1、第四章 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù) 泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù) 孤立奇點(diǎn)的分類本章討論解析函數(shù)的級(jí)數(shù)性質(zhì)，先介紹復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的根本概念 特別是幕級(jí)數(shù)的有關(guān)概念；然后討論解析函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)和洛朗 級(jí)數(shù)的問題；最后討論單值函數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類這也是為第五章討論 定積分的計(jì)算作準(zhǔn)備。§ 4.1 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)和解析函數(shù)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的根本概念有很多地方與實(shí)變函數(shù)級(jí)數(shù)相同，這里僅作扼要的介紹，其中有關(guān)定理將不予證明。一個(gè)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)05(z) u2(z)uk(z)八 uk(z)k呂(4.1 )如果它的局部和Q0Sn(Z)二uk(z)(4.2 )k=1的極限limSn(z)在一點(diǎn)z存在，那么稱級(jí)數(shù)(3.1 )在Z

2、點(diǎn)收斂，而這個(gè) n極限為級(jí)數(shù)在Z點(diǎn)的和；否那么稱級(jí)數(shù)在Z點(diǎn)發(fā)散。由于山二Reg (z) ilmuO (k =1,2,)，所以級(jí)數(shù)(3.1 )的收斂和發(fā)散 問題就歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)級(jí)數(shù)二Reuk(z)和二Imuk(z)的收斂和發(fā)散k 4k 40qQ問題；在一點(diǎn)Z,假設(shè)Reuk(z)和lmuk(z)都收斂，那么級(jí)數(shù)(3.1 )在 k=1k=1此點(diǎn)收斂；假設(shè)v Reuk(z)和a lmuk(z)至少有一個(gè)發(fā)散，那么級(jí)數(shù)(4.1) k =1kd在此點(diǎn)發(fā)散。級(jí)數(shù)(4.1 )收斂的必要條件是lim un(z)二0(4.3)(4.1 )式收斂的充要條件是：任意給定一個(gè)小的數(shù)£刃，總存在充分大的正整

3、數(shù)N,使當(dāng)n>N時(shí),對(duì)于任何自然數(shù)p,恒有p|Sp(Z)Sn Un.k(Z)|(4.4 )這稱為柯西收斂判據(jù)。如果級(jí)數(shù)J|Uk(z)|(4.5)k 4在z點(diǎn)收斂，那么稱級(jí)數(shù)(4.1 )在此點(diǎn)絕對(duì)收斂。設(shè)Uk(z)(k日23 )定義在區(qū)域D(或曲線I)上，如果任意給定；0，存在與z無關(guān)的正整 數(shù)N,使當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)于任何自然數(shù)p, (4.4 )式恒成立，那么稱級(jí)數(shù)(4.1 )在D (或I )上一致收斂。現(xiàn)將復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的一些根本性質(zhì)列于下，證明從略。定理一如果級(jí)數(shù)uk(z)是絕對(duì)收斂的，那么級(jí)數(shù)收斂。k呂定理二如果級(jí)數(shù)二uk (z) = U (z)和二Vi (z) = V(z)都是絕

4、對(duì)收斂k=11=1的，那么它們的乘積O0QOQ0、Uk(z)' i(z)二' Uk(z) i(z)k=1I =1k,l =1二 Ui1Ui2U21Ui3U22 U31 "I(4.6 )Ur n U2 nd u 1 III也是絕對(duì)收斂的，級(jí)數(shù)(4.6 )的和是u ,它與(4.6 )式中各項(xiàng)的排 列次序無關(guān)。定理三 如果Uk(z)(k =1,2,3川I)在區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的，且- Uk在kmD內(nèi)一致收斂，那么級(jí)數(shù)的和在 D內(nèi)也是連續(xù)的。qQ定理四 如果Uk(z)(k =1,2,3,111)在曲線|上是連續(xù)的，且J Uk(z)在kNl上一致收斂，那么級(jí)數(shù)的和 S (z)在I上

5、也是連續(xù)的，而且有qQqQiS(z)dUk (z)dz = v 嚴(yán)(z)dz(4.7 )1 k 4k 4即求和與積分可以交換次序，或者說，原級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分。定理五如果在區(qū)域D內(nèi)滿足Uk( z)|"k(k =1,2,3,川)，其中aMk =1,2,3,川)是常數(shù)，且匸ak收斂，那么二Uk(z)在D內(nèi)絕對(duì)收 k 二斂且一致收斂。對(duì)于解析函數(shù)級(jí)數(shù)，還有如下的重要性質(zhì)：魏爾斯特拉斯(Weierstrass )如果Uk(z)(k =1,2,3川|)在閉區(qū)域D上是單值解析的，' uk(z)在D的境界線I上是一致收斂的，那么kA(i )Uk(z)在D上一致收斂；kd：(ii)級(jí)數(shù)的和S(

