1、高等代數(shù)考研復(fù)習(xí)高等代數(shù)考研復(fù)習(xí) 二次型二次型 2014年 8月 第四章 二次型二次型理論的背景是解析幾何中化二次曲線二次型理論的背景是解析幾何中化二次曲線和二次曲面的方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問題和二次曲面的方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問題. .本章主要問題有兩個：本章主要問題有兩個：1) 1) 二次型矩陣和二次二次型矩陣和二次型的標(biāo)準(zhǔn)型型的標(biāo)準(zhǔn)型 2)2)正定二次型正定二次型二次型與矩陣、行列式、以及線性方程組有二次型與矩陣、行列式、以及線性方程組有緊密的聯(lián)系，可以看到他們是處理二次型問緊密的聯(lián)系，可以看到他們是處理二次型問題的工具題的工具. .1.1. 二次型矩陣與二次型的標(biāo)準(zhǔn)型二次型矩陣與二次型的標(biāo)準(zhǔn)型 1.1

2、 1.1 二次型及其矩陣二次型及其矩陣 1)定義：設(shè)定義：設(shè)P P是數(shù)域是數(shù)域, ,系數(shù)在數(shù)域系數(shù)在數(shù)域P P上的關(guān)于上的關(guān)于的二次齊次多項(xiàng)式的二次齊次多項(xiàng)式稱為數(shù)域稱為數(shù)域P P上的一個上的一個n n元二次型元二次型. . 2) 2)二次型的矩陣表示：二次型的矩陣表示：令12,nx xx21211 112 1211222222211( ,)222,.nnnnnnnnnnijijijjiijf x xxa xa x xa x xa xa x xa xa x xaa12,( ,)nXx xx利用積和式積和式可將二次型化為矩陣形式其中，矩陣 滿足 稱它為二次型的矩陣.積和式為：積和式為：它在代數(shù)式

3、與矩陣互化中起著重要的作用！它在代數(shù)式與矩陣互化中起著重要的作用！12( ,)nf x xxX AXA.AA 121 12 212,nnnnbba ba ba ba aab注意：如果注意：如果 但是但是 那么那么A A不是二次型的矩不是二次型的矩陣陣.f.f的矩陣為的矩陣為1.2 1.2 線性替換及矩陣的合同線性替換及矩陣的合同 1) 1)線性替換：設(shè)線性替換：設(shè)令令 稱為由稱為由 到到 的線性替換的線性替換. .當(dāng)當(dāng) 時，稱為非退化線性替換；當(dāng)時，稱為非退化線性替換；當(dāng)C C是正交矩陣時是正交矩陣時稱為正交替換稱為正交替換. .結(jié)論：非退化線性替換將二次型變?yōu)槎涡徒Y(jié)論：非退化線性替換將二次

4、型變?yōu)槎涡? . fX AX,AA 1().2AA12(,)nYy yy XCY12,( ,)nXx xx 12,nx xx12,ny yy| 0C ().X CYfX AXY C AC YYBY 2) 2) 矩陣的合同：設(shè)矩陣的合同：設(shè)A A、B B為為n n階矩陣，如果存在可逆矩階矩陣，如果存在可逆矩陣陣C C使得使得 則稱矩陣則稱矩陣A A與合同與合同. . 合同是一種等價關(guān)系，它具有三性合同是一種等價關(guān)系，它具有三性. . 合同的性質(zhì)：合同矩陣有相同的秩；合同的性質(zhì)：合同矩陣有相同的秩； 合同矩陣的行列式同號合同矩陣的行列式同號. . 結(jié)論：二次型經(jīng)過非退化線性替換得到的新二次型的結(jié)

