1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流期望-方差公式.精品文檔.期望與方差的相關公式-、數學期望的來由早在17世紀，有一個賭徒向法國著名數學家帕斯卡挑戰，給他出了一道題目，題目是這樣的：甲乙兩個人賭博，他們兩人獲勝的機率相等，比賽規則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎勵。當比賽進行到第三局的時候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時由于某些原因中止了比賽，那么如何分配這100法郎才比較公平？用概率論的知識，不難得知，甲獲勝的概率為1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙獲勝的概率為(1/2)*(1/2)1/4。因此由此引出了甲的期望所得值為100*3/4=75法郎，

2、乙的期望所得值為25法郎。這個故事里出現了“期望”這個詞，數學期望由此而來。定義1 若離散型隨機變量可能取值為（=1，2，3 ，），其分布列為（=1，2，3， ），則當<時，則稱存在數學期望，并且數學期望為E=，如果=，則數學期望不存在。定義2 期望：若離散型隨機變量，當=xi的概率為P（=xi）=Pi（i=1，2，n，），則稱E=xi pi為的數學期望，反映了的平均值.期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.E由的分布列唯一確定.二、數學期望的性質（1）設C是常數，則E(C)=C 。（2）若k是常數，則E(kX)=kE(X)。（3）。三、 方差的定義前面我們介紹了隨機變量的數學

3、期望，它體現了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量一個重要的數字特征。但是在一些場合下，僅僅知道隨機變量取值的平均值是不夠的，還需要知道隨機變量取值在其平均值附近的離散程度，這就是方差的概念。定義3方差：稱D=（xiE）2pi為隨機變量的均方差，簡稱方差.叫標準差，反映了的離散程度. 定義4設隨機變量X的數學期望存在，若存在，則稱為隨機變量X的方差，記作，即。方差的算術平方根稱為隨機變量X的標準差，記作，即由于與X具有相同的度量單位，故在實際問題中經常使用。D表示對E的平均偏離程度，D越大表示平均偏離程度越大，說明的取值越分散.方差刻畫了隨機變量的取值對于其數學期望的離散程度，若X的取值相對于其

4、數學期望比較集中，則其方差較小；若X的取值相對于其數學期望比較分散，則方差較大。若方差=0，則隨機變量X 以概率1取常數值。由定義4知，方差是隨機變量X的函數的數學期望，故當X離散時, X的概率函數為；當X連續時，X的密度函數為。求證方差的一個簡單公式：公式1：證明一：證明二：可以用此公式計算常見分布的方差四、方差的性質（1）設C是常數,則D(C)=0。（2）若C是常數,則。（3）若與 獨立，則 公式2： 。證 由數學期望的性質及求方差的公式得可推廣為：若,，相互獨立，則（4） D(X)=0 P(X= C)=1， 這里C =E(X)。五、常見的期望和方差公式的推導過程（一）離散型隨機變量的期望

5、和方差的計算公式與運算性質列舉及證明1由概率的性質可知，任一離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質：（1）pi0，i1，2，；（2）p1p21。2離散型隨機變量期望和方差的性質：E (ab)aEb，D (ab)a2 D。（1） 公式3：E（a+b）=aE+b，證明：令 為常數 也為隨機變量所以 的分布列為說明隨機變量的線性函數的期望等于隨機變量期望的線性函數（2） 公式4：D（a+b）=a2D（a、b為常數）.證法一： 因為 所以有： 證畢證法二：D=.E(ab)aEb， D(a+b)=a2D（二）二項分布公式列舉及證明1二項分布定義：若隨機變量的分布列為：P (k)Cnk pk qn-k。（

6、k0，1，2，n，0p1，q1p，則稱服從二項分布，記作B (n，p)，其中n、 p為參數，并記Cnk pk qn-k=b(k；n，p)。2對二項分布來說，概率分布的兩個性質成立。即：（1）P (k)Cnk pk qn-k0，k0，1，2，n；（2）P (k)Cnk pk qn-k(pq) n1。二項分布是一種常見的離散型隨機變量的分布，它有著廣泛的應用。3服從二項分布的隨機變量的期望與方差公式：若B（n，p），則E=np，D=npq（q=1p）.（3） 公式5：求證：E=np方法一：在獨立重復實驗中，某結果發生的概率均為（不發生的概率為，有），那么在次實驗中該結果發生的次數的概率分布為服從二

7、項分布的隨機變量的期望.證明如下：預備公式 因為所以 所以 = 得證方法二： 證明：若 ，則X表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數，現在我們來求X的數學期望。若設 i=1,2，n則，因為 ，所以，則可見，服從參數為n和p的二項分布的隨機變量X的數學期望是np 。需要指出，不是所有的隨機變量都存在數學期望。公式6求證：服從二項分布的隨機變量的方差公式7：D=npq（q=1p）.方法一：證明： 由公式1知方法二： 設, 則X表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數。若設 i=1,2，n則是n次試驗中“成功”的次數，故由于相互獨立，于是= np(1- p)。（三） 幾何分布的期望與方差的公式列舉及證明1 定義5：幾何分布（Geometric distribution）是離散型概率分布。定義6：在第n次伯努利試驗，才得到第一次成功的機率。n次伯努利試驗，前n-1次皆失敗，第n次才成功的概率。若，則（1），（2）。求證：（1）幾何分布的期望 公式8：，若某射擊手擊中目標的概率為P，求證：從射擊開始到擊中目標所需次數的期望證明：依題意分布列為123 由，知下面用錯位相減法求上式括號內的值。記兩式相減，得由，知，則及（可用L