P(AAAA)-P(AAAA)-P(AAAA)-P(AAAA)-P(AAAAA)-RAAAA)+4P(AA2AAAbHAAAAA)=2p22P2-5p42p227 .如果一危險情況C發生時.一電路閉合弁發出警報.我們可以借用兩個或多個開關弁聯以改善可靠性,在C發生時這些開關每一個都應閉合且至少一個開關閉合了警報就發出如果兩個這樣開關弁聯接它們每個具有095的可靠性(即在情況C發生時

25、閉合的概率),(1)這時系統的可靠性(即電路閉合的概率)是多少？(2)如果需要有一個可靠性至少為0.9999的系統則至少需要用多少只開關弁聯？這里各開關閉合與否都是相互獨立的解：(1)設Ai表示第i個開關閉合A表示電路閉合于是A=A-A2,由題意當兩個開關弁聯時P(A)=0.96.再由ArA2的獨立性得P(A)=P(A-A=P(A1)P(A2)-P(AA2)=P(A1)P(A2P(A1)P(A2)=20.96-(096)2=0.9984(2)設至少需要n個開關閉合則nnP(A)=P(-A)=1-i11-P(A)=1-0.044-0.9999iW0.04"000001所以n一皿軻=3.

26、58lg0.04故至少需要4只開關聯,28 .三個獨立地去破譯份密碼.已知各人能譯出的概率分別為1/5.1/3.1/4.問三個中至少有一個能將此密碼譯出的概率是多少？解：設A.B.C分別表示第一、二、三人獨立譯出密碼.D表示密碼被譯出則P(D)=P(A-B-C)=1-P(A-B-C)=1-P(ABC)=i-p(A)p(B)p(C)十423=3534529,設第一個盒子裝有3只藍球.2只綠球.2只白球；第二個盒子裝有2只藍球3只綠球4只白球，獨立地分別在兩只盒子中各取一只球(1)求至少有一只藍球的概率；(2)求有一只藍球一只白球的概率；(3)已知至少有一只藍球.求有一只藍球一只白球的概率.解：記

27、A-A2-A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球一只綠球一只白球下162毛3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球一只綠球一只白球，則Ai與Bi獨立(i=12-3(1)所求概率為P(A-Bi)=P(A)+P(Bi)-P(AB1)+；2-3"_2=5.79799(2)所求概率為P(A&-=P(A)P(F)+P(A)P(B)342216=AA=797963(3)所求概率為P(AiB3-A3B1IAi-Bi)=P(AiB3|Ai-Bi)P(A3Bi|Ai-Bi)P(-B)P(AB(ABi)P(A-B)P(A-B)_P(AB3jAB&)+P(AA3BjA3B)一P(A一B)P

28、(A一B)P(AB3)+P(A3B)_16/63_16P(A-B)5/93530 .A.B.C三人在同一辦公室工作.房間有三部電話.據統計知.打給A.B.C的電話的概率分別為2/5-2/51/5,他們三人常因工作外出A-B.C三人外出的概率分別為1/2-1/4-1/4-設三人的行動相互獨立求：(1)無人接電話的概率；(2)被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間段打進3個電話求：(3)這3個電話打給同一人的概率；(4)這3個電話打給不同人的概率；(5)這3個電話都打給B.而B卻都不在的概率,解：設A1.B1.C1分別表示AB-C三個人外出的事件ABC分別表示打給三個人的電話的事件，(1)P(無人接電

29、話尸P(A1B1C1)=P(A1)P(B1)P(C1)=111,24432(2)用D表示被呼叫人在辦公室的事件則D)后RbC1cP(D)=P(AAB1BC1C)=P(A)P(A)P(B1)P(BPP(C1)P(C)12323113=A入I入=25454520(3)用E表示3個電話打給同一個人的事件.Ei-E2-E3分別表示3個電話是打給A.B.C.則E=E1E2E3叫二呷+叫+明卜鏟17125(4)用F表示3個電話打給不同的人的事件.則F由六種互斥情況組成每種情況為打給A-BC的三個電話每種情況的概率為221=4555125于是P(F)=64=24,125125(5)由于是知道每次打電話都給B-其概率是1.所以每一次打給B電話而B不在的概率為1.且各次情況相互獨立.于是4P(3個電話都打給B.B都不在的概率產16431 .袋中裝有m只正品硬幣.n只次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國徽卜在袋中任取一只將它投擲r次已知每次都得到國徽問這只硬幣是正品的概率為多少？rnrmn解：用A表示出現r次國徽的事件B表示任取一只是正品的事件則P(A)=P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)=mnP(B|A)=P(B)P(A|B)mP(A)一mn2r32,設一枚深炸彈擊沉一潛水艇的概率為1/3.擊傷的概率為1/2.擊不中的概率為1/6.弁設擊傷兩次也會導致