5、論：二次型經(jīng)過非退化線性替換得到的新二次型的矩陣與原二次型矩陣是合同的矩陣與原二次型矩陣是合同的. .1.3 1.3 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型與規(guī)范形二次型的標(biāo)準(zhǔn)型與規(guī)范形 1) 1) 二次型標(biāo)準(zhǔn)型定義：只含有平方項(xiàng)的二次型二次型標(biāo)準(zhǔn)型定義：只含有平方項(xiàng)的二次型 稱為標(biāo)準(zhǔn)型稱為標(biāo)準(zhǔn)型. .其中其中,C ACB2221 122nnfd xd xd x 中非零的個數(shù)即為二次型的秩中非零的個數(shù)即為二次型的秩. .定理：數(shù)域定理：數(shù)域P P上的任意二次型都可經(jīng)過非退化線上的任意二次型都可經(jīng)過非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形. .換一種說法：數(shù)域換一種說法：數(shù)域P P上任意一個對稱矩陣都合同于一個上任意一

6、個對稱矩陣都合同于一個對稱矩陣對稱矩陣. .注意：注意：二次型的標(biāo)準(zhǔn)型一般不唯一！二次型的標(biāo)準(zhǔn)型一般不唯一！(1,2, )id in2)2)二次型的規(guī)范形：復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上的二次型的標(biāo)二次型的規(guī)范形：復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上的二次型的標(biāo)準(zhǔn)型稱為規(guī)范形準(zhǔn)型稱為規(guī)范形. . a) a) 復(fù)數(shù)域上二次型的規(guī)范形：復(fù)數(shù)域上任意一個二復(fù)數(shù)域上二次型的規(guī)范形：復(fù)數(shù)域上任意一個二次型都可經(jīng)過非退化替換化為規(guī)范形次型都可經(jīng)過非退化替換化為規(guī)范形 其中其中 且規(guī)范形唯一且規(guī)范形唯一. .換為矩陣說法：復(fù)數(shù)域上任意一個換為矩陣說法：復(fù)數(shù)域上任意一個n n階對稱矩陣階對稱矩陣A A都合都合同于唯一的同于唯一的n n階對角矩

7、陣階對角矩陣復(fù)數(shù)域上兩個對稱矩陣合同的充分必要條件是這兩個復(fù)數(shù)域上兩個對稱矩陣合同的充分必要條件是這兩個矩陣的秩相等矩陣的秩相等. .22212X CYrfyyy( )rA0.00rEb)b)實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形( (慣性定理慣性定理) )：實(shí)數(shù)域上任實(shí)數(shù)域上任意一個二次型都可經(jīng)過非退化替換化為規(guī)范形意一個二次型都可經(jīng)過非退化替換化為規(guī)范形 其中其中 ，正平方的個，正平方的個數(shù)數(shù)p p稱為二次型稱為二次型f f的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)的個數(shù)的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)的個數(shù)稱為稱為f f的負(fù)慣性指數(shù)，的負(fù)慣性指數(shù)， 稱為符合差，且稱為符合差，且p p、q q有二次型唯一確定有二

8、次型唯一確定. .用矩陣語言描述為：實(shí)數(shù)域上任意一個對稱矩陣用矩陣語言描述為：實(shí)數(shù)域上任意一個對稱矩陣A A都合都合同于唯一的同于唯一的n n階對角矩陣階對角矩陣2221X CYprfyyy( )rAq r p pq( )r Apq.0pr pEE注意注意：實(shí)數(shù)域上的兩個對稱矩陣合同的充分必：實(shí)數(shù)域上的兩個對稱矩陣合同的充分必要條件是這兩個矩陣有相同的秩與正慣性指數(shù)要條件是這兩個矩陣有相同的秩與正慣性指數(shù). .1.4 1.4 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法 a) a)配方法；配方法； b) b)初等變換法；初等變換法； 設(shè)設(shè) 是對稱矩陣，故存在可逆矩陣是對稱矩陣，故存在可逆矩陣

