1、溫馨提示：高考題庫為Word版，請按住Ctrl，滑動鼠標滾軸，調節合適的觀看比例，點擊右上角的關閉按鈕可返回目錄。考點3 空間向量及其運算（9B）2010年高考題1. （2010·全國高考卷理科·11）與正方體的三條棱所在直線的距離相等的點( ).（A）有且只有1個 （B）有且只有2個（C）有且只有3個 （D）有無數個【解析】 選D，設正方體的棱長為，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，設點，由點分別作的垂線，垂足分別為，則，根據兩點間距離公式，得方程組，顯然時這個方程恒成立，即這個方程組有無窮多組解，故這樣的點有無窮多個.2. （2010·湖北高考文科·

2、18）如圖，在四面體中，且.（）設為的中點，在上且，證明：；（）求二面角的平面角的余弦值.【解析】（）在平面內過點作交于,連接。在等腰中，, 在,在中，。又,為的中點。在中，分別為的中點，。由，知：，又，由知：.（）連接.由知：.又平面,.由知：.是在平面內的射影。在等腰直角中，為的中點， 。由三垂線定理知：。因此為二面角的平面角。在等腰直角中，,。在中，。在中，. .解法二: ()取為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標系（如圖所示）則, 為的中點，.,又由已知可得,又,.故.即。 ()記平面的法向量為，則由且,得，故可取，又平面的法向量為，二面角的平面角是銳角，記為，則.3.

3、（2010·湖北高考理科·18）如圖, 在四面體中，, ,，且.() 設為的中點.證明：在上存在一點,使,并計算的值；() 求二面角的平面角的余弦值. 【解析】方法一:()在平面內過點作交于,連接。,.,.取為的中點，則.在等腰中，, 在,在中，,.()連接P.由知：.又平面,.由知：.是在平面內的射影。在等腰直角中，為的中點， 。由三垂線定理知：。因此為二面角的平面角。在等腰直角中，,。在中，。在中，. 。方法二: () ()取為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標系（如圖所示）則, 為的中點，.設,且（0，1），,=+=,即，因此存在點,使得.()記平面的

4、法向量為，則由且,得，故可取，又平面的法向量為，二面角的平面角是銳角，記為，則cos=.2009年高考題1.（2009江西高考）如圖，正四面體的頂點，分別在兩兩垂直的三條射線，上，則在下列命題中，錯誤的為 ( )A是正三棱錐B直線平面C直線與所成的角是D二面角為 . 【解析】選B.將原圖補為正方體不難得出B為錯誤，故選B.2.（2009安徽高考）在空間直角坐標系中，已知點A（1，0，2），B(1，-3，1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標是_?！窘馕觥吭O由可得故.yzxO答案:(0,-1，0) . 3.（2009北京高考）如圖，四棱錐的底面是正方形，點E在棱PB上.（）求證

5、：平面； （）當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.【解析】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設則，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）當且E為PB的中點時， 設ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.4.（2009全國）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面B1BCC1（）證明：AB=AC （）設二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小【解析】（）以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，

6、建立如圖所示的直角坐標系Axyz。設B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以AB=AC。（）設平面BCD的法向量則又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60°知，=60°，故 =°，求得 于是 ，°所以與平面所成的角為30°5.（2009江西高考）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點為球心、為直徑的球面交于點（1）

7、求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點到平面的距離【解析】方法一：（1）依題設，在以為直徑的球面上，則.因為平面，則，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設平面與交于點，因為，所以平面，則，由（1）知，平面，則MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因為O是BD的中點，則O點到平面ABM的距離等于D點到平面ABM距離的一半，由（1）知，平面于M，則|DM|就是D點到平面ABM距離.因為在RtPAD中，所以為中點，則O點到平面ABM的距離等于。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則， ，設平面的一個法向量，由

8、可得：，令，則，即.設所求角為，則，所求角的大小為. （3）設所求距離為，由，得：6.（2009廣東高考）zyxE1G1如圖6，已知正方體的棱長為2，點是正方形的中心，點、分別是棱的中點設點分別是點，在平面內的正投影（1）求以為頂點，以四邊形在平面內的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（2）證明：直線平面；（3）求異面直線所成角的正弦值.【解析】（1）依題作點、在平面內的正投影、，則、分別為、的中點，連結、，則所求為四棱錐的體積，其底面面積為 ，又面，.（2）以為坐標原點，、所在直線分別作軸，軸，軸，得、，又，則，即，又，平面.（3），則，設異面直線所成角為，則.7.（2009浙江高考）如圖，平面

