1、課 題 等 比 數 列 及 其 前 n 項 和 高考考綱解讀1 .在考試內容上常以等比數列的定義及等比中項為背景，考查等比數列的判定 重點考查通項公式、前n項和公式，同時考查等差、等比數列的綜合應用.2 .在考試形式上主要以選擇、填空為主，考查等比數列的性質及其應用.學習目標1 .理解等比數列的概念.2 .掌握等比數列的通項公式與前 n項和公式.3 .能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題4 .了解等比數列與指數函數的關系.一、【基礎知識梳理】1 .等比數列的定義(1)條件：一個數列從第2項起等于同一個常數.(2)公比：是指,通常用字母q表示(qw0).(3)定義

2、表達式:.2 .等比數列的通項公式若等比數列an的首項是a1,公比是q,則其通項公式為.3 .等比中項如果成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.即：G是a與b的等比中項 a, G, b成等比數列？.4 .等比數列的前n項和公式(1)當公比q=1時,Sn=(2)當公比 q w田寸,Sn=二、局考展小1、(2016年全國I高考)設等比數列an滿足aI + a3=10, a2+a4=5,則a1a2鬃bn的最大值為2. (2016年山東高考)已知數列an的前n項和Sn=3n2+8n, b 是等差數列，且bnbn 1.(I )求數列bn的通項公式;(an4-.求數列 cn的前n項和T(bn 2)n3.

3、 (2016年北京高考)已知an是等差數列，bn是等差數列，且b2=3, b3=9, a 二 b，a4=b4.(I )求an的通項公式；(II)設Cn=an + bn,求數列Cn的前n項和.三、考點突破考點一等比數列的基本運算【例1】設an是由正數組成的等比數列，Sn為其前n項和.已知a2a4=1, S3=7,則S5等于()A.B.C. D.(2015全國II卷)已知等比數列an滿足ai=3, ai + a3 + a5=21,則a3 + a5+a7 =()A.21B.42C.63D.84(3)(2015關B州質量預測)設等比數列an的前n項和為8,若27a3a6=0,則= .規律方法等比數列基

4、本量的運算是等比數列中的一類基本問題， 數列中有五個量a1，n, q, an, 8, 一般可以 知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.【訓練11 (1)已知正項數列an為等比數列，且5a2是a4與3a3的等差中項，若a2 = 2,則該數列的前5項的和為()A.B.31C.D.以上都不正確(2)(2015湖南卷)設Sn為等比數列an的前n項和.若a1=1,且3S1，2s2, S3成等差數列，則an=.【例2】(1)若等比數列an的各項均為正數，且a10an+a9a12= 2e5,則lna+lna2+ + lna20=()A.20B.50C.70D.80(2)設等比數列an的前n項和為Sn,若

5、=3,則=()A.2B.C.D.3規律方法： (1)在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質若m+n =p+q,則aman = apaq"，可以減少運算量，提高解題速度.(2)在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此外，解題時注意設而不求思想的運用 .【訓練2】(1)(2016南昌一模)已知各項均為正數的等比數列an中，aa2a3=5,a7a8a9 =10,則 a4a5a6 等于()A.5B.7C.6D.4(2)在等比數列an中，各項均為正值，且 a6a1o+ a3a5 = 41, a4a8=5,則a4+a8 =.考點三等比

6、數列的判定與證明【例3】(2016萊蕪模擬)已知數列an的前n項和為Sn,在數歹bn中，bi=ai bn=an an i(n>2) 且 an+&=n.(1)設On=an 1,求證：Cn是等比數列；(2)求數列 bn的通項公式.規律方法 證明數列an是等比數列常用的方法：一是定義法，證明= q(n>2, q 為常數)；二是等比中項法，證明a = ani an+i.若判斷一個數列不是等比數列，則 只需舉出反例即可.【訓練3】(20I6青島模擬)設數列an的前n項和為8,已知ai=i, Sn+i = 4an + 2.(i)設bn=an+i 2an,證明：數列bn是等比數列；求數列

7、an的通項公式.2i.已知數列an滿足：an四、當堂檢測an i an i(n 2)，右 a2 3, a2 a4a6 2i ，則 ada6 a8A. 84B. 63C. 42D. 2i2.已知在正項等比數列an中，存在兩項am,an滿足 Jaman4ai,且a6a52a4,則i 4一 一的最小值是()256m nA . 3 B. 2C.7D.233.已知等比數列an中，各項都是正數，且a, la3, 2a2成等差數列，則包 ()2a7 a8A. 1 J2B. 1 T2C. 3 272 D, 3 2夜4已知數列 an為等比數列，Sn是它的前n項和，若a? a3 2a1，且a,與2a7的等差中項

8、5為5,則S5等于.45 .數列an是等比數列，a2gaio 4 ,且a2 a1o 0 ,則a6 ()A. 1B. 2C.1D.26 .等比數列an中，aa2a32,ada§a 4,則a1oaia12.7 .在我國明代數學家吳敬所著的九章算術比類大全中，有一道數學名題叫寶塔裝燈”,內容為 遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”(倍加增”指燈的數量從塔的頂層到底層按公比為 2的等比數列遞增).根據此詩，可以得出塔的頂 層和底層共有盞燈.8 .中國古代數學著作算法統宗中有這樣一個問題：八百七十八里關，初行健步不為難，.其大意為：宥次日腳痛減一半，六朝才得到其關

