1、第2章 隨機(jī)過(guò)程與噪聲在通信系統(tǒng)中，信源發(fā)送的信號(hào)具有一定的不可預(yù)測(cè)性，或者說(shuō)隨機(jī)性。信號(hào)在傳輸過(guò)程中會(huì)不可避免地遇到各種噪聲和干擾，這些噪聲也是不可預(yù)測(cè)的或隨機(jī)變化的。電磁波的傳播受大氣層的變化、地面地形的影響，也使接收的信號(hào)隨機(jī)變化。因此，通信中的信號(hào)和噪聲都具有一定的隨機(jī)性，需要借助隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)方法來(lái)描述。本章介紹隨機(jī)過(guò)程的基本概念、數(shù)字特征及噪聲的表示方法，重點(diǎn)分析通信系統(tǒng)中幾種重要隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，以及隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)的情況，這些內(nèi)容對(duì)后面章節(jié)中分析通信系統(tǒng)的性能很有用。2.1隨機(jī)過(guò)程描述 隨機(jī)過(guò)程概念隨機(jī)過(guò)程是一類(lèi)隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過(guò)程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述。通信系統(tǒng)

2、中的信號(hào)和噪聲是具有隨機(jī)性的，通常稱(chēng)為隨機(jī)信號(hào)，它們均可看作隨時(shí)間參數(shù)t變化的隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程是時(shí)間t 的實(shí)函數(shù)，但是在某一時(shí)刻上觀察到的值卻是一個(gè)隨機(jī)變量。也就是說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程可以看成是對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過(guò)程的集合。例如：設(shè)有n部性能完全相同的通信機(jī)，它們的工作條件相同，如果用n臺(tái)相同的記錄儀同時(shí)記錄通信機(jī)輸出熱噪聲電壓波形，結(jié)果將發(fā)現(xiàn)，盡管測(cè)試設(shè)備和測(cè)試條件都相同，但是紀(jì)錄的是n條隨時(shí)間起伏且各不相同的波形，如圖2-1所示。這就是說(shuō)，接收機(jī)輸出的噪聲電壓隨時(shí)間變化是不可預(yù)測(cè)的。測(cè)試結(jié)果的每一個(gè)記錄，即圖2-1中的一個(gè)波形，都是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)xi(t),它稱(chēng)之為樣本函數(shù)或隨機(jī)過(guò)程

3、的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。全部樣本函數(shù)構(gòu)成的總體x1(t),x2(t),xn(t)就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，記作。簡(jiǎn)言之，隨機(jī)過(guò)程是所有樣本函數(shù)的集合。顯然，把對(duì)接收機(jī)輸出噪聲波形的觀察可看作是進(jìn)行一次隨機(jī)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)之后，取圖2-1所示的所有可能樣本中的某一樣本函數(shù)，至于是哪一個(gè)樣本，在進(jìn)行觀測(cè)之前是無(wú)法預(yù)測(cè)的，這正是隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)性的表現(xiàn)。隨機(jī)過(guò)程的這種不可預(yù)測(cè)性或隨機(jī)性還可以從另一個(gè)角度來(lái)理解，在任一觀測(cè)時(shí)刻t1上，不同樣本的取值是一個(gè)隨機(jī)變量，記作。換句話(huà)說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，又可以把隨機(jī)過(guò)程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。 隨機(jī)過(guò)程具有兩個(gè)屬性： (1) 是時(shí)間的

4、函數(shù)。 (2) 給定任一時(shí)刻，是不含t 的隨機(jī)變量。隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性是通過(guò)它的概率分布和數(shù)字特征來(lái)表述的。設(shè)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其在任意給定時(shí)刻t1,的取值用表示，隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來(lái)描述。把隨機(jī)變量小于或等于某一數(shù)值的概率記作，即 （2.1-1）則稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)。如果對(duì)x1的偏導(dǎo)數(shù)存在，有 （2.1-2）則稱(chēng)為的一維概率密度。顯然，隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)和一維概率密度僅僅描述了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性，沒(méi)有反映隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)時(shí)刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，還需在足夠多的時(shí)刻上考慮隨機(jī)過(guò)程的多維分布函數(shù)。對(duì)于任意給定的兩個(gè)時(shí)刻t1,t2,把

