1、第七章 不等式7.1一元二次不等式高考數學高考數學 (江蘇省專用)統一命題、省統一命題、省( (區、市區、市) )卷題組卷題組考點一元二次不等式及其解法考點一元二次不等式及其解法五年高考1.(2019天津文,10,5分)設xR,使不等式3x2+x-20成立的x的取值范圍為.答案答案21,3解析解析3x2+x-20(x+1)(3x-2)0,所以-1x.23方法總結方法總結求解一元二次不等式,常借助二次函數圖象,首先確定圖象與x軸的交點,然后由圖象位于x軸上方或下方的部分確定不等式的解集.2.(2018天津文,14,5分)已知aR,函數f(x)=若對任意x-3,+),f(x)|x|恒成立,則a的取

2、值范圍是.2222,0,22 ,0.xxaxxxa x答案答案1,28解析解析本題主要考查不等式恒成立問題.當x-3,0時,因為f(x)|x|恒成立,所以x2+2x+a-2-x,參變量分離得a-x2-3x+2,令y=-x2-3x+2=-+,所以當x=0或x=-3時,y取得最小值,為2,所以a2.當x(0,+)時,因為f(x)|x|恒成立,所以-x2+2x-2ax,參變量分離得a-x2+x,令y=-x2+x=-+,所以當x=時,y取得最大值,為,所以a.由可得a2.232x1741212121212212x1812181818方法技巧方法技巧用分離參變量法求解不等式恒成立問題的技巧.若不等式f(

3、x,)0(xD,為實參數)恒成立,則將f(x,)0轉化為g(x)或g(x)(xD)恒成立,進而轉化為g(x)max或g(x)min(xD),求g(x)(xD)的最值即可.該方法適用于參數與變量能分離,函數最值易求的題目.3.(2016浙江理改編,1,5分)已知集合P=xR|1x3,Q=xR|x24,則P(RQ)=.答案答案(-2,3解析解析Q=(-,-22,+),RQ=(-2,2),P(RQ)=(-2,3.4.(2015湖北改編,10,5分)設xR,x表示不超過x的最大整數.若存在實數t,使得t=1,t2=2,tn=n同時成立,則正整數n的最大值是.答案答案4解析解析若n=3,則即得9t616

4、,當t時,有t=1,t2=2,t3=3,n=3符合題意.若n=4,則即得34t1253,當t時,有t=1,t2=2,t3=3,t4=4,故n=4符合題意.若n=5,則即6335,故無解,n=5不符合題意,則正整數n的最大值為4.2312,23,34,ttt 666164,827,916,ttt 333433434,45,tt 4124312334 ,45 ,tt334534535,56,tt 345535,56,tt 5633教師專用題組教師專用題組考點一元二次不等式及其解法考點一元二次不等式及其解法1.(2014江蘇,10,5分)已知函數f(x)=x2+mx-1,若對于任意xm,m+1,都有

5、f(x)0成立,則實數m的取值范圍是.答案答案2,02解析解析要滿足f(x)=x2+mx-10對于任意xm,m+1恒成立,只需即解得-m0.( )0,(1)0,f mf m22210,(1)(1) 10,mmm m 222.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定義域為R的偶函數,當x0時,f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)5的解集是.答案答案(-7,3)解析解析f(x)是偶函數,f(x)=f(|x|).又x0時,f(x)=x2-4x,不等式f(x+2)5f(|x+2|)5|x+2|2-4|x+2|5(|x+2|-5)(|x+2|+1)0|x+2|-50|x+2|5-5x+25

6、-7x3.故解集為(-7,3).評析評析本題綜合考查函數的奇偶性以及不等式等知識,考查靈活應用知識的能力及轉化與化歸思想.3.(2012江蘇,13,5分)已知函數f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域為0,+),若關于x的不等式f(x)c的解集為(m,m+6),則實數c的值為.答案答案9解析解析解法一:f(x)=x2+ax+b的值域為0,+),=a2-4b=0.又f(x)c的解集為(m,m+6),即x2+ax+b-c0的解集為(m,m+6),m,m+6是對應方程x2+ax+b-c=0的兩個根,由得,a2=4m2+24m+36,由得,4b-4c=4m2+24m,由可得4m2+24m+36=4

