1、第14講概率與統計初步?購單感機抽樣/隨機抽樣一樂統抽憚2層抽樣統計厚率分布有方圖XI用樣本估計總體|其阡一樣本,據的數字特轅知識網絡1 .滿足每個個體被抽到的時機是均等的抽樣稱為隨機抽樣.共有三種經常采用的隨機抽樣方法：簡單隨機抽樣；系統抽樣適用于大規模的抽樣調查,由于抽樣間隔相等,又被稱為等距抽樣；分層抽樣總體由有明顯差異的幾局部組成.2 .一般地,設樣本的元素為x,x,x,x1x2xn樣本的平均數x=xiX2,n樣本方差s2="I«2.I.川Xn-x2,n方差正的平方根稱為標準差s.教師備案本講分成兩小節,第一節是統計,第二節是概率初步,各三道例題.例1涉及到隨機抽樣

2、、頻率分布直方圖;例2是莖葉圖的題,以及利用莖葉圖求數據或比擬數據的均值與方差,這是統計這一塊的熱點.例3是樣本數據的數字特征.本節沒有涉及到線性回歸的內容,這局部內容考查非常少,可以結合知識點提及一下即可.經典精講尖子班學案1【鋪1】東城二模文11將容量為n的樣本中的數據分成6組.假設第一組至第六組數據的頻率之比為2:34：6：41,且前三組數據的頻數之和等于27,那么n等于西城一模文10某年級120名學生在一次百米測試中,成績全部介于13秒與18秒之間.將測試結果分成5組：3,14,14,15,15,16,16,17,口7,18,得到如下圖的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個小矩形的面積之

3、比為1:3:7:6:3,那么成績在6,18的學生人數是.【解析】6054考點：隨機抽樣、頻率分布直方圖【例1】四川文3交通治理部門為了解機動車駕駛員簡稱駕駛員對某新法規的知曉情況,對甲、乙、丙、丁四個社區做分層抽樣調查.假設四個社區駕駛員的總人數為N,其中甲社區有駕駛員96人.假設在甲、乙、丙、丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12,21,25,43,那么這四個社區駕駛員的總人數N為A.101B,808C.1212D,2021某單位200名職工的年齡分布情況如圖,現要從中抽取40名職工作樣本,用系統抽樣法,將全體職工隨機按1200編號,并按編號順序平均分為40組15號,610號,196200號.

4、假設第5組抽出的號為22,那么第8組抽出的號應是.假設用分層抽樣方法,那么40歲以下年齡段應抽取某工廠對一批產品進行了抽樣檢測.如圖是根據抽樣檢測后的產品凈重單位：克數據繪制的頻率分布直方圖,其中產品凈重的范圍是96,106,樣本數據分組為06,98,08,100,1100,102,102,104,104,106.樣本中產品凈重小于100克的個數是36,那么樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是A.90B.75C.60D.45【解析】37,20第題頻率第題目標班學案1【拓2】朝陽二模文5某校共有學生2000名,各年級男、女學生人數如下表,在全校學生中隨機抽取1名,抽到二年級女

5、生的概率是0.19,現用分層抽樣的方法在全校學生中抽取64人,那么應在三年級抽取的學生人數為一年級二年級三年級女生385ab男生375360cA.24B.18C.16D.12一個總體中有100個個體,隨機編號為0,1,2,HI,99,依編號順序平均分成10個小組,組號依次為1,2,3,|,10.現用某種抽樣方法抽取一個容量為10的樣本,規定如果在第1組隨機抽取的號為m,那么在第k小組中抽取的號個位數字與m+k的個位數字相同.假設m=6,那么在第7組中抽取的號是.【解析】C63考點：莖葉圖、樣本數據的數字特征【例2】福建文9假設某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示,那么這組數據的中位

6、數和平均數分別是A.91.5和91.5B.91.5和92C91和91.5D.92和92宣武二模文6隨機抽取某中學甲,乙兩班各10名同學,測量他們的身高單位：cm,獲得身高數據的莖葉圖如圖,那么以下關于甲,乙兩班這10名同學身高的結論正確的選項是A.甲班同學身高的方差較大B.甲班同學身高的平均值較大C.甲班同學身高的中位數較大D.甲班同學身高在175以上的人數較多甲班乙班2181991017036898832162588159A給出的分數如莖葉圖所示,記分員在去掉一個最高分和一個最低分后,算得平均分為中的x無法看清.假設記分員計算無誤,那么數字【解析】AA191,復核員在復核時,發現有一個數字莖

7、葉圖x應該是作品A8899923x214考點：均值與方差【例3】樣本中共有五個個體,其值分別為a,0,1,差為2,3,假設該樣本的平均值為1,那么樣本方A-IbJC.2D.2甲、乙、丙三名射擊運發動在某次測試中各射擊20次,三人的測試成績如下表:甲的成績環數78910頻數5555乙的成績環數78910頻數6446丙的成績環數78910頻數4664某校開展愛我海西、愛我家鄉攝影比賽,9位評委為參賽作品X1,X2,X3分別表示甲、乙、丙三名運發動這次測試成績的平均數,那么X1,X2,X3的大小關系為：S1,S2,S3分別表示甲、乙、丙三名運發動這次測試成績的標準差,那么S,S2,S3的大小關系為總