5、 和同時(shí)成立的概率 （2.1-3）稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的二維分布函數(shù)，如果 （2.1-4）存在，則稱(chēng)為的二維概率密度函數(shù)。 同理，任意給定，則的n維分布函數(shù)被定義為 （2.1-5）如果存在 （2.1-6）則稱(chēng)為的n維概率密度函數(shù)。顯然，n越大，對(duì)隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性的描述越充分，但問(wèn)題的復(fù)雜度也隨之增加。隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征上述隨機(jī)過(guò)程的概率分布函數(shù)和密度函數(shù)雖然能較完整的描述其統(tǒng)計(jì)特性，但在實(shí)際工作中，用數(shù)字特征來(lái)描述更為簡(jiǎn)單和直觀。隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征是由隨機(jī)變量的數(shù)字特征推廣得到的，其中最常用的是均值、方差和相關(guān)函數(shù)。1、均值（數(shù)學(xué)期望）隨機(jī)過(guò)程在任意給定時(shí)刻t1的取值是一個(gè)隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)

6、為，則的均值定義為 （2.1-7）因?yàn)閠1是任取的，所以可以把t1直接寫(xiě)為t，x1也改為x ,這時(shí)上式就變?yōu)殡S機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻的均值（也稱(chēng)數(shù)學(xué)期望），記為a(t) （2.1-8） 顯然，隨機(jī)過(guò)程的均值a(t)是時(shí)間t的函數(shù)，它表示隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心。2、方差 隨機(jī)過(guò)程的方差定義為 (2.1-9)可見(jiàn)，方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差，它表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻t相對(duì)于均值a(t)的偏離程度。3、協(xié)方差和相關(guān)函數(shù)衡量隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時(shí)，常用協(xié)方差函數(shù)B(t 1, t 2)和相關(guān)函數(shù)R（t1, t 2）來(lái)表示。協(xié)方差函數(shù)定義為 (2.1-10)式中，

7、t 1與t 2是任取的兩個(gè)時(shí)刻，a(t1)與a(t2)是t1,t2時(shí)刻的均值，為二維概率密度函數(shù)。相關(guān)函數(shù)定義為： (2.1-11)式中，和分別是在t1,t2時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量。可以看出，R（t1，t2）是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。R(t1，t2)與B(t1，t2)之間的關(guān)系為 （2.1-12）若則B(t1，t2)=R(t1，t2)。由于B(t1，t2)和R(t1，t2) 是衡量同一過(guò)程相關(guān)程度的，因此，它們又分別稱(chēng)為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)，本書(shū)中只采用R(t1，t2)。如果把相關(guān)函數(shù)的概念引申到兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)過(guò)程，也可以定義互相關(guān)函數(shù)。設(shè)和分別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則互相關(guān)函數(shù)為 （2

8、.1-13）若>,并令，則相關(guān)函數(shù)R(t1，t2)可以表示為。這說(shuō)明，相關(guān)函數(shù)依賴(lài)于起始時(shí)刻及與之間的時(shí)間間隔，即相關(guān)函數(shù)是和的函數(shù)。2.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是一種特殊類(lèi)型的隨機(jī)過(guò)程，在通信領(lǐng)域中應(yīng)用很廣泛。2.2.1 嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程與廣義平穩(wěn)過(guò)程 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的全稱(chēng)是隨機(jī)過(guò)程在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)過(guò)程，是指它的任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，隨機(jī)過(guò)程的n維概率密度函數(shù)滿(mǎn)足 （2.2-1）該定義表明，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變。由此推論出，它的一維分布函數(shù)與時(shí)間t 無(wú)關(guān)，即 （2.2-2）而它的二維分布函數(shù)只與時(shí)間

9、間隔有關(guān)，即 （2.2-3）顯然，隨著概率密度函數(shù)的簡(jiǎn)化，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一些數(shù)字特征也可以相應(yīng)地簡(jiǎn)化，其均值為 （2.2-4）為一常數(shù)，它表示平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各樣本函數(shù)圍繞著一水平線起伏。自相關(guān)函數(shù)為 （2.2-5）可見(jiàn)，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程具有顯明的數(shù)字特征：均值與t無(wú)關(guān)，為常數(shù)a；自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，即。實(shí)際中常用這兩個(gè)條件來(lái)直接判斷隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性，把同時(shí)滿(mǎn)足和的隨機(jī)過(guò)程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)均可視為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，將廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程簡(jiǎn)稱(chēng)為平穩(wěn)過(guò)程。本書(shū)此后的討論都假定是平穩(wěn)過(guò)程。2.2.2平穩(wěn)過(guò)程