7、m2+24m+4c,解得c=9.解法二:因為函數f(x)的值域為0,+),所以當x2+ax+b=0時有=a2-4b=0,即b=,所以f(x)=x2+ax+b=x2+ax+=,由f(x)=c,解得-x+,即-x-.因為不等式f(x)0)的圖象與x軸有兩個交點(x1,0),(x2,0),ax2+bx+c0的解集是(-,x1)(x2,+);ax2+bx+c0的解集是x1,x2.注意當a0的情況進行求解.4.(2010江蘇,11,5分)已知函數f(x)=則滿足不等式=f(1-x2)f(2x)的x的取值范圍是.21,0,1,0,xxx答案答案(-1,-1)2解析解析畫出f(x)=的圖象,由圖可知,若f(

8、1-x2)f(2x),則即得x(-1,-1).21,0,1,0 xxx2210,12 ,xxx 11,1212,xx 2三年模擬A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點基礎題組考點基礎題組考點一元二次不等式及其解法考點一元二次不等式及其解法1.(2019七大市三模,6)已知函數f(x)=則不等式f(x)f(-x)的解集為.222 ,0,2 ,0,xx xxx x答案答案(-2,0)(2,+)解析解析當x0時,f(x)f(-x)x2-2x-x2+2x,x2或x0,x2;當xf(-x)-x2-2xx2+2x,-2xf(-x)的解集為(-2,0)(2,+).評析評析本題

9、考查分段函數、一元二次不等式的解法,要解不等式,必須對x進行分類討論,是基礎題.2.(2019蘇州期中,8)已知二次函數f(x)=-x2+2x+3,不等式f(x)m的解集的區間長度為6(規定:閉區間a,b的長度為b-a),則實數m的值是.答案答案-5解析解析f(x)=-x2+2x+3m即x2-2x-3+m0,對于方程x2-2x-3+m=0,設其根為x1,x2,則有x1+x2=2,x1x2=m-3,依題意,得|x1-x2|=6,即|x1-x2|=6,解得m=-5.212()xx21212()4xxx x44(3)m一題多解一題多解 f(x)=-x2+2x+3m即x2-2x+m-30,令h(x)=

10、x2-2x+m-3,易知其函數圖象開口向上,設x2-2x+m-3=0的解為x1,x2,不妨令x1f(x2+2)的解集為.答案答案(-2,-1)(1,2)解析解析f(x)為R上的偶函數,且在0,+)上為增函數,f(3x)f(x2+2)等價于f(|3x|)f(|x2+2|),|3x|x2+2,x2-3|x|+20,(|x|-1)(|x|-2)0,1|x|2,1x2或-2x0的解集為(-1,2),則關于x的不等式+cbx的解集為.2abx答案答案(-,0)解析解析關于x的不等式ax2+bx+c0的解集為(-1,2),不等式+cbx可化為-2a-ax,又a0,-2-x,0,解得x0的解集為(-1,2)

11、,ax2+bx+c=a(x+1)(x-2)=a(x2-x-2)=ax2-ax-2a,+cbx可化為0,x0,b0,且a+3b=-,則b的最大值為.1b1a答案答案13解析解析由a+3b=-可得-3b=a+2(當且僅當a=1時取等號),即3b2+2b-10,解得-1b,又b0,所以0b,所以b的最大值為.1b1a1b1a131313方法總結方法總結本題利用基本不等式得到關于b的不等式,求解b的范圍,從而解出b的最大值.6.(2018南京金陵中學月考,5)不等式3的解集為.1xx答案答案(-,0)1,2解析解析3,0,解得x,x(-,0).1xx12xx121,2易錯警示易錯警示解分式不等式要移項

12、通分,等價變形,不能簡單去分母,如果要去分母,就必須討論x的范圍.7.(2018海安高三上學期第一次質量測試,9)關于x的不等式x+b0(a,bR)的解集為x|3x4,則a+b的值為.ax答案答案5解析解析關于x的不等式x+b0(a,bR)的解集為x|3x4,即0(a,bR)的解集為x|3x4,3和4是方程x2+bx+a=0的兩個實數根,3+4=-b,34=a,a=12,b=-7,a+b=5.ax2xbxax一、填空題(每小題5分,共30分)B B組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組(時間：30分鐘 分值：45分)1.(2019徐州檢測,12)已