6、z)在D內(nèi)是解析的；(iii )在D內(nèi)有d n oOQCiS(n)(z)=時(shí) Uk(z)八 Uk(n)(z)(n =1,2,3J|)(4.8)dz k=1k =1而且級(jí)數(shù)(4.8 )在D內(nèi)的任何閉區(qū)域上都一致收斂。最后給出幾個(gè)常用的級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂性的判別法：(1) 達(dá)朗貝爾(d' Alembert )判別法：如果(至少當(dāng)n充分大時(shí))卜1Lq：l (其中q是常數(shù))，那么級(jí)數(shù)二Uk絕對(duì)收斂；Un I心如果(至少當(dāng)n充分大時(shí))Un十COA1，那么瓦Unk=1Uk發(fā)散。(2) 柯西判別法：如果(至少當(dāng)n充分大時(shí))0|Un|Eqc1 (其中q是常數(shù))，那么級(jí)數(shù)Uk絕對(duì)收斂；如果(至少當(dāng)n充k d分

7、大時(shí))，那么山|發(fā)散。(3) 高斯判別法：如果(至少當(dāng)n充分大時(shí))= 1 +上+o(l)(其中卩是常數(shù))(4.9 )|ui|n n那么當(dāng)卩1時(shí)，級(jí)數(shù)uk絕對(duì)收斂；而當(dāng)卩1時(shí)F|山|發(fā)散。k 4k 4一般來說，柯西判別法比達(dá)朗貝爾判別法強(qiáng)，但在計(jì)算上前者比 后者復(fù)雜。高斯判別法比達(dá)朗貝爾判別法更細(xì)致些，因而更強(qiáng)些，它 是一個(gè)很有用的判別法。§ 4.2幕級(jí)數(shù)的收斂性1.幕級(jí)數(shù)的收斂性在解析函數(shù)級(jí)數(shù)的范圍內(nèi)再特別討論形如' ak(z-b)k(4.10 )k=0(其中ak和b都是復(fù)常數(shù))的級(jí)數(shù)，這稱為 幕級(jí)數(shù).關(guān)于它的收斂性有 如下更強(qiáng)的定理：阿貝爾(Abel)定理如果級(jí)數(shù)&

8、ak(z-b)k在z二zo收斂，那么該級(jí)k=0數(shù)在圓域|z-b|：|zc-b|內(nèi)絕對(duì)收斂，而且在該圓域內(nèi)的任何閉圓域上 一致收斂。證我們要證明，對(duì)于任何正數(shù)，：|z°-b| ,以己表示以b點(diǎn)為圓心、以為半徑的閉圓域，芒ak(z-b)k在C、上絕對(duì)收斂且一致收斂。k=e既然按假設(shè) -ak(zb)k是收斂的，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件k =0(4.3 )式可知lim比心。-b)k =0因而，存在一個(gè)正數(shù) M使得 kla/zo b)理 M(k =0,1,2,).于是，當(dāng)|z _b| t，有kk|z b|( P )ak(zb) =ak(z°b) -蘭 M _-國(guó)一b|0b| 丿現(xiàn)在<

9、;1，而幾何級(jí)數(shù) f一 是收斂的，故由§ 4.1定理|z°b|kojqb|五可知，& ak(z b)k在6上絕對(duì)收斂且一致收斂。k=0推論一 如果"ak(z-b)k在z = zi發(fā)散，那么該級(jí)數(shù)在圓 k =0|zb冃zi b|外處處發(fā)散。這容易用反證法證明(試自證之)。推論二 對(duì)于幕函數(shù) ajz-b)k，必存在一個(gè)數(shù)R啟0，使在圓 kz0|z-b| = R內(nèi)級(jí)數(shù)處處收斂，同時(shí)在|z-b|=R外級(jí)數(shù)處處發(fā)散。證 從b點(diǎn)出發(fā)任作一條射線(見圖4.1)，在這條射線上各 點(diǎn)級(jí)數(shù)的收斂性有三種可能：(1) 除z=b夕卜，在射線上各點(diǎn)級(jí)數(shù)都發(fā)散。由推論一可知，級(jí) 數(shù)除

