1、精選優質文檔-傾情為你奉上 利用二次函數找規律 昆明第五中學 史安隨著新課標的實施,每年都有不少關于“圖形”“數字”的規律題出現,規律型試題因它具有的直觀性、可操作性更能考查學生的識圖、分析、歸納、想象、動手操作、自主探究等多種能力而備受青睞.這類題既是規律題,那便有規律可循,解題的思路是實施特殊向一般的簡化；具體方法和步驟是（1）通過對幾個特例的分析，尋找規律并且歸納；（2）猜想符合規律的一般性結論；（3）驗證或證明結論是否正確。而現在主要向大家介紹另一種解決找規律問題的方法，那就是用二次函數的思想來解決，下面通過幾個具體的例子說明這些問題.一、尋找圖形的增減規律例1：觀察圖中正六邊形網的變

2、化規律：（1）、完成下表正六邊形網的圈數12345小點總數（2）、如果用n表示六邊形網的圈數，m表示這個正多邊形中小點的總數，那么m和n的關系是什么？這道題如果用觀察、分析、歸納的辦法來找規律就顯得非常困難，因為在結果中n的次數是2次，下面我們就用二次函數來解，你會發現問題變得很容易下手，結論也易于得出。解：（1）、填表正六邊形網的圈數12345小點總數618366090（2）、在平面直角坐標系中描出點（1，6）、（2，18）、（3，36）、（4，60）、（5，90）、觀察圖中描出的點的整體分布，它們基本上是在一條拋物線附近，因此，正多邊形中小點的總數m和六邊形網的圈數n的關系可以用二次函數來

3、模擬，設m=an2+bn+c,在已知數據中，任取三組，如取（1，6）、（2，18）、（3，36）分別代入所設的函數關系式，得方程組，解這個方程組得，所以，m=3n2+3n.再將點（4，60）、（5，90）分別代入檢驗，均成立。因此，m和n的關系為m=3n2+3n。例2：（2004年瀘州）把正方體擺放成如圖的形狀，若從上至下依次為第1層，第2層，第3層，則第n層有個正方體. 解：觀察圖形中正方體的層數與正方體的個數之間存在這樣的關系：第一層，1個；第二層，3個；第三層，6個；可猜測第四層，10個；第五層，15個，由此我們可以得到一組點的坐標（1，1），（2，3），（3，6），（4，10），（5，

4、15），那么我們就可以設正方體的個數s與正方體的層數n之間的函數關系式為，再將任意3個點的坐標代入所設函數關系式，就能求出系數的值。若我們選擇的是前三個點的坐標，則有解這個方程組得，所以.再將點（4，10），（5，15）分別代入檢驗，均成立。因此第n層有個正方體。二、尋找數的排列規律 例3：有一組數1，5，9，13，第5個數是幾？第10個數呢？第n個數呢？解：觀察序號與數字的關系可以用一組點的坐標來代替（1，1），（2，5），（3，9），（4，13），由此可以設，n取1，2，3，將點（1，1），（2，5），（3，9）分別代入所設的函數關系式，得方程組，解得.所以再將其它點代入檢驗，均成立。因此

5、第5個數是17，第10個數是37，第n個數是.例4：(06荊州)用同樣大小的正方形按下列規律擺放，將重疊部分涂上顏色，下面的圖案中，第n個圖案中正方形的個數是_.n=1n=2n=3解：在這個問題中我們同樣能得到一組點的坐標（1，3），（2，7），（3，11）（4，26），同樣設正方體的個數s與圖形的序號n之間的函數關系式為，再將點的坐標（1，3），（2，7），（3，11）代入所設的函數關系式，可得方程組解得.由此再將其它點代入檢驗，均成立。所以第n個圖形中正方體的個數是個.由以上的例題，我們不難得到利用二次函數找規律的步驟，那就是先找出相關的點的坐標，然后設出二次函數關系式，再將點的坐標代入，

6、最后分別求出各個系數的值即可。但在例3例4中，我們最后求出的是一次函數的關系式，那會不會有什么問提呢？其實在實際的做題過程中，不必考慮它是哪種函數關系式，可以統一設為二次函數的關系式，若求出的，則為一次函數，否則就是二次函數。在初中階段的找規律的題目中，絕大多數均能用以上的辦法來解決，如果求出的是一次函數，那么這個問題就已經解決了，如果求出的是二次函數關系式，那就一定要把后面的點代入檢驗，不然就很容易出錯，比如下面的例子。例5：（06宜昌市）數字解密:第一個數是3=2+1.第二個數是5=3+2,第三個數是9=5+4,第四個數是17=9+8，觀察并猜想第六個數是_.解：我們先找出點的坐標（1，3），（2，5），（3，9），（4，17），然后設函數關系式為，再將點的坐標（1，3），（2，5），（3，9）代入得方程組：解得因此.但我們若把第四個點的坐標代入就會發現，而實際上這道題目中的第四個數是17，第五個數是33，第六個數是65.下面給出一種解法供參考，解決這樣的題目關鍵是要觀察數字的數量關系，找出其中蘊含的規律，并根據規律猜想出問題的答案，這樣的題目一般是體現由特殊到一般，再由一般驗證特殊的思想.觀察發現規律:右側兩數據的差為1;規律:左側數據與前一個數的右側第一個數據相同.由此猜想第五