1、你的態度決定你的能力幾何綜合幾何綜合·專題精講Page 7 of 25知識框架幾何綜合題型一般以基本圖形（正方形、特殊平行四邊形、等邊、等腰、直角三角形等）為載體，考查運用圖形變換（平移、旋轉、軸對稱）分析圖形中基本量之間的數量關系的探究過程。涉及初中數學九大幾何模型：1、中點類輔助線2、角平分線、垂直平分線類輔助線3、相似模型4、旋轉之手拉手模型5、旋轉之對角互補模型6、旋轉之半角模型7、旋轉之構造等邊三角形8、旋轉之費馬點模型9、最短距離問題解題思路：從復雜的圖形中“抽”出簡單圖形，在簡單圖形中進行邏輯推導，應用相關幾何模型，找到解題思路。知識梳理見中點 -倍長中線：凡是出現中線

2、或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的是可以旋轉等長度的線段，從而達到將條件進行轉化的目的。在 ABC 中 , AD 是 BC 邊中線。方式1：直接倍長，（圖 1）： 延長 AD 到 E，使DE=AD ，連接BE長 BE 交 AC 于 F，求證：AF=EF例：如圖，ABC 中，E、 F 分別在 AB、 AC 上，DE DF，BE+CF 與 EF的大小 .方式3：平行線間線段有中點D 是中點，試比較例：已知在ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線，E 是 AD 上一點，且BE=AC，延方式2：間接倍長1） （圖2）作CF AD 于 F，作BE AD 的延長線于E, 連接 BE2）

3、 （圖3）延長MD 到 N，使DN=MD ，連接 CD如圖： AD BE， F為 DE 中點。可構造8字全等 ADFHEF例：如圖，在矩形ABCD 中，BD=BE， F為 DE 中點。試探究AF 與 CF之間的位置關系。ABCD 中， BC=2AB ， M 為 AD 中點，CE AB求證：EMD=3 MEA。見多個中點構造中位線：已知三角形的兩邊有中點，可以連接這兩個中點構造中位線；已知一邊中點，可以在另一邊上取中點，連接構造中位線；已知一邊中點，過中點作平行線可構造相似三角形.例：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD， E、 F 分別是BC、 AD的中點，BA、 CDEF的延長線G、 H。求

4、證：BGE= CHE。連接頂點與中點，構造三線合一： 直角三角形中，有斜邊中點時常作斜邊中線；有斜邊的倍Rt ABC 中， D 為斜邊 AB 的中點，連接CD，則得CD=AD=BD ，從角平分線、垂直平分線類輔助線角平分線 ：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的題目輔助線的作法，一般有四種。 由角的平分線上的一點向角的一邊或兩邊作垂線，利用角平分線性質。 以角的平分線為軸，將圖形翻折，在角的平分線兩側構造全等三角形。 當題設有角平分線及與角平分線垂直的線段，可延長這條線段與角的另一邊相交，構成等腰三角形，利用等腰三角形的“三線合一 ” 過角的一邊上的點，作另一邊的

5、平行線，構成等腰三角形 “ 角平分線 +平行，必出等腰交 AD 的延長線于點M.垂直平分線：a、對稱性；b、垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。例：如圖，Rt ABC中，ACB=90°，AD平分BAC， 作 AD的垂直平分線EF交 AD于點E，交BC的延長線于點F，交AB于點G，交AC于點H1）依題意補全圖形2）求證：BAD= BFG3）試猜想AB， FB和 FD之間的數量關系并進行證明你的態度決定你的能力平行 A 字型、 8 字型：相似模型幾何綜合·專題精講Page 5 of 25斜交 A 字型、 8 字型：共享型（母子型）你的態度決定你的能力幾何綜合·專題

6、精講Page 13 of 25雙共享型：雙 A 字型：旋轉之手拉手模型 手拉手全等特點：由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點為公共頂點結論： （ 1） ABC AB C （ 2）BOB = BAB （ 3） OA平分 BOC例： 如圖在直線ABC 的同一側作兩個等邊三角形ABD 與 BCE ， 連結 AE 與 CD ，證明： （ 1）（ 2）ABE DBCAE DC3）AE 與 DC 之間的夾角為604）5）6）7）AGB DFBEGB CFBBH 平分 AHCGF / AC手拉手相似特點：由兩個相似三角形所組成，并且一組等角的頂點為公共頂點結論： （ 1）AOC BOD （ 2）A