10、z=b外在平面上處處發(fā)散，此時(shí)R=0(2) 在射線上各點(diǎn)級(jí)數(shù)都收斂。由阿貝爾定理可知，級(jí)數(shù)在平 面上處處收斂，此時(shí)R=：。(3) 在射線上有兩點(diǎn)A和B1，在A點(diǎn)級(jí)數(shù)收斂而在B1點(diǎn)級(jí)數(shù)發(fā)散，由阿貝爾定理顯然可知，B1點(diǎn)比A點(diǎn)離z=b遠(yuǎn)。考慮A和B1的中 點(diǎn)，級(jí)數(shù)在這點(diǎn)可能收斂或發(fā)散，設(shè)為收斂，記這點(diǎn)為A。再考慮A> 和B的中點(diǎn)，級(jí)數(shù)在這點(diǎn)可能收斂或發(fā)散，設(shè)為發(fā)散，記這點(diǎn)為 B2。 再考慮A和B2的中點(diǎn)，假設(shè)級(jí)數(shù)收斂，記這點(diǎn)為A ;否那么記這點(diǎn)為B3這樣，在線段AmBn 上必存在唯一的極限點(diǎn)P,在P點(diǎn)靠近Z = b的一側(cè) 各點(diǎn)級(jí)數(shù)都收斂，另一側(cè)各點(diǎn)級(jí)數(shù)都發(fā)散。最后，由阿貝爾定理和推 論一可知

11、，在以z=b為圓心、以P點(diǎn)到z=b的距離為半徑的圓內(nèi)級(jí)數(shù) 處處收斂，而在這圓外級(jí)數(shù)處處發(fā)散。因此，R等于此圓的半徑。2.幕函數(shù)的收斂圓圓|z_b|二R稱為幕級(jí)數(shù)7 ak(z-b)k的收斂圓，而半徑R稱為它的 k衛(wèi)收斂半徑。注意，對(duì)于在收斂圓周上的收斂性，上述阿貝爾定理及其 推論沒有給出任何信息.定理 在收斂圓內(nèi)，幕級(jí)數(shù) 焉ak(z-b)k可以逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)任意次，而收斂半徑不變.證由于幕級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是解析函數(shù)，由§4.1定理四和魏爾斯特拉斯定理可知，此級(jí)數(shù)在收斂圓| z - b |= R內(nèi)的任意一條曲線上可以逐項(xiàng)積分，同時(shí)在任意一點(diǎn)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，而且積分或求導(dǎo)后的 級(jí)數(shù)也是收斂的設(shè)

12、LZ ak-b)kZ 旦(zb)“(4.11 )b 心kzok 1的收斂半徑為R ;同時(shí)QOO0一二 ak(zb)k =' kak(zb)k'(4.12 )dzk =0心的收斂半徑為Rd，那么有 RR(4.13)和 R,一 R(4.14)將結(jié)論(4.14 )式用于幕級(jí)數(shù)(4.11 )(注意，它的收斂半徑是R), 有(R)d 王 R(4.15)k然而(4.11 )式求導(dǎo)后就是幕級(jí)數(shù)&ak z-b本身，所以(Ri)d二Rk =0-k(4.16 )R_ R因而4.15 式等價(jià)于綜合4.13和4.16式，即得R=R類似可證Rd = R。應(yīng)當(dāng)指出，雖然幕級(jí)數(shù)經(jīng)逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)求導(dǎo)后

13、其收斂半徑保持 不變，但幕級(jí)數(shù)在收斂圓上的收斂性可能因此而改變。一般地說，逐 項(xiàng)積分后收斂性將加強(qiáng)，而逐項(xiàng)求導(dǎo)后收斂性將減弱。例如幕級(jí)數(shù)zk，其收斂半徑顯然是1。在圓|z卜1上級(jí)數(shù)是處處發(fā)散的這是k -0因?yàn)閘im |zn0，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件3.3式，而逐項(xiàng)n_積分后的級(jí)數(shù)f丄zk1在Z 1處是收斂的。7 k +1由級(jí)數(shù)收斂性的達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法可以得出求幕級(jí) 數(shù)芒akzk收斂半徑R的兩個(gè)公式為書寫方便，已取b=0:k衛(wèi)(1)a設(shè)lim | n |存在，那么an 1R = lim |玉 |an 1(4.17)設(shè)nim n |an存在，那么1R = lim n 門 n an(4.

14、18)§ 4.3解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開如上節(jié)所述，就幕級(jí)數(shù)來說，它的每一項(xiàng)都是解析函數(shù)，而且在 收斂圓內(nèi)的任何閉區(qū)域上都是一致收斂的，因此由§4.1魏爾斯特拉斯定理可知，幕級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)是一個(gè)解析函數(shù)。 本節(jié)研究它的反 問題，即區(qū)域上的解析函數(shù)展開為幕級(jí)數(shù)的問題。1.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)泰勒Taylor 定理 設(shè)fz在圓域z-b：R內(nèi)是解析的，那么fz可以在此圓域內(nèi)展開為絕對(duì)收斂且一致收斂的幕級(jí)數(shù)f(心守“7 k!(4.19)并且這樣的展開是唯一的證 注意，這里所說的在圓域內(nèi)一致收斂指的是在該圓域內(nèi)的任何閉區(qū)域上一致收斂。所以我們要證明，對(duì)任何 R<R，所展開的幕級(jí)數(shù)