10、的各態(tài)歷經(jīng)性 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在滿(mǎn)足一定條件下有一個(gè)非常有用的特性，稱(chēng)為“各態(tài)歷經(jīng)性”。是指隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（統(tǒng)計(jì)平均）可由隨機(jī)過(guò)程中任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)學(xué)特征（時(shí)間平均）來(lái)代替。大量實(shí)際觀測(cè)和理論分析表明，許多平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程都具有這樣的特性。 假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為               （2.2-6）如果平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程使下式成立 （2.2-7）即平穩(wěn)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均值等于它的任意一次實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值，則稱(chēng)該

11、平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性?！案鲬B(tài)歷經(jīng)性”的含義是：隨機(jī)過(guò)程的任一實(shí)現(xiàn)都好象經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)。因此，無(wú)需獲得大量用來(lái)計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需作一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替過(guò)程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，這使實(shí)際測(cè)量和計(jì)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化。注意，具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，但平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)及噪聲，一般均可滿(mǎn)足各態(tài)歷經(jīng)條件。2.2.3平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度在平穩(wěn)過(guò)程中，均值、方差、自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)這四個(gè)數(shù)字特征中，自相關(guān)函數(shù)最為重要。其一，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性可通過(guò)自相關(guān)函數(shù)來(lái)描述；其二，自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)

12、隨機(jī)過(guò)程的譜特性有著內(nèi)在的聯(lián)系。1、自相關(guān)函數(shù)設(shè)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則自相關(guān)函數(shù) （2.2-8）具有以下主要性質(zhì)： (2.2-9)即的自相關(guān)函數(shù)等于信號(hào)的平均功率。 （2.2-10）即是關(guān)于的偶函數(shù)。這一性質(zhì)可直接由定義式（2.2-8）證。 （2.2-11）即自相關(guān)函數(shù)在有最大值?？紤]一個(gè)非負(fù)式可以證明此關(guān)系。 （2.2-12）即等于的直流功率，證明如下。 上式利用了當(dāng)時(shí)，與不存在依賴(lài)關(guān)系，即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且中不含周期分量。 （2.2-13）即左端表達(dá)式代表的是的交流功率，證明如下。 當(dāng)均值為0時(shí)，有。 由上述性質(zhì)可知，用自相關(guān)函數(shù)幾乎可表述所有的數(shù)字特征，因而具有實(shí)用意義。2、功率譜密度隨機(jī)過(guò)程的

13、頻譜特性是用它的功率譜密度來(lái)表述的。由于隨機(jī)過(guò)程的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)是一個(gè)確定的功率信號(hào)，設(shè)為，它的功率譜密度定義為 （2.2-14）式中，是的截短函數(shù)所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)，見(jiàn)圖2-2。可以把看成是平穩(wěn)過(guò)程的任一樣本，因而每個(gè)樣本的功率譜密度也可以用式（2.2-14）來(lái)表示。一般而言，不同樣本函數(shù)具有不同的譜密度，因此，某一樣本的功率譜密度不能作為隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度，而應(yīng)看作是對(duì)所有樣本功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即 （2.2-15）上式給出了平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度定義，盡管該定義非常直觀，但卻很難直接用它來(lái)計(jì)算功率譜。由確知信號(hào)理論可知，非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換的關(guān)系

14、。這種關(guān)系對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程同樣成立，也就是說(shuō)，平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)也是一對(duì)傅里葉變換關(guān)系，即 （2.2-16）簡(jiǎn)記為 關(guān)系式（2.2-16）稱(chēng)為維納-辛欽關(guān)系，它在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，可以得到以下結(jié)論：（1）對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可以得到平穩(wěn)過(guò)程的總功率 （2.2-17）這正是維納-辛欽關(guān)系的意義所在，它不僅指出了用自相關(guān)函數(shù)來(lái)表示功率譜密度的方法，同時(shí)還從頻域的角度給出了平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平均功率的計(jì)算法，而式是時(shí)域計(jì)算法。這一點(diǎn)進(jìn)一步驗(yàn)證了與功率譜密度的關(guān)系。（2）功率譜密度具有非負(fù)性和

