1、第二節n階行列式的定義介紹線性代數的思想方法及其要點，關于行列式定義的說明以及學習中要特別注意之處內容要點：從三階行列式講起，應如何定義行列式，對于更高階行列式定義的啟發于思考。一、排列與逆序定義 1 1 由自然數 1,2,n 組成的不重復的每一種有確定次序的排列，稱為一個 n 級排列（簡稱為排列）。例如，1234 和 4312 都是 4 級排列，而 24315 是一個 5 級排列.規定自然數的排列由小到大的次序為標準次序。定義 2 2 在一個n級排列（討2itisin）中，若數 itAis,則稱數 it與 is構成一個逆序.一個n級排列中逆序的總數稱為該排列的逆序數，記為N（i1i2in）.

2、根據上述定義，可按如下方法計算排列的逆序數：設在一個n級排列中2in中，比 ik（k=12，n）大的且排在 ik前面的數由共有 tk個，則ik的逆序的個數為 tk,而該排列中所有自然數的逆序的個數之和就是這個排列的逆序數.即nN（i1i2in）5t2n八 tk.k1定義 3 3 逆序數為奇數的排列稱為奇排列，逆序數為偶數的排列稱為偶排列.二、n n 階行列式的定義定義 4 4 由 n2個元素 aj（i,j=1,2，n）組成的記號a11a12a1na21a22-a2n一.*-*an1an2-ann稱為n階行列式，其中橫排稱為行，豎排稱為歹 U,它表示所有取自不同行、不同列的n個元素乘積助產2a

3、嘰的代數和，各項的符號是：當該項各元素的行標按自然順序排列后，若對應的列標構成的排列是偶排列則取正號；是奇排列則取負號.即a11a12a1na21a22a2n.-,.,.AA=Z(_1)N(j1j2jn)a1j1a2j2anjan1an2annj1j2jn其中Z表示對所有n級排列 j1j2jn求和.行列式有時也簡記為 det（aj）或|aj|,這里jj.jn數 aj稱為元素，稱（-1）N（j1j2jn）&j1a2j，anjn為行列式的一般項.注：（1）n階行列式是 n!項的代數和，且冠以正號的項和冠以負號的項（不算元素本身所帶的符號）各占一半；（2） %1a2jJ,anjn的符號為（。

4、“2（不算元素本身所帶的符號）;（3） 一階行列式|a產a,不要與絕對值記號相混淆.三、對換為進一步研究 n 階行列式的性質，先要討論對換的概念及其與排列奇偶性的關系。定義 5 5 在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素不動，這種作出新排列的手續稱為對換。將兩個相鄰元素對換，稱為相鄰對換。定理 1 1 任意一個排列經過一個對換后，其奇偶性改變。借助課件設計的動畫形象解釋證明思路。推論奇排列變成自然順序排列的對換次數為奇數，偶排列變成自然順序排列的對換次數為偶數.定理 2 2n 個自然數（n1）共有 n!個 n 級排列，其中奇偶排列各占一半.定理 3 3n階行列式也定義為D（-1）saiiji

5、ai2j2ainjn其中 S 為行標與列標排列的逆序數之和.即 S=N（ili2in）十 N（jlj2jn）。推論 n 階行列式也可定義為D二，（一1嚴2h1向22ainn,例題選講:排列與逆序例 1 1（教材例 1 1）計算排列 32514 的逆序數.n n 階行列式的定義(1)a23a31a42a56a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.例 9 9（教材例 6 6）用行列式的定義計算 Dnn-1課堂練習視講課時間而定，布置課堂練習1 .若（_1嚴1432k心（52j14）ai5a42a3ja21ak5是五階行列式的一項,例 4 4（教材例 3)3)計算行列式 D二例 5 5（教材例 4)4) 計算上三角形行列式a110a12a22a1na2nann(&e22ann=0).對換例 8 8（教材例5 5) )在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號例 2 2 計算排列 217986354 的逆序數,并討論其偶性.i,j,k 應為何值？此時該項的符號是什么？0101E/，,一10102 .用行列式的定