15、在閉圓域z-b蘭R上是絕對(duì)收斂且一致收斂。在R和R之間取一個(gè)數(shù)R，即R c R； c R。對(duì)于圓Cr人任-b| = R/見圖3.2，由柯西公式fZ=占山出,4.20其中z是閉圓域z-bR上的任一點(diǎn)。注意到詈1，那么1 _ 1 _ 1 1taFJaFJaFI z (-b)-(z-b) 匕1_乙-bb一 b k=0J (z - b)k2( -b)k1(4.21)這個(gè)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂且一致收斂的見§ 3.13.20式并利用§ 3.1定理四，得到定理五。將上式代入f 八+c ( f(bk1d(z-b)k心.2兀1印(b)再利用解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的柯西公式2.25f(k)(b尸衛(wèi)川2iu

16、f()k 1R(b)(4.22)即得(4.19)式由于函數(shù)是解析的，它必然是連續(xù)的，因而f( )< M (M是常數(shù))。利用柯西不等式(3.30),有所以f(k)小f (b).kZXkR1(z_b)< Mk!<R1丿<O(k)(b)k ! M(Ri)k注意到訂1 '級(jí)數(shù)黃)k是收斂的所以冪級(jí)數(shù)(4.19)在閉圓域z-b ER上是絕對(duì)收斂且一致收斂的(見§4.1定理五)。既然由f (z)展開的幕級(jí)數(shù)f (z)二、ak(z -b)k( 4.23 )k=e必定是一致收斂的，對(duì)(4.23)式求導(dǎo)n (n=0,1, 2,)次后令 z=b，可得務(wù)=f (b)(n=0

17、, 1, 2,)。n!這就證明了 f (z)的幕級(jí)數(shù)展開式(4.19 )是唯一的。級(jí)數(shù)(4.19 )稱為解析函數(shù)f (z)的泰勒級(jí)數(shù)，而b點(diǎn)稱為其展 開中心。既然這種展開是唯一的，我們就可以用任何方便的方法(例 如幾何級(jí)數(shù)公式，如果可能的話)求出泰勒級(jí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)而不必利 用(4.19)式。本節(jié)開頭已經(jīng)指出，幕級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)是一個(gè)解析函數(shù)。所以 被展開的函數(shù)如果有奇點(diǎn)的話，這種奇點(diǎn)只可能在收斂圓上或收斂圓 之外；就是說，奇點(diǎn)至展開中心的距離不會(huì)小于收斂半徑R。另一方面，在函數(shù)的奇點(diǎn)中，假設(shè)離展開中心最近的一個(gè)奇點(diǎn)不在收斂圓上 而在收斂圓之外，那么在以展開中心為圓心、以展開中心至這個(gè)奇點(diǎn) 的距

18、離為半徑的圓域內(nèi)函數(shù)是解析的，于是按泰勒定理，此幕級(jí)數(shù)的收斂半徑將大于R。這與收斂半徑的定義相矛盾。由此可見，函數(shù)展 開為幕級(jí)數(shù)，其收斂半徑必等于展開中心至被展開函數(shù)的最近奇點(diǎn)的 距離。這是確定泰勒級(jí)數(shù)收斂半徑的最直觀、最簡(jiǎn)便的方法。注意，在實(shí)變函數(shù)論中的泰勒級(jí)數(shù)本沒有這樣的好處， 但現(xiàn)在就可借助于復(fù) 變函數(shù)論的這一方法來確定收斂半徑了。例如，根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)公式4.19 和剛剛所說確實(shí)定收斂半徑 R 的方法，不難得出常見的幾個(gè)單值初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)及其收斂范圍以z=0為展開中心：丄八 zk 4.241 - Z k z0在整個(gè)平面上 丄 的唯一奇點(diǎn)是Z=1，而Z=0至Z=1的距離為1,所1 -Z以

19、R=1因而上述級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是 z <1。等等0a az 人.I k ezk k!0sin z = ' (-1)'n=S2mHn Zi (2n 1)!aOcosz 二、(-1)'n =02nZ【例1】證明Z心z ：(z ：-)eZ1 腎二 eZ1 Z2(4.25)(4.26)(4.27)(4.28)00 1七才十；旳1z2Iez2I I!根據(jù)§ 4.1定理二,這兩個(gè)級(jí)數(shù)可以相乘，而且CO OO AeZlJez' '一z；z；k =0 i =0 k ! l !引入指標(biāo)n二k+l以代替指標(biāo)1此時(shí)n 一 k,然后交換兩求和號(hào)次序此時(shí)k的取值為0