15、實(shí)偶性，即有 （2.2-18）和 （2.2-19）【例2-1】 某隨機(jī)相位余弦波，其中A和均為常數(shù)；是在內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。（1）求的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度；（2）討論是否具有各態(tài)歷經(jīng)性?！窘狻浚?）先觀測(cè)是否廣義平穩(wěn)的數(shù)學(xué)期望為的自相關(guān)函數(shù)為令 ，得 可見(jiàn)，的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，故為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系，即，由于 所以，功率譜密度為 而平均功率為 （2）再來(lái)求的時(shí)間平均。根據(jù)式（2.2-6）可得 比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，可得，因此，隨機(jī)相位余弦波具有各態(tài)歷經(jīng)性。2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)通信過(guò)程主要是信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)傳輸?shù)?/p>

16、過(guò)程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)或噪聲一般都是隨機(jī)的，這些隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)后，輸出將是什么樣的過(guò)程？隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的分析基礎(chǔ)之上的。這里只考慮平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的情況。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸出響應(yīng)等于輸入信號(hào)與系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)的卷積，即 （2.3-1）或 （2.3-2）對(duì)應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系為 （2.3-3）如果把看作是輸入隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本,則可看作是輸出隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本。顯然,輸入隨機(jī)過(guò)程為的每個(gè)樣本與輸出過(guò)程的相應(yīng)樣本之間都滿(mǎn)足式（2.3-2）的關(guān)系。因此，輸入與輸出隨機(jī)過(guò)程也應(yīng)滿(mǎn)足式（2.3-2）,即有 (2.3-4)現(xiàn)假定輸入過(guò)

17、程是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，可根據(jù)上述關(guān)系求系統(tǒng)輸出過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。1、輸出過(guò)程的均值對(duì)式(2.3-4)兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，則輸出過(guò)程的均值為 輸入過(guò)程是平穩(wěn)的，則有常數(shù)），所以 （2.3-5）可見(jiàn)，輸出過(guò)程的均值等于輸入過(guò)程的均值與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且與t無(wú)關(guān)。2、輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義，輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為 根據(jù)輸入過(guò)程的平穩(wěn)性，有 于是 (2.3-6)可見(jiàn)，的自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。式（2.3-5）和式（2.3-6）表明，若線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是平穩(wěn)的，那么輸出過(guò)程也是平穩(wěn)的。3、輸出過(guò)程的功率譜密度 對(duì)式(2.3-6)進(jìn)行傅里葉變換，輸出過(guò)程的功率譜密

18、度為 令，則有 即 (2.3-7)可見(jiàn)，線性系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度與系統(tǒng)功率傳遞函數(shù)的乘積。這是一個(gè)很重要的公式，若想得到輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，比較簡(jiǎn)單的方法是先計(jì)算出功率譜密度，然后求其反變換，這比直接計(jì)算要簡(jiǎn)便得多。2.4 高斯過(guò)程 高斯過(guò)程也稱(chēng)為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，在實(shí)踐中觀測(cè)到的大多數(shù)噪聲都屬于高斯過(guò)程，在信道的建模中經(jīng)常用到高斯模型。高斯過(guò)程定義若隨機(jī)過(guò)程的任意n 維（n=1,2,）分布都服從正態(tài)分布，則稱(chēng)它為高斯隨機(jī)過(guò)程或正態(tài)過(guò)程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下： (2.4-1)式中，為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式 為行列式中元素的代數(shù)余因子；為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且 (2.4-2

19、) 高斯過(guò)程主要特性(1)高斯過(guò)程的n維分布只依賴(lài)各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對(duì)于高斯過(guò)程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。(2)廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)槿舾咚惯^(guò)程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值與時(shí)間無(wú)關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，因此它的n維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。(3)如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對(duì)所有，有，這時(shí)式(2.4-1)變?yōu)?(2.4-3)這表明，如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。(4)高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后的過(guò)程仍然是高斯過(guò)程。 高斯過(guò)程一維分布 高斯過(guò)程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變

