1、1第四章 控制系統的根軌跡法 2根軌跡概念 根據系統的零極點分布可間接地研究控制系統的性能。在復平面上由開環零極點確定閉環零極點的圖解方法稱為根軌跡法。q根軌跡的類型：常規根軌跡：包括180度等相角根軌跡和零度等相角根軌跡。軌跡增益kg從0變化到無窮大時的根軌跡稱為180度根軌跡； kg從0變化到負無窮大時的根軌跡稱為0度根軌跡。參量根軌跡：除了根軌跡增益kg以外其他參數變化時的根軌跡。當然包括0度和180度根軌跡。q根軌跡定義：開環系統某一參數從零變化到無窮大時，閉環系統特征方程的根在s平面上變化的軌跡。3180度等相角根軌跡方程當開環傳遞函數表示成零、極點形式時,有： jnjimigPsz

2、sksG11gk式中， 為開環系統的根軌跡增益，zi為開環零點，pj為開環極點。可寫為以下兩個方程，即幅值條件和相角條件：相角條件：1218011kPszsjnjimi), 2, 1, 0( ,k111jnjimigPszsk幅值條件：根軌跡方程： 111jnjimigPszsk(kg0)4180度等相角根軌跡繪制法則 連續性和對稱性：連續且對稱于實軸。 根軌跡支數，起點和終點：支數為階數n；起點為開環極點，終點為開環零點(有限零點m個和無限零點n-m個)。 根軌跡的漸近線(有n-m條)： 傾角和與實軸的交點分別為：mnka12) 1.,2 , 1 , 0(mnkmnzPimijnja11,實

3、軸上的根軌跡：其右方開環系統的零點數和極點數的總和為奇數。 5 出射角和入射角 ：）（）（矢量幅角從其他零點到該極點的矢量幅角從其他極點到該極點的出射角）（）（矢量幅角從其他零點到該零點的矢量幅角從各個極點到該零點的入射角會合、分離點和分離角：dsgdsNsDksDsNsDsN|)()(0)()()()(180,分180度等相角根軌跡繪制法則(續)6180度等相角根軌跡繪制法則(續) 與虛軸的交點 :（1）在勞斯表中，令s1行系數全等于零，用s2行的系數構成輔助方程，就可求出這一對虛根，即根軌跡與虛軸的交點。同時，還可求出此時的根軌跡增益。（2）將 代入閉環特征方程，并令特征方程的實部和虛部分

4、別等于零，可求出根軌跡與虛軸的交點和根軌跡增益。js若滿足 ,閉環系統極點之和等于開環系統極點之和，且為常數。表明，隨著kg增大，一些根軌跡左移，而另一些根軌跡必向右移。 2 mn閉環系統極點之和7參量根軌跡的繪制 繪制根軌跡時，如果可變參數不是kg，而是其它參數時，稱為參量根軌跡。參量根軌跡繪制方法： 對1+Gk(s)=0，即閉環特征方程進行等價變換，將其轉化為1+pGk1(s)=0的形式。其中p是可變參數。 Gk1(s)是等效的開環傳遞函數，p是可變參數。根據p的取值范圍的不同(大于0或小于0)，可畫出以p為參數的180度或0度根軌跡曲線。8增加開環零極點對根軌跡的影響 增加開環零點對根軌

5、跡的影響（1）一般可使根軌跡向左半s平面彎曲或移動，增強系統的相對穩定性，增大系統的阻尼。（2）改變漸近線的傾角，減少漸近線的條數。增加開環極點對根軌跡的影響（1）一般可使根軌跡向右半s平面彎曲或移動，降低系統的相對穩定性，減小系統的阻尼。（2）改變漸近線的傾角，增加漸近線的條數。9利用根軌跡分析系統性能 利用根軌跡可確定使系統穩定的參數范圍根軌跡處于s左半平面部分的系統是穩定的。 瞬態性能分析 閉環系統的零、極點和瞬態響應的關系在前面已討論過，利用根軌跡可清楚地看到開環根軌跡增益或其他參數變化時，閉環系統極點位置及其瞬態性能的改變情況。 利用根軌跡確定系統的有關參數 對于二階系統（及具有閉環