20、 “蘭n ,那么上式成為k n_k乙Z2E丄上一衛(wèi)一zkz尸 n衛(wèi) n !：抽! n-k!一由二項(xiàng)式定理可知，最后一式右端方括號(hào)內(nèi)的正是z Z2n，所以00 deziQez2 八丄(乙z2)n = ez1 z2z n!【例2】證明ize = cosz i sin z(4.29)O0 AO0 AO0A證eiz 八(iz)n- (iz)2k- (iz)2k 1nM!心(2k)!k(2k+1)!八(-1)kk =0z2k(2 k)!00r (-i)kk =02k 1(2 k 1)!iz,.利用4.26和4.27式，由上式即得e = cosz，i si nz特別，取z=x 實(shí)數(shù)，那么有ixe = co

21、sx + i sin x4.30由此可見，3.2 式的引入是合理的。2.多值函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)對(duì)于多值函數(shù)來說，其函數(shù)值尚未規(guī)定之前，在復(fù)平面上展開為 泰勒級(jí)數(shù)也就無從談起。只有在黎曼面上或確定單值分支之后，才可 像單值函數(shù)一樣作泰勒級(jí)數(shù)展開當(dāng)然，展開區(qū)域應(yīng)避開支點(diǎn)和割 線。下面以兩個(gè)例子加以說明。【例3】將In (1+z)在z=0的鄰域內(nèi)展開為泰勒級(jí)數(shù)。解In (1+z)的支點(diǎn)z = _i是和：。為確定它的單值分支，沿 負(fù)實(shí)軸從z=-1至z=：作割線，如圖4.3所示(如同§ 1.4所指出的, 割線的作法不是唯一的。但是，在這里為使泰勒級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域盡可能的大，割線不應(yīng)與此區(qū)域相交，更不

22、能通過點(diǎn)z=0)。如果我們?nèi)〉膯沃捣种鞘垢罹€上岸關(guān)于支點(diǎn) z=-1的幅角為二，那么割線下岸的幅角為-二；就是說，對(duì)于這個(gè)單值分支，z的值是(4.31)(4.32)z -： ：； _ 二：:：二特別，原點(diǎn)是z = 0- -1Te"°由于In 1 z z =ln 1ei0 =0dnndzln(1 z) zn _1=(-1)(n-1)!( n =1,2,3 )(4.33)利用(3.19)式即得*、：、nIn(1+z)=E (-1嚴(yán)色(|z c1)心n其收斂區(qū)域?yàn)閦 ：1是因?yàn)镮n(V z)在整個(gè)復(fù)平面上(除無窮遠(yuǎn)點(diǎn)外)只有一個(gè)奇點(diǎn)z=-1，而收斂半徑R等于z=0至z=-1的距離

23、，即R=1。假設(shè)取另一個(gè)單值分支z = _1 瀉 了 3二(4.34)此時(shí) z = 0 = T +1ei2因此In(1 + z) z=0 Tn(1ei2；r) = 2兀 i這與(3.32)式不同，而(3.33)式仍有效，所以:nIn(1 z) =2二i '、(T)n'Z z 1n Mn對(duì)于其余的單值分支(有無窮多個(gè))，In(1 - z)可作類似的展開(請(qǐng)讀者自行作出)【例3】將(1 z)m (m為非整數(shù))在z=0的鄰域內(nèi)展開為泰勒級(jí)數(shù)。解(V z)m= emln(1 z)的支點(diǎn)是z=-1和。同樣作割線如圖4.3。如取單值分支為(3.31)式，那么(1 z)mml n(1 卡)_

24、0 = e2(1 £dzm (1 z)mz1eo 二 m川(1 z)mdz2z=Q= m(m")(1 z)m(1 z)2z=J 1ei0=m(m -1)般地，對(duì)自然數(shù)dndzn(1 z)mW) "Ed(1 z)n=m(m -1) (m -n -1)利用(4.19)式即得(1 z)m =1 mz m(m1)zm(m)(m-n 叱2!n!=1 J m(m" gfnn!(z <1)(4.35)如取另一單值分支(4.34)，注意到:mmln(1 -z)(1 z) ze£(1 z)m=0m(m -1) (m-n-1* . z)m(1 z)n=m(m

25、 -1) (m - n 1)e2m ! (n 二 1,2,3 )那么有(1 z)m £mi近 m(m T) '(m- n +1) In!(z ：1) (4.36)§ 4.4解析函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)展開現(xiàn)在更一般地討論解析函數(shù)展開為形如(z -b)n的級(jí)數(shù)的問題，這里幕次n可以取負(fù)整數(shù)。洛朗(Laurent)定理 設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域&：# bcR內(nèi)是單值解析的，那么f(z)可以在此環(huán)域內(nèi)展開為絕對(duì)收斂且一致收斂的級(jí)數(shù)O0f(z) = z ak(zb)kkoo(4.37)其中1 ak=.7f&Ld 芒(4.38)J .“k-1d2江1LG-b)(l是環(huán)域內(nèi)圍