20、量，也稱(chēng)高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)表示為 (2.4-4)式中，a為高斯隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，為方差。f(x)曲線如圖2-3所示。 f(x)具有以下特性： (1)對(duì)稱(chēng)于這條直線，在處為最大，等于。(2) (2.4-5)及 （2.4-6）(3)。f(x)圖形將隨著的減小而變高和變窄。當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布，即有 (2.4-7)當(dāng)要求計(jì)算高斯隨機(jī)變量小于或等于任意取值x 的概率時(shí)，可由下式得到 (2.4-8)這個(gè)積分無(wú)法用閉合形式計(jì)算，但可以通過(guò)查表得到數(shù)值解。(2.4-8)常用以下幾種特殊函數(shù)來(lái)表示：(1)誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)誤差函數(shù)定義為 (2.4-9)它是自變量的遞增函數(shù)，且有稱(chēng)為互

21、補(bǔ)誤差函數(shù)，記為erfc(x)，即 （2.4-10）互補(bǔ)誤差函數(shù)是自變量的遞減函數(shù)，且有當(dāng)時(shí)，近似有 （2.4-11）實(shí)際應(yīng)用中只要x2就可滿(mǎn)足要求。(2)概率積分函數(shù)和Q(x)函數(shù)概率積分函數(shù)定義為 （2.4-12）這是又一個(gè)在數(shù)學(xué)手冊(cè)上有數(shù)值和曲線可查的特殊函數(shù)，且有。Q(x)函數(shù)是一種經(jīng)常用于表示高斯尾部曲線下的面積的函數(shù)，其定義為 （2.4-13）借助該函數(shù)可以計(jì)算概率。 比較式（2.4-10）和式（2.4-13），可得 （2.4-14） （2.4-15） （2.4-16）現(xiàn)在利用以上特殊函數(shù)與式（2.4-8）進(jìn)行聯(lián)系，以表示正態(tài)分布函數(shù)F(x）。若對(duì)式（2.4-8）進(jìn)行變量代換，令新

22、積分變量，并與式（2.4-12）聯(lián)系，則有 （2.4-17）若對(duì)式（2.4-8）進(jìn)行變量代換，令新積分變量并利用式（2.4-6），則還可得到 （2.4-18）在分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能時(shí)常用誤差函數(shù)或互補(bǔ)誤差函數(shù)表示F(x)。 高斯白噪聲1、白噪聲在通信系統(tǒng)中，常會(huì)遇到這樣一類(lèi)噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，即 (2.4-19)或 (2.4-20)這類(lèi)噪聲被稱(chēng)為白噪聲，用n(t)表示。式中為一常數(shù)，單位是W/HZ。式(2.4-19)表示雙邊功率譜密度，如圖2-4（a）所示，而式(2.4-20)為單邊功率譜密度。將式(2.4-19)取傅里葉反變換，可得到白噪聲的自相關(guān)函數(shù)，即 (2

23、.4-21)如圖2-4（b）所示，這表明，白噪聲僅在才相關(guān)，而在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。如果白噪聲是高斯分布的，就稱(chēng)之為高斯白噪聲。由式(2.4-21)和高斯過(guò)程的性質(zhì)可知，高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。應(yīng)當(dāng)指出，真正“白”的噪聲是不存在的，它只是構(gòu)造的一種理想化的噪聲形式，目的是為了使問(wèn)題的分析大大簡(jiǎn)化。在實(shí)際中，只要噪聲的功率譜是均勻分布的，頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，就可以把它視為白噪聲。例如，在第3章中將要討論的熱噪聲和散粒噪聲均是近似白噪聲的例子。2、低通白噪聲 如果白噪聲通過(guò)理想矩形的低通濾波器或理想低通信道