9、使使由由 可逆知，存在初等矩陣可逆知，存在初等矩陣 使得使得 于是于是A,C12.nddC ACDdC12,sP PP12,sCPPP122112.ssnddPP PAPPPDd這樣這樣，將二次型將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形fX AX2221122nnfd yd yd y時所用線性變換時所用線性變換XCY中的系數(shù)矩陣中的系數(shù)矩陣 滿足滿足 且且C2112.ssPP PAPPPD12sEPPPC由此可見，對由此可見，對 的列和行施以相同的初等列變換的列和行施以相同的初等列變換和行變換，當(dāng)二次型的矩陣和行變換，當(dāng)二次型的矩陣 化為對角矩陣化為對角矩陣 時，時，AEAD單位矩陣單位矩陣 就成了相應(yīng)

10、的可逆線性變換的矩陣就成了相應(yīng)的可逆線性變換的矩陣 了，即了，即ECADEC c) c) 正交變換法正交變換法. .正交變換法的步驟：正交變換法的步驟： (1) (1)先求出矩陣先求出矩陣A A的特征值、特征向量，其中特征的特征值、特征向量，其中特征值就是標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)值就是標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù). . (2) (2)將將A A的屬于同一特征值的特征向量單位化正交的屬于同一特征值的特征向量單位化正交化，然后將它們作為列向量做成矩陣化，然后將它們作為列向量做成矩陣T T，即為正交，即為正交矩陣，此時有矩陣，此時有12nT AT =.題型分析題型分析: (1): (1)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；

11、 (2) (2)矩陣合同的應(yīng)用；矩陣合同的應(yīng)用； (3) (3)慣性定理的應(yīng)用慣性定理的應(yīng)用. .例例1 1 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 (1) (1) (2) (2)例例2 2 將將 化為標(biāo)準(zhǔn)型化為標(biāo)準(zhǔn)型. .例例3 3 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法：對二次型方法：對二次型 做正交替換做正交替換 其中其中T T為為正交矩陣，得標(biāo)準(zhǔn)型正交矩陣，得標(biāo)準(zhǔn)型 222123121 323422.fxxxx xx xx x121 3243433.fx xx xx xx x222122331()()() .fxxxxxx222123121 32355284

12、4.fxxxx xx xx xfX AXXTY2221122.X TYnnfX AXyyy這里這里 是矩陣是矩陣A A的特征值的特征值.例例4 4 已知已知 經(jīng)過正交經(jīng)過正交變換化為變換化為 求求a a及所做的正交變換及所做的正交變換. .例例5 5 已知已知 的的秩為秩為2 2，(1)(1)求求a (2)a (2)用正交變換將用正交變換將f f化為標(biāo)準(zhǔn)型化為標(biāo)準(zhǔn)型 (3) (3)求方程求方程 的解的解. . i222123232332(0).fxxxax x a22212325.fyyy22212312(1)(1)22(1)fa xa xxa x x123( ,)0f x x x例例6 6

13、設(shè)實(shí)二次型設(shè)實(shí)二次型 (1) (1)寫出寫出f f的矩陣的矩陣. . (2) (2)證明：證明：f f的秩等于矩陣的秩等于矩陣 的秩的秩. .例例7 7 證明：證明： 是一個二次型，是一個二次型，并求它的矩陣并求它的矩陣. . 2121 1221( ,)sniiinnif x xxa xa xa x1111nssnaaAaa12111121121222120nnnnnnnnxxxxaaaxaaafxaaa(2)(2)矩陣合同的應(yīng)用矩陣合同的應(yīng)用 例例1 1 證明：秩等于證明：秩等于r r的對稱矩陣可以表示成的對稱矩陣可以表示成r r個個秩等于秩等于1 1的對稱矩陣之和的對稱矩陣之和. . 例例

14、2 2 設(shè)設(shè) A A是是n n階是對稱矩陣，階是對稱矩陣，A A 的特的特征值是征值是 ，求，求B B的特征值的特征值. . 例例3 3 反對稱矩陣的性質(zhì)反對稱矩陣的性質(zhì) (1)A (1)A是反對稱矩陣的充分必要條件是：對是反對稱矩陣的充分必要條件是：對任意的任意的n n維向量維向量X X都有都有 (2)A (2)A是反對稱矩陣，則是反對稱矩陣，則A A的特征值只能為零的特征值只能為零 0,0ABA12,n 0.X AX0110011000和純虛數(shù)和純虛數(shù). . (3) (3)奇數(shù)階反對稱矩陣一定不可逆奇數(shù)階反對稱矩陣一定不可逆. . (4) (4)證明：任意反對稱矩陣一定合同于矩陣證明：任意