26、繞z=b 一周的任何閉曲線)。這個(gè)級(jí)數(shù)稱為洛朗級(jí)數(shù)，這樣的展開是唯一的。證 如同上節(jié)泰勒定理的證明中所說的那樣，這里所謂在環(huán)域R c zb vRi內(nèi)一致收斂，意即在任何一個(gè)外半徑R；小于Ri、內(nèi)半徑 大于R2的閉環(huán)域R?'勻z-b蘭氏上一致收斂。設(shè)z是環(huán)域&十-bcR,內(nèi)的任一點(diǎn)，它滿足&上山-bER；,再取 兩個(gè)數(shù)R"和R2"使分別滿足R； c R" c R和R2 R； c R2，如圖4.4所示， 在由"十-b = Ri"為個(gè)境界線、Cr；下-b = R2"為內(nèi)境界線的閉復(fù)通區(qū)域上，應(yīng)用柯西公式，就有f( z

27、)噲叮需Cr；-d(4.39)當(dāng)匚在上時(shí)，注意到耳£1，那么_k11蘭(z-b)k 1- z - b r z - bk =0； ：；、 -b(4.40)當(dāng)匚在CR"上時(shí)，注意到I土1，那么1(匚 _b )_(z_b )二i =o z - bk 7 - b(4.41)其中最后一個(gè)等式作了求和指標(biāo)的代換k = -(I T)，將(4.40)和(4.41)式代入(4.39)式，有2if 二丄 Hd z - J £ ：h"d b)k利用柯西定理，上式中的積分曲線CR.和CR"都可用I代替而積分不變,所以1 oOf(z)= 2?ik叨CR"(匚

28、_b)d z-b k這就證明了 (4.37)和(4.38)式，至于級(jí)數(shù)(4.37)收斂性的證明完全同 泰勒定理，這里從略。現(xiàn)在證明(4.37)式是唯一的；也就是說，其中系數(shù) ak k=0,_1,_2,被(4.38)式唯一確實(shí)定，為此，設(shè)有O0_kf ZCk z -bkcd以2二i(z-b)n1除上式兩端，并關(guān)于z在丨上積分，有f z1dzl(z-b)J ln41(z-b)k_n J1dz =2 兀 icn = Cn其中利用了公式(見§ 4.3例)k n 1 iJ (z - b)k1dz =u 10當(dāng)(k=n) 當(dāng)(k = n)所以,5 =制冊(cè)心0,*2)需要指出，對(duì)于(4.38)式，

29、即使是k=0,1,2,3,時(shí)，ak也不一定是f 也不要產(chǎn)生誤解，以為級(jí)數(shù)中存在負(fù)幕，表示b點(diǎn)是函數(shù)k!f z的一個(gè)奇點(diǎn)，這是因?yàn)槎ɡ碇袥]有說f z在由l所圍的區(qū)域內(nèi)(明 確的說，在閉區(qū)域z-b蘭R2 上)是解析的，在此區(qū)域上不能用柯西公 式和高階導(dǎo)數(shù)的柯西公式，其實(shí)f(z )在z-b蘭R2上倒必定有奇點(diǎn)，否那么洛朗展開式就自動(dòng)地復(fù)原為泰勒展開式。在洛朗級(jí)數(shù)成立的環(huán) 形區(qū)域內(nèi)，正幕項(xiàng)和負(fù)幕項(xiàng)都是一個(gè)統(tǒng)一的解析函數(shù)的不可分割的組 成局部。洛朗定理中的環(huán)域有兩種極限情況，其一是環(huán)域的內(nèi)半徑為零， 另一是環(huán)域的外半徑為無窮大，§4.6中將討論這些情況。§ 4.5 泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)

30、展開的幾種常用方法用(4.38)式來求洛朗級(jí)數(shù)(4.37)的系數(shù)ak需要計(jì)算曲線積分，所 以并不實(shí)用，按照洛朗定理，由于在特定的環(huán)域內(nèi)函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)是 唯一的，我們通常是借助于一些別的方法將它展開。 這些展開方法對(duì) 于泰勒級(jí)數(shù)的展開同樣是適用的。1、利用幾何級(jí)數(shù)公式(4.24)(這是最常用的展開方法)【例1】將匕在環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)。解 注意到z>1,即卩4<1,利用(4.24 )式，有z11 -z2z212zook =0 Z12k 2(4.42)【例2】將占分別在區(qū)域D1 ： WTM和區(qū)域D2 :Vz-i 5展開為洛朗級(jí)數(shù)。解利用局部分式法，有1 = 1 _ 1z(z 1) z