24、，則輸出的噪聲稱(chēng)為低通白噪聲。假設(shè)白噪聲的雙邊功率譜密度為，理想低通濾波器的傳輸特性為 則可得輸出的功率譜密度為 (2.4-22)其自相關(guān)函數(shù)為 (2.4-23) 對(duì)應(yīng)的曲線如圖2-5所示。式中，。由圖2-5（a）可見(jiàn)，輸出噪聲的功率譜密度被限制在內(nèi)，在此范圍外則為零，通常把這樣的噪聲也稱(chēng)為帶限白噪聲。由圖2-5（b）可見(jiàn)，這種帶限白噪聲僅在上得到的隨機(jī)變量才互不相關(guān)。也就是說(shuō)，如果對(duì)帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話(huà)，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量，這個(gè)概念很重要。3、帶通白噪聲如果白噪聲通過(guò)理想矩形的帶通濾波器或理想帶通信道，則輸出的噪聲稱(chēng)為帶通白噪聲。設(shè)理想帶通濾波器的傳輸特性為 (2.4-2

25、4)式中，為中心頻率，B為帶通寬度。則其輸出的噪聲的功率譜密度為 (2.4-25)利用，則得輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)為 (2.4-26)其平均功率為 （2.4-27）理想帶通白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線如圖2-6所示。圖2-6 理想帶通白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)通常，帶通濾波器的，因此也稱(chēng)窄帶濾波器，相應(yīng)的把帶通白噪聲稱(chēng)為窄帶高斯白噪聲。因此，它的表達(dá)式和統(tǒng)計(jì)特性與一般窄帶隨機(jī)過(guò)程相同。2.5 窄帶高斯噪聲所謂窄帶隨機(jī)過(guò)程，是指它的頻譜密度集中在中心頻率附近相對(duì)窄的頻帶范圍內(nèi)，即滿(mǎn)足條件，且遠(yuǎn)離零頻率。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶帶通型的，通過(guò)窄帶系統(tǒng)的信號(hào)或噪聲必然是窄帶隨機(jī)過(guò)程。如果用

26、示波器觀測(cè)某一次實(shí)現(xiàn)的波形，則它是一個(gè)頻率近似為，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩慢變化的正弦波，如圖2-7所示。 因此，窄帶隨機(jī)過(guò)程可用下式表示 （2.5-1）式中，分別為的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位，也是隨機(jī)過(guò)程。上式利用三角函數(shù)和角公式，可寫(xiě)成 （2.5-2）式中 （2.5-3） （2.5-4）分別稱(chēng)為的同相分量和正交分量，也是隨機(jī)過(guò)程。顯然，它們的變化相對(duì)于載波的變化要緩慢得多。 由式（2.5-1）（2.5-4）可看出，的統(tǒng)計(jì)特性可由或的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，如果已知窄帶過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，可確定以及的統(tǒng)計(jì)特性。如果的概率密度函數(shù)為高斯分布，則稱(chēng)為窄帶高斯過(guò)程或窄帶高斯噪聲。窄帶高斯噪聲統(tǒng)計(jì)特性設(shè)窄帶隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)

27、高斯窄帶過(guò)程，且均值為零，方差為。現(xiàn)在分析，或，的統(tǒng)計(jì)特性。1、和的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)式（2.5-2）求數(shù)學(xué)期望，有 （2.5-5）因?yàn)槠椒€(wěn)且均值為零，那么對(duì)于任意的時(shí)間t都有，所以由式（2.5-5）可得 （2.5-6）的自相關(guān)函數(shù) （2.5-7）其中 因?yàn)槭瞧椒€(wěn)的，故有 這就要求式（2.5-7）的右邊也應(yīng)該與t無(wú)關(guān)，而僅與時(shí)間間隔有關(guān)。因此，若令t=0,則式（2.5-7）仍應(yīng)成立，即有 （2.5-8）這時(shí)，應(yīng)有 故式（2.5-8）變?yōu)?（2.5-9）再令，同理可得 （2.5-10）其中有 由以上數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知，如果窄帶高斯過(guò)程是平穩(wěn)的，則它的與也是平穩(wěn)的。進(jìn)一步分析，式（2.5-9）和