9、，要見次日行里數，請公仔細算相還個人走了 378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了 6天后到達目的地.'問此人第4天和第5天共走了（）A . 60 里 B . 48 里 C.36 里 D . 24 里9 .九章算術中有一個 兩鼠穿墻”問題：今有垣（墻，讀音）厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天減半）.問何日相逢，各穿幾何？”在兩鼠 相逢”時，大鼠與小鼠 穿墻”的 進度”之比是：.五、自我總結參考答案：二.局考展不：1、【答案】642_2【解析】（I）因為數列an的前n項和Sn

10、 3n 8n ,所以ai 11 ,當n 2時，22an Sn Sn 1 3n 8n 3(n 1)8( n 1) 6n 5,又an 6n 5對n 1也成立，所以an 6n 5.又因為bn是等差數列，設公差為 d ,則anbn bn 1 2bn d .當 n 1 時，2b 11 d ;當 n 2 時，2b2 17 d ,a d解得d 3,所以數列bn的通項公式為bn一3n 1.2(n)由 Cn(an1)n1(bn 2)n(6n 6)n 1(3n 3)n(3n 3) 2n 1于是 Tn 6 22 9 2 3 1 2 24( 3n 3) 2n 1 ,兩邊同乘以2 ,得 _3_4_ n 1_ n 2 2

11、Tn 6 23 9 24(3n) 2n 1 (3n 3) 2n 2兩式相減，得Tn12 3 22(1 2n) (3n 3) 2n 2 3n 2n 23.解：（I）等比數列,b39cbn的公比q 一 3, b23所以 b 區 1 , b4 b3q 27 . q設等差數列 an的公差為d .因為 a1 b1 1 , a14 b4 27,所以 113d 27,即 d 2.所以 an 2n 1( n 1, 2, 3,).(II)由(I)知，an 2n 1, bn 3n 1 .因此 g an bn 2n 13nl.從而數列cn的前n項和n 1 2n 11 3n2 3n 1n .21 32三、考點突破例1

12、.解析(1)顯然公比qw1由題意得解得或(舍去)， .S5=.2)設等比數列an的公比為 q,則由 a1 = 3, a +a3+a5 = 21 得 3(1 + q2+q4)= 21, 解得 q2= 3(舍去)或 q2 = 2,于是 a3+a5+a7=q2(a+ a3+a5)= 2>21 = 42,故選 B.設等比數列的公比為q,首項為a1,則=43=27.=1 + = 1 + = 1 + q3 = 28.答案 (1)B (2)B (3)28訓練1。解析(1)設an的公比為q, q>0.由已知得 a4+3a3=2>5a2,即 a2q2+3a2q= 10a2, q2+3q10=

13、0,解得q = 2或q= 5(舍去)，又 a2=2,則 a1 = 1,所以 &= = = 31.答案(1)B (2)3n 1(2)設等比數列an的公比為q(qw0)依題意得a2 = a1q = q, a3=a1q2 = q2, S=a1 = 1.S2=1 + q,邱=1 + 4+42又39, 2s2, S3成等差數列，所以 4s2=3S1+S3, 即 4(1+ q) = 3+1+ q + q2,所以 q= 3(q= 0 舍去).所以 an=aiqn 1 = 3n 1.例2.解析(1)由等比數列的性質可知，awan + a9ai2=2e5,所以aw an = e5, 于是 lnai+ I

14、na2+ + Ina2o= 1Oln(aio a11)= 10lne5 = 50.(2)由等比數列的性質及題意，得 S3,秘一金, S9多仍成等比數列，由已知得 與= 3Ss, ,即 Ss傍= 4$, S9=7Ss,訓練2.解析(1)把aia2a3, a2a3a4,，a7a8a9各看成一個整體，由題意知它們分別是一個等比數列的第1項、第4項和第7項，這里的第4項剛好是第1項與第7項的等比中項.因為數列an的各項均為正數，用P 以 a4a5a65.(2)由 a6a1o+a3a5 = 41 及 a6aio=a, a3a5= a,得 a+a=41.因為 a4a8 = 5,所以(a4+ a8)2 =

15、a +2a4a8+a = 41 + 2>5 = 51.又 an>0,所以 a4+ as=.答案(1)A (2)例3.證明an + Sn= n, - an+1 + Sn+1 = n + 1.一得 an+1 an+ an+1 = 1 ,. . 2an+1 = an + 1 , - 2(an + 1 1) an1, - an一 1是等比數列.又 ai + ai = 1,ai =, 又 cn= an 1, 首項 ci = ai 1, ci =,公比q=.；Cn是以一為首項，以為公比的等比數列.解由(1)可知Cn=一,，an=Cn+1 = 1 .,.當 n>2時，bn an an 11

16、.又bi = =代入上式也符合，bn=.訓練 3.證明由 ai= 1 及 Sn+i = 4an + 2,有 ai+a2 = & = 4ai+2.；a2=5,b1= a2 2a1 = 3.又，Sh= 4an-1 + 2,)一，得 an+i = 4an 4an 1 (n > 2) . an + 1 2an = 2(an 2an 1). bn = an+1 2an,bn = 2bn 1,故bn是首項 bi = 3,公比為2的等比數列.(2)解 由(1)知 bn=an+1 2an = 3 2nT,=,故是首項為, 公差為的等差數列. = +(1)得 an=(3n1) 2n 2課堂檢測：1.【答案】C【解析】由數列an滿足:2anan 1an 1(n2),所以數列an為等比數列，設等比數列a4a6a8a22a?q4 a?q21 ,又 a23,即q2 6 0,解得q2 2,則2a2q2a4q2%q42,故選C.由 a6a52 a4 得 q5_3-一2q解得q2,16 246,所以4m3.【答案】C【解析】三項成等差數列,所以a3ai2a2 ，一 2即aq二2a1 2a1q,q1 2q ,解得1,所以a_包a7a8q2 331【解析】根據等比數列的性質2a6a