15、反對稱矩陣一定合同于矩陣 (3)(3)慣性定理的應(yīng)用慣性定理的應(yīng)用例例1 1 證明：一個實(shí)二次型可以分解為兩個實(shí)系證明：一個實(shí)二次型可以分解為兩個實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必要條件是：數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必要條件是：它的秩等于它的秩等于2 2和符號差等于和符號差等于0 0或秩等于或秩等于1.1.例例2 2 設(shè)設(shè)A A為一個為一個n n階實(shí)對稱矩陣，且階實(shí)對稱矩陣，且 證明：證明：存在實(shí)存在實(shí)n n維列向量維列向量 使得使得例例3 3 設(shè)設(shè) 是一個實(shí)二次型，若是一個實(shí)二次型，若存在存在n n維向量維向量 使得使得證明：證明：| 0.A 00,X 000.X AX12( ,)nf

16、 x xxX AX12,XX11220,0X AXX AX0000=0.XX AX使例例4 4 設(shè)設(shè)A A是是n n階是對稱矩陣，證明：存在一個正階是對稱矩陣，證明：存在一個正實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)C C，使得對任意一個，使得對任意一個n n維實(shí)列向量維實(shí)列向量X X，都有，都有例例5 5 設(shè)設(shè)n n元實(shí)二次型元實(shí)二次型 證明證明f f在在條件條件 下的最大值恰為下的最大值恰為A A的最大特的最大特征值，并求出取得最大值時的征值，并求出取得最大值時的|.X AXcX X12( ,)nf x xxX AX222121nxxx0.X2.2.正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣 2.12.1有關(guān)定義：設(shè)有關(guān)定

17、義：設(shè) 是是n n元實(shí)二次型，元實(shí)二次型，如果對任意一組不全為零的實(shí)數(shù)如果對任意一組不全為零的實(shí)數(shù) 都有都有 則稱則稱f f為正定二次型，對應(yīng)的矩陣為正定二次型，對應(yīng)的矩陣稱為正定矩陣稱為正定矩陣. . 二次型二次型 正定的充分必要條件是：正定的充分必要條件是：矩陣矩陣 正定正定. . 同樣可以定義半正定二次型；負(fù)定二次型；半負(fù)同樣可以定義半正定二次型；負(fù)定二次型；半負(fù)定二次型以及不定二次型定二次型以及不定二次型. .12( ,)nf x xxX AX12,nc cc12( ,)0,nf c ccA12( ,)nf x xxX AXA 2.2 2.2 正定二次型與正定矩陣的判定：正定二次型與正

18、定矩陣的判定：設(shè)設(shè)n n元實(shí)二次型元實(shí)二次型 其中其中 , ,則下列則下列條件等價：條件等價： a) f a) f是正定二次型是正定二次型(A(A是正定矩陣是正定矩陣);); b) b) 對任意對任意 , ,都有都有 c) f c) f的正慣性指數(shù)等于的正慣性指數(shù)等于n;n; d) A d) A合同于單位矩陣合同于單位矩陣E;E;即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣C C使得使得 e) A e) A的所有順序主子式都大于零的所有順序主子式都大于零; ; f) A f) A的所有主子式都大于零的所有主子式都大于零; ; 正定陣主對角元大于零正定陣主對角元大于零. . g) A g) A的特征值都大于零的