7、EB= AOB例： 如圖，兩個正方形ABCD 與 DEFG,連結CE、 AG,二者相交于點H。求： （ 1） AG=CE （ 2） AG 與 CE 之間的夾角為多少度？（ 3） HD 平分 AHE旋轉之對角互補模型條件 】 ：AOB= DCE=9°；0OC平分AOB1：CD=C；E OD+OE=2 OC；S DCE S OCDS OCE OC2你的態度決定你的能力當DCE的一邊交AO的延長線于D時：幾何綜合·專題精講1CD=C；E OE-OD= 2 OC；S OCE S OCD 1 OC2 120°)：AOB=2 DCE=120°；OC平分 AOB：CD

8、=CE；OD+OE=OC；S DCES OCD S OCE 3 OC24對角互補模型總結：常見初始條件：四邊形對角互補，注意兩點：四點共圓有直角三角形斜邊中線；初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區別；注意OC平分AOB時，CDE= CED= COA= COB如何引導？你的態度決定你的能力幾何綜合·專題精講Page 25 of 25旋轉之半角模型角含半角要旋轉：構造兩次全等【條件】 ：正方形ABCD；EAF=45°；【結論】 ： EF=DF+BE；CEF的周長為正方形ABCD 周長的一半；也可以這樣：【條件】 ：正方形ABCD；EF=DF+BE；【結論】 ：EAF=45&#

9、176;；：正方形ABCD；EAF=45： EF=DF-BE；若 DAE 旋轉到 ABC 外部時，結論BD 2 CE2 DE2仍然成立旋轉之構造等邊三角形等邊三角形是一個具有豐富性質的完美圖形,這些性質為我們解幾何題提供,所以尋找、發現等邊三角形是解一些幾何題的關鍵.例： 在四邊形ABCD 中， ABC=60 °， AB=BC， ADC=30222證明： AD CD BD 。分析： 待證結論讓我們聯想到勾股定理，需要通過添加輔助線將AD 、 CD（作為直角邊）和BD（作為斜邊）集中到一個直角三角形中。例 : 如圖，ABC是等邊三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點，且AD =CE，連

10、接BD，AE相交于點F（ 1 ）BFE的度數是（ 2）如果 AD 1 ，那么 AFAC 2 BF（ 3）如果 AD 1 時，請用含n 的式子表示AF， BF的數量AC n關系，并證明例 : 如圖，正方形ABCD，將邊CD繞點C順時針旋轉60°，得到線段CE，連接DE， AE， BD交于點 F（ 1 ）求AFB的度數2）求證：BF=EF3）連接CF，直接用等式表示線段AB ， CF， EF的數量關系旋轉之費馬點模型“費馬點 ”是指 位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的點.若給定一個三角形 ABC 的話，從這個三角形的費馬點P 到三角形的三個頂點A、B、 C 的距離之和比從其它點

11、算起的都要小.這個特殊點對于每個給定的三角形都只有一個.問題： 如圖 1，如何找點P 使它到 ABC 三個頂點的距離之和PA+PB+PC 最小？圖文解析：如 圖 1，把APC 繞 C 點順時針旋轉60°得到APC， 連 接 PP則CPP為等邊三角形，CP= PP， PA =PA，PA+PB+PC= PA +P B+ PP B C點A可看成是線段CA 繞 C 點順時針旋轉60°而得到BA為定長。B、 P、 P、 A 四點在同一直線上時，PA+PB+PC 最小。APC= A PC=180°- CPP=180°-60°=120°，BPC =

12、180° - PPC=180° -60° =120° ，APC=360°- BPC- APC=360° -120° -120° =120°.因此， 當 ABC 的每一個內角都小于120°時，所求的點P 對三角形每邊的張角都是120°， 所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心.當有一內角大于或等于120°時，所求的P 點就是鈍角的頂點費馬點問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉變換 例：四邊形ABCD 是正方形， ABE 是等邊三角形，

13、M 為對角線BD（不含B 點） 上任意一點，將 BM 繞點 B 逆時針旋轉600 得到 BN， 連接EN、 AM 、CM.1）求證: AMB ENB；2）當M 點在何處時，AM BM CM 的值最小，并說明理由；最短距離問題三角形兩邊之和大于第三邊型1.直線l 和 l 的異側兩點A、B，在直線l 上求作一點P，2 .直線l 和 l 的同側兩點PA+PB最小。3 .點 P是MON 內的一點，分別在使 PAB的周長最小。兩點之間的距離線段最短型A、 B，在直線l 上求作一點P，使OM ， ON 上作點A， B。使 PA+PB最小。你的態度決定你的能力4 .點 P， Q為 MON 內的兩點，分別在O