9、平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點，（I）設是的中點，證明：平面；（II）證明：在內存在一點，使平面，并求點到，的距離【解析】（I）如圖，連結OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系O，. 則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，）得，又直線不在平面內，因此有平面（II）設點M的坐標為，則，因為平面BOE，所以有，因此有，即點M的坐標為，在平面直角坐標系中，的內部區域滿足不等式組，經檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組，所以在內存在一點，使平面，由點M的坐標得點到，的距離為. A A1 B B1 C1 D1 C D 8.(2009山東高

10、考) 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 【解析】（1）因為AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形, 因為ABCD為等腰梯形,所以BAO=ABC=60°,取AF的中點M,連接DM,則DMAB,所以DMCD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標系,則D（0,

11、0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,設平面CC1F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE/平面FCC. （2）,設平面BFC1的法向量為,則所以,取,則, 所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為. 2008年高考題1.（2008全國）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD【解析】選B.本題主要考查了利用回避法（即回避作角，利用直接法求點到平面的距離，求出直線與平面的夾角）同時還考查了三余弦公式。，再由（為點在底面

12、內的射影），.2.（2008江蘇高考）記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記當為鈍角時，求的取值范圍【解析】由題設可知，以、為單位正交基底，ADxyz建立如圖所示的空間直角坐標系，則有,BC由，得，所以顯然不是平角，所以為鈍角等價于 ，則等價于即 ，得因此，的取值范圍是.3.（2008海南、寧夏高考）如圖，已知點P在正方體的對角線上，（）求DP與所成角的大小；ABCDPxyzH（）求DP與平面所成角的大小【解析】如圖，以為原點，為單位長建立空間直角坐標系則，連結，在平面中，延長交于設，由已知，由,可得解得，所以（）因為，所以即與所成的角為（）平面的一個法向量是因為， 所以可得與平面所成的

13、角為4.（2008浙江高考）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（）求證：AE/平面DCF；（）當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為？【解析】如圖，以點為坐標原點，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系設，則，（）證明：，所以，從而，所以平面因為平面，所以平面平面故平面（）因為，所以，從而解得所以，設與平面垂直，則，解得又因為平面，所以，得到所以當為時，二面角的大小為5.（2008遼寧高考）如圖，在棱長為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF，截面PQGHABCDEFPQHG（）證明：平面

14、PQEF和平面PQGH互相垂直；（）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個值；（）若與平面PQEF所成的角為，求與平面PQGH所成角的正弦值【解析】以D為原點，射線DA，DC，DD分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系Dxyz由已知得，故ABCDEFPQHyxzG，（）在所建立的坐標系中，可得，因為，所以是平面PQEF的法向量因為，所以是平面PQGH的法向量因為，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直 （）因為，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形在所建立的坐標系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值（）由已知得與

15、成角，又可得 ，即，解得所以，又，所以與平面PQGH所成角的正弦值為2007年高考題ADBV1.（2007湖北高考）如圖，在三棱錐V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中點，C且AC=BC=a，VDC=。（）求證：平面VAB平面VCD ；（）當角變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍；【解析】方法一：（）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直ADBCVxyz角坐標系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面平面平面（）設直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，則由得可取，又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為方法二：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖

16、所示的空間直角坐標系，則設ADBCVxyz（），即，即又，平面又平面，平面平面（）設直線與平面所成的角為，設是平面的一個非零法向量，則取，得可取，又，于是，關于遞增，又即直線與平面所成角的取值范圍為2、（2007海南寧夏高考）如圖，在三棱錐中，側面與側面均為等邊三角形，為中點（）證明：平面；（）求二面角的余弦值【解析】（）由題設，連結，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）以為坐標原點，射線，分別為軸、軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系設，則的中點，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值為BCDAE3.（2007山東高考）如圖，在直四棱柱中，已知，（）設是的中點，求證：平面；（）求二