31、 z 1(4.43)1 1(z -i) i (z -i) (1 i)先考慮區(qū)域D1內(nèi)的展開，注意到此時(shí)|z-i|>1，即 <1 ； 1 +,z- i1(Z -i) i八(_i)n(z i)n0co(4.44 )百 k半/.、k二"I (z-i)k -其中已作了求和指標(biāo)的代換：k=-n-1 冷市十士盲需z-ik1 i將這兩式代入4.43 式，即得1z(z 1)-oOcdk ： Hk y -二 i (z_l)-n=0k=0(-1)k(1 i)k 1(z_i)再考慮區(qū)域D2召V1和冃'所以占的級(jí)數(shù)與4.44 式相同，而(4.45)11£ (-1-i)n(zi)

32、 (1 i廠7 . 1 i (zi)1z-i將4.44 和4.45 式代入4.43 式，即得1,1n_1_inzz 1心z-in12、利用其它初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開公式4.25 )(4.27 )等等，例如，利用3.25 式，有例如，利用3.25 式，有ez 八十z 04.46k=o k!z【例3】將z(z 1)(z-1)3在環(huán)域1 < zZ內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)。解由于z(z 1)z2z(z-1)3 (z-1)3 (z-1)3(4.47 )我們只需將1 d3展開。為此，利用/Z -11z -1O01kl-并對(duì)此式求導(dǎo)兩次，得到1(z-1)3(k 1)(k 2)2 k =0zk3(z 1)代入4

33、.47 式，有(k 1)(k 2)z(z 1)(z-1)3在此式右端的兩個(gè)和式中分別作指標(biāo)代換n=k+1和n=k+2，即得zz 11 二 nn 1二 nn -1 I ： n23n 亠二 n 二 nz -12 |!_kzk=2 zn 呂 z4、兩個(gè)級(jí)數(shù)相乘或相除【例4】 將cotz在環(huán)域0 ： z ：二內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)。解利用, cos z cot z =sin z其中sinz和cosz的泰勒級(jí)數(shù)已見于4.26 和4.27 式。另一方面，由于cotz是奇函數(shù)，而且由4.26 和4.27 式可見它的級(jí) 數(shù)的最低幕次是-1，我們可以設(shè)(4.48)cotz 八 biz2'4l =0為定出b I

34、 "，1,2川I，將4.26 和4.27 式以及4.48 式代入恒等式cotz-咤中，移去分母后有sin z:2m:、(-1尸m=0(2 m)!n=0oO(-1)nl -0bl2(Hn)(2n 1)!z在右端作求和指標(biāo)代換，即以m=l n代替n，并注意到m-l二n_0， 即P<m，那么上式成為所以J(1)mm02m(2m)!m八(-1)1l衛(wèi)oC-：z2my (2m-2l 1)!b(2m-2l 1)!(m = 0,1,2| 由此可以定出b :令m=Q得bo =1 ;令m=1并利用b° = 1，可得b =-;3令m=2并利用bo =1和b1 =-，可得b2 =-丄；另m

35、=3并利用bo = 1,345bT，T，可得945 ；依此類推，將這些b值代入(曲)式即得(3.49)5其它展開方法(例如利用三角恒等式)例如,5 sin z 二2i132i(e5lz3iziziz3iz . 5iz-5e 10e -10e 5e -e )1165iz .5ize -e2i3izJ3iz-5皂二2iiz10z -e2i(sin 5z -5sin 3z 10sin z)16此式右端各項(xiàng)的展開都是知道的，所以sin5 z的級(jí)數(shù)就是它們的和。§ 4.6 孤立奇點(diǎn)的分類和特性我們的討論限于單值函數(shù)(或多值函數(shù)的單值分支)。假定函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)Z二b是孤立的；也就是說，在Z二

36、b的任意小的鄰域內(nèi)除此 點(diǎn)外f(z)再?zèng)]有其它奇點(diǎn)；或者說，除此點(diǎn)外f(z)是解析的。這時(shí)如 果將f(z)以b點(diǎn)為中心在它的鄰域內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)，由洛朗定理可 知，環(huán)域的內(nèi)半徑R2=0。因此，我們有(4.50 )f (z) = ' ak(z b)k (0： z -b : R)其中ak =£( "bl1" (k= 0,一川2,(4.51 )(4.50 )式的正幕局部ak(z b)k稱為它的解析局部，而負(fù)幕局部k z0<：3k(z-b)k稱為主要局部。注意，兩者仍都是解析的！不過下面將看k衛(wèi)到，f(z)在z = b的奇性確是由主要局部所決定的。現(xiàn)在按級(jí)數(shù)