28、（2.5-10）應(yīng)同時(shí)成立，故有 （2.5-11） （2.5-12）可見(jiàn)，同相分量和正交分量具有相同的自相關(guān)函數(shù)，而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有 將上式代入（2.5-12），可得 （2.5-13）同理可得 （2.5-14）式（2.5-13）和式（2.5-14）說(shuō)明，和的互相關(guān)函數(shù)的奇函數(shù)，在時(shí)，有 （2.5-15）于是，由式（2.5-9）及（2.5-10）可得 （2.5-16）即 （2.5-17）這表明，和具有相同的平均功率和方差（因?yàn)榫禐?）。另外，根據(jù)是平穩(wěn)高斯型的，故在任意時(shí)刻的取值都是服從高斯分布的隨機(jī)變量，則由式（2.5-2）可得 取時(shí)， 取時(shí)， 所以，是高斯隨機(jī)變量，從而和也是高

29、斯隨機(jī)過(guò)程。又根據(jù)式（2.5-15）可知，與在互不相關(guān)，因此它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。綜上所述，可以得到一個(gè)重要結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程，它的同相分量和正交分量也是平穩(wěn)高斯過(guò)程，而且均值都為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻得到的是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。2、 的統(tǒng)計(jì)特性以上分析可知，的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 （2.5-18）設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則根據(jù)概率論知識(shí)，有 （2.5-19）根據(jù)式（2.5-3）和式（2.5-4）隨機(jī)變量之間的關(guān)系 可得 于是 （2.5-20）注意，這里內(nèi)取值。再利用概率論中邊際分布知識(shí)，將積分可求得包絡(luò)的一維概率密度函數(shù)為 ， （2.5-21）可見(jiàn)，服從瑞利分布。

30、 同理，將積分可求得相位的一維概率密度函數(shù)為 （2.5-22）可見(jiàn)，隨機(jī)相位服從均勻分布。綜上所述，得到又一個(gè)重要結(jié)論：一個(gè)均值為零，方差為的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程，其包絡(luò)的一維分布是瑞利分布，相位的一維分布是均勻分布。并且就一維分布而言，是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即有下式成立 （2.5-23） 正弦波加窄帶高斯噪聲在通信系統(tǒng)中，傳輸?shù)男盘?hào)是用一個(gè)正弦波作為載波的已調(diào)信號(hào)，信號(hào)經(jīng)過(guò)信道傳輸時(shí)總會(huì)受到加性噪聲的影響。為了減小噪聲的影響，通常在接收機(jī)前端加一個(gè)帶通濾波器，以濾除信號(hào)頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是正弦波已調(diào)信號(hào)與窄帶高斯噪聲的混合波形，這是通信系統(tǒng)中常會(huì)遇到的一種情形。所以有必要了解合成信號(hào)

31、的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性。設(shè)正弦波加窄帶高斯噪聲的混合信號(hào)為 （2.5-24）式中，為窄帶高斯噪聲，其均值為零，方差為；正弦信號(hào)的A，均為常數(shù)，上均勻分布的隨機(jī)變量。于是有 （2.5-25）式中： （2.5-26） （2.5-27）合成信號(hào) r(t)的包絡(luò)和相位為 （2.5-28） （2.5-29）由上面討論可知，如果值已給定，則是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有 所以，在給定相位的條件下的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 利用與以上分析相似的方法，根據(jù)式（2.5-26）、式（2.5-27）可以求得在給定相位的條件下的z和的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 求條件邊際分布，有 由于 （2.5-30）故有 式中，為零階修正貝塞爾

32、函數(shù)。當(dāng)是單調(diào)上升函數(shù)，且有。故有 由上式可知，無(wú)關(guān)，故合成信號(hào)r(t)的包絡(luò)z 的概率密度函數(shù)為： （2.5-31）該概率密度函數(shù)稱(chēng)為廣義瑞利分布，也稱(chēng)萊斯（Rice）分布。式（2.5-31）存在兩種極限情況：（1）當(dāng)信號(hào)很小時(shí)，A，即信號(hào)功率與噪聲功率之比時(shí)，相對(duì)于x 值很小，于是有，這時(shí)合成波r(t)中只存在窄帶高斯噪聲，式（2.5-31）近似為式（2.5-21），即由萊斯分布退化為瑞利分布。（2）當(dāng)信噪比很大時(shí)，有，這時(shí)在附近，f(z)近似于高斯分布，即 由此可見(jiàn)，信號(hào)加噪聲的合成包絡(luò)的分布與信噪比有關(guān)。小信噪比時(shí)，它接近瑞利分布；大信噪比時(shí)，它接近于高斯分布；在一般情況下才是萊斯分布