8、體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且總體的中位數為10.5,假設要使該總體的方差最小,那么a、b的取值分別是.【解析】DX1=X2=X3；s2>s>S3平均值可以直接觀察得到.得到平均值相等后,由數據的集中情況可以直接得到方差大小的關系,不必計算.顯然數據丙最集中,數據乙最分散.10.5;10.5【備選】西城一模文5甲乙兩名運發動在某項測試中的8次成績如莖葉圖所示,xi,X2分別表示去掉一個最高分、一個最低分后甲、乙兩名運發動這項測試成績的平均數,與分別表示甲、乙兩名運發動這項測試成績的標準差,那么有A.X1X2,§：與B

9、.xi=X2,Si:s2C.xi=X2,§=s2D.Xi：X2,S2甲乙9807865541355721223右圖是青年歌手大獎賽中,七位評委為甲、乙兩名選手打出的分數的莖葉圖其中個,甲、乙兩名選手得分的平均數分別為a-a2,那么一定有m為數字09中的一Ba2aD.a,a2的大小與m的值有關甲乙07954551844647m93知識結構圖隨機事件的概率頻率與概率'I對立事件.互斥事件I由典概型I幾何概型知識梳理1 .隨機事件A的概率P(A)的取值范圍為0,1,必然事件發生的概率為1,不可能事件發生的概率為0;2 .不可能同時發生的兩個事件A,B稱為互斥事件,P(AUB)=P(

10、A)+P(B).假設A,B不能同時發生且必有一個發生,那么A,B稱為對立事件,P(A)與P(B)滿足P(A)+P(B)=1.3 .古典概型的概率公式：在根本領件總數為n的古典概型中,每個根本領件發生的概率為1；n如果隨機事件A包含的根本領件數為m,那么P(A)=,這一定義稱為概率的古典定義.n4 .幾何概型：事件A理解為區域C的某一子區域A,A的概率只與子區域的幾何度量(長度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無關,滿足此條件的試驗稱為幾何概型.用/示區域Q的幾何度量,用E表示A區域A的幾何度量.事件A的概率定義為P(A).經典精講尖子班學案2【鋪1】(遼寧文13)BEE的概率為三張卡片上

11、分別寫上字母E,E,B,將三張卡片隨機地排成一行,恰好排成英文單詞海淀二模文12在面積為1的正方形ABCD內部隨機取一點P,那么4PAB的面積大于等于的概率4是.【解析】1312考點：古典概型與幾何概型【例4】假設將一顆質地均勻的骰子一種各面上分別標有1,2,3,4,5,6六個點的正方體形玩具先后拋擲2次,那么出現向上的點數之和為奇數的概率為有20張卡片,每張卡片上分別標有兩個連續的自然數k,k+1,其中k=0,1,2,|,19.從這20張卡片中任取一張,記事件該卡片上兩個數的各位數字之和例如：假設取到標有9,10的卡片,那么卡片上兩個數的各位數字之和為9+1+0=10不小于14為A,那么PA

12、=.遼寧文11在長為12cm的線段AB上任取一點C.現作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,那么該矩形面積大于20cm2的概率為1A.一6(4)在區間一兀,兀內隨機取兩個數分別記為(x)=x22+2ax-b+兀有零點的概率為A.B.-4C.-2D.(4)目標班學案24個隊分成兩個組【拓2】甲、乙、丙、丁4個足球隊參加比賽,假設每場比賽各隊取勝的概率相等,現任意將這每組兩個隊進行比賽,勝者再賽,那么甲、乙相遇的概率為A.B.C.D.【解析】D3個點也連成三角形,那么所得的兩【備選】考察正方體6個面的中央,從中任意選3個點連成三角形,再把剩下的個三角形全等的概率等于().1A.1B.-2C.

13、1D,03【備選】(崇文二模文17)22在平面直角坐標系xOy中,平面區域W中的點的坐標(x,y*兩足x+y<5,從區域W中隨機取點M(x,y).假設xWZ,yWZ,求點M位于第四象限的概率；直線l:y=-x+b(b>0)與圓O:x2+y2=5相交所截得的弦長為715,求y>-x+b的概率.點M位于第四象限的概率為17y>e+b的概率為4兀-3氏12兀尖子班學案3【鋪1】(朝陽一模文16)某企業員工500人參加學雷鋒志愿活動,按年齡分組：第1組125,30),第2組13.,35),第3組135,40),第4組140,45),第5組k5,50,得到的頻率分布直方圖如右圖所