19、特征值都大于零; ;12( ,)nf x xxX AXAA 0X 0.X AX;AC C 2.3 2.3 半正定二次型半正定二次型( (半正定矩陣半正定矩陣) )的判定：的判定：下列條件等價下列條件等價 a)fa)f是半正定二次型是半正定二次型; ; b) b)對任意一組不全為零的實(shí)數(shù)對任意一組不全為零的實(shí)數(shù) c)fc)f的正慣性指數(shù)等于的正慣性指數(shù)等于A A的秩的秩; ; d)Ad)A合同于合同于 e)Ae)A的所有主子式都不小于零的所有主子式都不小于零; ; f)Af)A的特征值都不小于零的特征值都不小于零; ; e) e)存在實(shí)矩陣存在實(shí)矩陣P,P,使得使得 12,nc cc12( ,)

20、0;nf c cc0,00rE.AP P 正定矩陣的性質(zhì)：正定矩陣的性質(zhì)： (1) (1)正定矩陣主對角線上的元素全部大于正定矩陣主對角線上的元素全部大于0 0，正，正定矩陣的行列式大于零定矩陣的行列式大于零. . (2)A (2)A正定，則正定，則 也正定也正定. . (3) (3) 則則 也正定也正定. . (4) (4)若若 正定，且正定，且 則則 正定正定. . (5) (5)設(shè)設(shè)A A為為 矩陣，若矩陣，若 那么那么是正定的是正定的. .特別，當(dāng)特別，當(dāng)A A可逆時，可逆時， 是正定的是正定的. 1*(0),kA kA AA,A BAB,A BABBAABnm( ),r AmA AA

21、 A當(dāng)當(dāng) 那么那么 是半正定的是半正定的. . 題型分析：題型分析：(1)(1)二次型正定性的判別二次型正定性的判別例例1 1 判別二次型的正定性判別二次型的正定性 a) b) a) b) 例例2 2 設(shè)設(shè) 當(dāng)當(dāng) 滿足什么條件，滿足什么條件，f f是正定的是正定的. .例例3 3 設(shè)設(shè)A,BA,B分別是分別是m,nm,n階正定矩陣，試判別矩陣階正定矩陣，試判別矩陣( )(),r Am mnAA12111.nniiiiifxx x211.niijiij nfxx x 2221122231()()()nnfxa xxa xxa x12,na aa 的正定性的正定性. .例例4 4 設(shè)設(shè)A A為為m

22、 m階正定矩陣，階正定矩陣，B B為為 實(shí)矩陣，證明：實(shí)矩陣，證明： 正定的充分必要條件為正定的充分必要條件為B B是列滿秩的是列滿秩的. .題型題型 (2)(2)二次型（矩陣）正定性質(zhì)的應(yīng)用二次型（矩陣）正定性質(zhì)的應(yīng)用主要應(yīng)用結(jié)論：主要應(yīng)用結(jié)論：A A為實(shí)對稱矩陣，則存在正交陣為實(shí)對稱矩陣，則存在正交陣T T使得使得 00ACBm nB AB121nT ATTAT例例1 1設(shè)設(shè)A,BA,B是是n n階實(shí)對稱矩陣，且階實(shí)對稱矩陣，且A A正定，證明：存正定，證明：存在一個實(shí)可逆矩陣在一個實(shí)可逆矩陣T T，使得，使得 同時為對角同時為對角矩陣矩陣. .例例2 2 設(shè)設(shè)A A是是n n階正定矩陣，證明：階正定矩陣，證明：例例3 3 設(shè)設(shè)A,BA,B都是都是n n階正定矩陣，證明：階正定矩陣，證明：例例4 4 設(shè)設(shè)A,BA,B都正定，證明：都正定，證明：1)1)方程方程 的的根都大于零根都大于零. 2) . 2) 方程方程 的所有根等于的所有根等于1 1的充分必要條件是的充分必要條件是A=BA=B.,T AT T BT| 1.AE| |.ABAB| 0AB| 0AB例例6 6 若若B B是正定矩陣，是正定矩陣，A-BA-B半正定，證明：半正定，證明： 1) 1) 的所有根都大于等于的所有根都大于等于1.1. 2) 2)題型題型(3) (3) 與對稱矩陣特征值范圍有關(guān)的問題與對稱矩陣特