14、M， ON 上作點A， B。使四邊形PAQB的周長最小。點到直線的距離垂線段最短型5 . .如圖，點A是 MON 內的一點，在射線OM 上作點P，使PA與點P到射線ON 的距離之和最小。典例精講【 2018 西城期末】如圖1，在Rt AOB 中，AOB=90°，OAB=30°，點C在線段 OB 上，OC=2BC， AO 邊上的一點D 滿足OCD=30°將OCD 繞點O 逆時針旋轉 度(90°< <180°)得到OC D ， C， D 兩點的對應點分別為點 C ， D ，連接AC ， BD ，取( 1)如圖2，當C D AB 時，幾何

15、綜合·專題精講AC 的中點M，連接OM =°，此時 OM 和 BD 之間的位置關系Page 15 of 25你的態度決定你的能力2）畫圖探究線段OM 和 BD 之間的位置關系和數量關系，并加以證明幾何綜合·專題精講Page 35 of 252018海淀期末】在ABC 中， A 90°，AB AC（ 1）如圖1， ABC 的角平分線BD， CE 交于點Q，請判斷“QB2QA”是否正確：（填“是”或“否”） ；2）點P 是 ABC 所在平面內的一點，連接PA， PB，且PB2 PA如圖2，點P 在 ABC 內， ABP 30°，求PAB 的大小；如

16、圖3，點P 在 ABC 外，連接PC，設APC ， BPC ，用等式表之間的數量關系，并證明你的結論1圖2圖32018昌平期末】已知，ABC 中，ACB=90°，AC=BC，點 D 為 BC邊上的.（ 1）以點 C 為旋轉中心，將ACD 逆時針旋轉90°，得到BCE，請你畫出旋轉后的圖形；（ 2）延長AD 交 BE 于點 F，求證：AF BE；（ 3）若AC=5 ， BF=1，連接CF，則 CF 的長度為.備用圖【 2018豐臺期末】如圖，BAD=90°，AB=AD， CB=CD，一個以點C為頂點的45°角繞點C 旋轉，角的兩邊與BA， DA 交于點M，

17、 N，與BA， DAE， F，連接AC.1) 在FCE 旋轉的過程中，當 FCA= ECA時， 如圖 1， 求證：AE=AF；2)在 FCE 旋轉的過程中，當FCAECA 時，如圖2，如果B=30°，CB=2，用等式表示線段AE， AF 之間的數量關系，并證明.2018門頭溝期末】如圖27- 1 有兩條長度相等的相交線段AB、 CD，它們相交60°，為了探究AD、 CB 與 CD（或 AB）之間的關系，小亮進行了如下嘗試：1）在其他條件不變的情況下使得AD BC ，如圖27- 2，將線段AB 沿 AD 方向平移 AD 的長度， 得到線段DE, 然后聯結BE, 進而利用所學知

18、識得到AD、CB 與 CD（或 AB）之間的關系：； （直接寫出結果）2）根據小亮的經驗，請對圖27-1 的情況（ AD 與 CB不平行）進行嘗試，寫出 AD、 CB 與 CD（或 AB）之間的關系，并進行證明；圖 27-1圖 27-23）綜合（1） 、 （ 2）的證明結果，請寫出完整的結論: _【 2018 懷柔期末】在等腰ABC 中，AB=AC，將線段BA 繞點 B 順時針旋轉到BD，使BD AC于 H，連結 AD 并延長交BC的延長線于點P.( 1) 依題意補全圖形；( 2)若 BAC=2，求 BDA的大小(用含 的式子表示)；( 3) 小明作了點D 關于直線BC 的對稱點點E， 從而用等式表示線段DP 與 BC 之間的數量關系. 請你用小明的思路補全圖形并證明線段DP 與 BC 之間的數量關系.你的態度決定你的能力2018朝陽期末】【 2018平谷期末】如圖，在Rt ABC 中，BAC=90°，AB=AC在平面內任取一點D，連結AD（ AD< AB） ，將線段AD 繞點 A 逆時針旋轉90°，得到線段AE，連結DE， CE， BD（ 1）請根據題意補全圖1；（ 2）猜測BD 和 CE 的數量關系