14、示.下表是年齡的a,b的值；頻數分布表,求正整數區匕5,30)30,35)135,40)140,45)145,50間人數5050a150b現在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人,年齡在第1,2,3組的人數分別是多少？在的前提下,從這6人中隨機抽取2人參加社區宣傳交流活動,求至少有1人年齡在第3組的概率.【解析】a=200,b=50.第1,2,3組分別抽取1人,1人,4人.至少有1人年齡在第3組的概率為H.15考點：概率與統計初步【例5】宣武一模文17某校高三年級有男生105人,女生126人,教師42人,用分層抽樣的方法從中抽取13人,進行問卷調查.設其中某項問題的選擇只有同

15、意“,不同意兩種,且每人都做了一種選擇.下面表格中提供了被調查人答卷情況的局部信息.同意小同意合計教師1女生4男生2請完成此統計表；試估計高三年級學生同意的人數；同意、一人不同意的概率.從被調查的女生中選取2人進行訪談,求選到的兩名學生中,恰有一人【解析】105.恰有一人同意“、一人不同意的概率為.15同意小同意合計教師112女生246男生325豐臺一模文17某校高三1班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞,但可見局部如頻率目標班學案3【拓2】50607080901001223456789下,據此解答如下問題：莖56789求全班人數及分數在的、之間的頻數；8090估計

16、該班的平均分數,并計算頻率分布直方圖中becct間的矩形的高；80,90J假設要從分數在80,100之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況,在抽取的試卷中,求至少有一份分數在90,100之間的概率.【解析】分數在80,90后間的頻數為4;該班的平均分約為74或73.8分.頻率分布直方圖中30,90間的矩形的高為-10=0.016.25至少有一份分數在90,100L間的概率是=0615考點：隨機事件的概率【例6】(海淀一模文16)某商場為吸引顧客消費推出一項優惠活動.活動規那么如下：消費每滿100元可以轉動如下圖的圓盤一次,其中O為圓心,且標有20元、10元、0元的三局部區域面積相等.假定指針停在

17、任一位置都是等可能的.當指針停在某區域時,返相應金額的優惠券.(例如：某顧客消費了218元,第一次轉動獲得了20元,第二次獲得了10元,那么其共獲得了30元優惠券.)顧客甲和乙都到商場進行了消費,并根據規那么參與了活動.假設顧客甲消費了128元,求他獲得優惠券面額大于0元的概率.假設顧客乙消費了280元,求他總共獲得優惠券金額不低于20元的概率.【解析】顧客甲獲得優惠券面額大于0元的概率是2.3乙獲得優惠券金額不低于20元的概率為2.3B中的元素有：(0,2),(1,1),(1,2),真題再現集合A=(x,y)|x<2,|y<2,x,yWZ,集合BW(x,y)|(x2)2+(y2)

18、2<4,x,yWZ,在集合A中任取一個元素p,那么pWB的概率是【解析】9;25A中元素有(-2,-2),(-2,-1),HI,(2,2),(-1,2),(1,-1),|,(1,2),(2,1),(2,2),共25個元素.這些元素中,包含在集合(2,0),(2,1),(2,2)共6個元素,如圖.由于取到每一個元素的可能性相同,故pWB的概率為.25此題容易無視x,yWZ的條件,從而得到錯誤結論.(北京文16)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數.乙組記錄中有一個數據模糊,無法確認,在圖中以x表木.甲組乙組990X891110如果X=8,求乙組同學植樹棵數的平均數和方差；如果X=

19、9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學,求這兩名同學的植樹總棵數為19的概率.注：方差s2=1Kx2+X2x2+川十Xnx2,其中x為為,X2,Xn的平均數n【解析】平均數為X=35；方差為s2=U.41641所求概率為PC=一.164實戰演練【演練1】山東文4在某次測量中得到的A樣本數據如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.假設B樣本數據恰好是A樣本數據每個都加2后所得數據,那么A,B兩樣本的以下數字特征對應相同的是B,平均數C.中位數D.標準差【演練2】某校高中年級開設了豐富多彩的校本課程,甲、乙兩班各隨機抽取了5名學生的學分,用莖葉圖表示如右圖.s1,S2分別

20、表示甲、乙兩班各自k或“=【解析】5名學生學分的標準差,那么6S2.填、80541122甲乙67043【演練3】(江蘇6)現有10個數,它們能構成一個以1為首項,斗為公比的等比數列,假設從這10個數中隨機抽取一個數,那么它小于8的概率是.【演練4】(石景山一模文12)在區間0,9上隨機取一實數x,那么該實數X滿足不等式1Wlog2x<2的概率為.(湖北文10)如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以OA,OB為直徑作兩個半圓.在扇形71OAB內隨機取一點,那么此點取自陰影局部的概率是(2A.1-兀C.-兀【解析】29A【演練5】(豐臺二模文17)設集合P=1,2,3和Q=-1,1,2,3,41,分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b組成數對2.(a,b),并構成函數f(x)=ax-4bx+1,寫出所有可能的數對(a,b),并計算a>2,且bw3的概率；求函數f(x)在區間1十比)上是增函數的概率.【解