37、(4.50 )的主要局部的不同形式定義各類奇點(diǎn)，下面還將看到，這種定義是與當(dāng)z； b時(shí)f (z)的不同極限特性相等價(jià)的(1) 可去奇點(diǎn)假設(shè)級(jí)數(shù)(3.50 )的主要局部不存在，即(4.52 )kf (z) =E ak(z b)(0 c|z b c R)k士那么稱z = b為f (z)的可去奇點(diǎn)。此時(shí)顯然lzm f (za0是一有限復(fù)數(shù)。反之,Hzmb有限復(fù)數(shù)，那么由極限的性質(zhì)可知，總存在b點(diǎn)的一個(gè)小鄰域，使f(z)滿足f(z) <M (常數(shù))。據(jù)此，我們可 以證明ak =0 (k = -12311)。事實(shí)上，既然z=b是f(z)的孤立奇點(diǎn)， 可將(4.51 )式中的積分線路丨變形為以b點(diǎn)為

38、圓心、以充分小的數(shù)£ 為半徑的圓C；(只要£充分小，C ；總可以含于上面所取的小鄰域內(nèi))而保持積分值不變。于是，由(4.51 )式有ak2 兀 Lie(-1,-2, -31)可見呵耳=0 (k八1,-2,-3,IH),然而從(4.51 )式看到,實(shí)質(zhì)上與£無關(guān)，所以ak二0 (k 一 1,一2,一3,川),因而，z=b是可去 奇點(diǎn)。例如，z=0時(shí)sin%的可去奇點(diǎn)，這是因?yàn)榧?jí)數(shù)(0 :： Z :：)義函數(shù)F(z)f(z) lim f (z).z :b(k =0,1,2,川)，為了彌補(bǔ)此缺陷，我們定是解析的，這時(shí),7 d 4(-b)k!(k =0,1,2,| 所以沒

39、有負(fù)幕項(xiàng)，或者極限zm乎“是一有限數(shù)。嚴(yán)格地說，當(dāng)z=b是f(z)的可去奇點(diǎn)時(shí)，雖然ak = 0，但是，系數(shù)ak (k =0,1,2,|由(4.51 )式所確定的級(jí)數(shù)(4.50 )還不是泰勒 級(jí)數(shù)，這是因?yàn)閒(z)在z=b并不可導(dǎo)，因而(當(dāng) z = b)(當(dāng) z=b)代替f (z)，貝y易見F(z)在z=b是可導(dǎo)的，因而在圓域z-b：R,內(nèi)QO(zb <R)F(z)八 ak(z -b)kk=Q是泰勒級(jí)數(shù)，基于上述理由，可去奇點(diǎn)今后就不再作為奇點(diǎn)看待了。(2) 極點(diǎn)假設(shè)級(jí)數(shù)(3.50 )只有有限個(gè)負(fù)幕項(xiàng)，即QOf(z) = W ak(z-b)k (0乙一匕：尺)(4.53 )k =-m其中

40、m_1且a -0，那么稱z=b為f(z)的極點(diǎn)，而正整數(shù)m稱為極點(diǎn)的 由于li叫f(Z)R，由極限的性質(zhì)可知，只要b點(diǎn)的鄰域充分小，在這階數(shù)，特別m=1時(shí)的極點(diǎn)也稱為單極點(diǎn)此時(shí)，顯然lim f(z) = °°7反之,假設(shè) lim f(z)二：，讓我們考慮函數(shù)：(z)-1f(z)(4.54 )Z_777個(gè)鄰域內(nèi)就有f(z)=O，另一方面，lim(z)=O , z=b是的可去奇點(diǎn)，基于這兩方面的原因，(z)在z=b是解析的，因而可以展開為泰Q0勒級(jí)數(shù)。(z)八一 Ck(z-b)k(Cm=O)(4.55)km因?yàn)镚o：(b)=O，所以m_1。因此，上式又可改寫為：(z) =(z-

41、b)m (z)(4.56)其中-(z)在z=b是解析的且f = 0。這樣亡在z = b也是解析的，因而有泰勒級(jí)數(shù)1' (z)oO二' ak(z_b)kk =0(4.57)綜合(4.54)，( 4.56 )和(4.57 )式，得到COQOf (z)八 ak(z-b)kjm 八 am i(z-b)1 (m-1)k=0I -s其中最后一步作了求和指標(biāo)的代換l=km,由此可見z=b是f (z)的極 點(diǎn)。在確定z=b是f (z)的一個(gè)極點(diǎn)之后，不難確定這極點(diǎn)的階數(shù) m。事實(shí)上，以(z-b)n (n為自然數(shù))乘(4.53)式的兩端并取極限z > b， 有Izm(z-b)nf (z) =zma(z-b)n+ a(z-b)nE +lil°°(當(dāng)n<