6、主導共軛復數極點的高階系統），通常可根據性能指標的要求在復平面上劃出滿足這一要求的閉環極點（或高階系統主導極點）應在的區域。如下頁圖所示，具有實部 和阻尼角 劃成的左區域滿足的性能指標為：10利用根軌跡分析系統性能(續)%100%100%21ctgeecos和)(33為極點實部nst若閉環極點落在左圖中紅線包圍的區域中，有：3%sctgte和利用這一關系可確定滿足一定性能指標要求的開環系統的一些參數。 穩態性能分析：穩態誤差與開環傳遞函數有關，根據根軌跡圖能夠確定系統的開環傳遞函數。11應掌握的內容 180度，0度根軌跡的繪制 參數根軌跡的繪制 增加開環零、極點對根軌跡和系統性能的影響 分析系

7、統的穩定性 分析系統的瞬態和穩態性能 對于二階系統（及具有閉環主導共軛復數極點的高階系統），根據性能指標的要求在復平面上劃出滿足這一要求的閉環極點（或高階系統主導極點）應在的區域。12例4-1系統的開環傳遞函數為：當A和kg取不同值時，繪出的根軌跡是什么類型的根軌跡。)3)(2(1)(sssAsksGgk解分以下幾種情況說明： Kg為常數，A為變數時，為參量根軌跡； A為常數，kg為變數時，為常規根軌跡（包括180度和0度根軌跡）； 當kg0時，若A0，則為180度根軌跡；若A0，為0度根軌跡。 當kg0，則為0度根軌跡；若A0，為180度根軌跡。13q 畫根軌跡 分離（會合）點分別為-2.9

8、3和-17.1，分離（會合）角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。45例4-2已知單位反饋系統的開環傳遞函數為（1）畫出系統的根軌跡；（2）計算當增益k為何值時，系統的阻尼比 是 ，并求此時系統的閉環特征根；（3）分析k對系統性能的影響。 510sssksG2114q當 時，阻尼角 ，表示 角的直線為OB,其方程為 ，代入閉環特征方程整理后得：令實部和虛部分別為零，有解得由圖可知當 時直線OB與圓相切，系統的阻尼比 ，特征根為 。 2245450521052kjkk0520105kkk5, 5k5k2155j15q 對于分離點 ，由幅值條件可知 對于會合點 ，有 由根軌跡圖可知，當 時，閉環系統

9、有一對不等的負實數極點，其瞬態響應呈過阻尼狀態。當 時，閉環系統有一對共軛復數極點，其瞬態響應呈欠阻尼狀態。當 時，閉環系統又有一對不等的負實數極點，瞬態響應又呈過阻尼狀態。93. 2858. 093. 21093. 2593. 21k07.1714.2907.17100 .17507.172k858. 00 k14.29858. 0 k k14.294516例4-3控制系統的結構圖如下圖所示。試繪制以a為參變量時的根軌跡。)(sR)(sY)2(1ss1as解 系統的閉環傳遞函數為：1)2(1)(assss用不含參數a的項去除閉環特征方程的兩邊，有：閉環系統的特征方程為：01)2()(asss

10、sD1) 1(, 012122ssassas即畫出以a為參變量的根軌跡：10aaa17例4-4系統的結構圖如圖所示。試繪制 的根軌跡。并說明閉環系統呈現欠阻尼狀態時的開環增益范圍。 0*k1*sk) 1(3sss)(sR)(sC解這里要畫以k*參量根軌跡。系統的閉環傳遞函數為：3333)(*2*2*2*sskskssssksks閉環特征方程為：033*2*2sskskss等效為：132)3(2*ssssk等效開環零點為：0，-3等效開環極點為：21j18Root LocusReal AxisImag Axis-3-2.5-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51例4-4（續1）19例4-4（續2）其分離回合點計算如下：22)(, 32)(32)(,3)(22ssD