13、知正實數x,y滿足+=1,則x+y的最小值為.12xy423xy答案答案94解析解析+=1可化為+=1,令m=2(x+y),得+=1,去分母,得m+y+4(m-y)=m2-y2,即m2-5m=y2-3y,所以m2-5m+=0,由題意得m1,所以m,即2(x+y),所以x+y,即x+y的最小值為.12xy423xy12()xyy42()xyy1my4my94232y92929494一題多解一題多解設m=2x+y,n=2x+3y,則m0,n0,x+y=,原等式可化為+=1,則x+y=(5+4)=,當且僅當=,即n=2m時,取“=”.4mn1m4n4mn4mn14mn1445nmmn1494nm4m

14、n2.(2019七市第二次調研,12)已知關于x的不等式ax2+bx+c0(a,b,cR)的解集為x|3x4,則的最小值為.25cab答案答案45解析解析依題意,得a1時,g(x)2x2-3x+421x2,當-1x1時,g(x)=22恒成立,當x-1時,g(x)2x2+3x+42-2x-1.綜上,x-2,2.2(1) ,1,1, 11,3,1,xxxxx x 23,1,1, 11,(1) ,1,x xxxxx 2234,1,2, 11,34,1,xxxxxxx 思路分析思路分析本題是一道分段函數的問題,寫出f(x)和f(-x)的解析式,相加得到g(x)的解析式,然后分段解不等式即可.4.(20

15、18鹽城中學高三期末,13)已知函數f(x)=x2+(1-a)x-a,若關于x的不等式f(f(x)0的解集為空集,則實數a的取值范圍是.答案答案-3a2-32解析解析f(x)=x2+(1-a)x-a=(x-a)(x+1)0,當a=-1時,f(x)=(x+1)2-1時,f(x)0的解集為-1xa,此時要滿足f(f(x)-1,所以-1a2-3;當a-1時,f(x)0的解集為ax-1,此時要滿足f(f(x)0的解集為空集,只需f(x)-1恒成立,即x2+(1-a)x-a+10恒成立,所以只需=a2+2a-30,解得-3a1,又a-1,所以-3a0,則實數a的取值范圍是.答案答案(1,5解析解析令f(

16、x)=x2-2(a-2)x+a,則當=4(a-2)2-4a0,即1a0在R上恒成立,符合題意;當0,即a1或a4時,要滿足題意,只需函數f(x)的兩個零點都在1,5上,則解得4a5.故實數a的取值范圍是(1,5.14,125,(1)12(2)0,(5)25 10(2)0,aaafaafaa 或6.(2017如皋聯考,14)若實數x,y滿足4x2-2xy+4y2=13,則x2+4y2的取值范圍是.3答案答案10-4,10+433解析解析由4x2-2xy+4y2=13得(4x2-2xy+4y2)=1,令s=x2+4y2,則s=x2+4y2=,令=k,則s=,可得(4s-52)k2-2sk+4s-1

17、3=0,由題意知上述關于k的方程有解,所以(-2s)2-4(4s-52)(4s-13)0,即s2-20s+520,故10-4s10+4.31133222213(4)42 34xyxxyyyx2213(14)42 34kkk3333一題多解一題多解設s2=x2+4y2,x0,則代入4x2-2xy+4y2=13得,4s2cos2-2scossin+s2sin2=13,s2=,5+3cos2-sin25-2,5+2,s2,即x2+4y2的取值范圍是10-4,10+4.cos ,sin ,2xssy332s22134cossin3sincos2653cos23sin23332626,52 3 52 333二、解答題(共15分)7.(2019無錫期末,17)十九大提出對農村要堅持精準扶貧,至2020年年底全面脫貧.現有扶貧工作組到某山區貧困村實施脫貧工作.經摸底排查,該村現有貧困農戶100家,他們均從事水果種植,2017年年底該村平均每戶年純收入為1萬元,扶貧工作組一方面請有關專家對水果進行品種改良,提高產量;另一方面,抽出部分農戶從事水果包裝、銷