33、。圖2-8（a）給出不同的r值時(shí)f(z)的曲線。 關(guān)于信號(hào)加噪聲的合成波相位分布，由于比較復(fù)雜，這里就不再推導(dǎo)了。不難想象，也與信噪比有關(guān)。小信噪比時(shí)，接近均勻分布，它反映這時(shí)窄帶高斯噪聲為主的情況；大信噪比時(shí)，主要集中在有用信號(hào)相位附近。圖2-8（b）給出不同的值時(shí)的曲線。2.6 matlab仿真舉例高斯噪聲對(duì)調(diào)幅信號(hào)的影響。設(shè)調(diào)制信號(hào)是一個(gè)幅度為2v,頻率為1000Hz的余弦波，調(diào)制度為0.5，載波信號(hào)是一個(gè)幅度為5v，頻率為10kHz的余弦波，所有余弦波的初相位為0.若信道中沒(méi)有噪聲干擾，則接收機(jī)的天線接收到的調(diào)幅波形如圖2-9（a）所示.若信道中存在加性噪聲n(t)，則接收機(jī)所收到的調(diào)

34、幅信號(hào)r(t)=y(t)+n(t)是疊加噪聲的調(diào)幅信號(hào)，如圖2-9（b）所示。n(t)是利用randn命令產(chǎn)生的高斯噪聲。實(shí)現(xiàn)調(diào)幅信號(hào)的程序源代碼如下：dt=1e-6; %仿真采樣間隔T=3*1e-3; %仿真終止時(shí)間t=0:dt:T;input=2*cos(2*pi*1000*t); %輸入調(diào)制信號(hào)carrier=5*cos(2*pi*1e4*t); %載波output=(2+0.5*input).*carrier; %調(diào)制輸出subplot(2,1,1);plot(t,output);xlabel('t/s');ylabel('調(diào)幅輸出');%作圖調(diào)幅輸出波

35、形noise=randn(size(t); %噪聲r(shí)=output+noise; %調(diào)制信號(hào)加性噪聲信道%作圖輸出調(diào)幅信號(hào)subplot(2,1,2);plot(t,r);xlabel('t/s');ylabel('調(diào)幅輸出'); 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和噪聲信號(hào)X(t),在頻域范圍內(nèi)可用功率譜來(lái)表征，而是隨機(jī)過(guò)程或噪聲的自相關(guān)函數(shù)傅氏變換。利用Matlab提供的專(zhuān)用高斯噪聲函數(shù)wgn( )，可以方便的對(duì)高斯噪聲信號(hào)進(jìn)行相關(guān)操作和功率譜分析。程序源代碼如下：N=1024;noise=wgn(1,N,10); %產(chǎn)生高斯噪聲1noise1=wgn(1,N,10); %產(chǎn)

36、生高斯噪聲2 psd=spectrum(noise,N); %噪聲功率譜密度y1=xcorr(noise,noise1); %兩個(gè)噪聲的互相關(guān)y=xcorr(noise,noise); %一個(gè)噪聲的自相關(guān)subplot(2,2,1);plot(1:N,noise); %繪圖輸出如圖2-10所示title('The Noise Signal');xlabel('Time');grid;subplot(2,2,2);specplot(psd,1);grid;subplot(2,2,3);plot(y);grid;title('The self-correla

37、tion of one noise');subplot(2,2,4);plot(y1);grid;title('The across-correlation of two noise'); 2.7 本章小結(jié)通信中的信號(hào)和噪聲都可看作是隨時(shí)間變化的隨機(jī)過(guò)程。因此，本章是分析通信系統(tǒng)必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和工具。隨機(jī)過(guò)程具有隨機(jī)變量和時(shí)間的特點(diǎn)，可以從兩個(gè)既不相同又緊密聯(lián)系的角度來(lái)描述：隨機(jī)過(guò)程是無(wú)窮多個(gè)樣本函數(shù)的集合；隨機(jī)過(guò)程是一簇隨機(jī)變量的集合。隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性由分布函數(shù)或概率密度函數(shù)描述。若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則稱(chēng)其為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。數(shù)字特征是另一種描述隨機(jī)過(guò)

38、程的簡(jiǎn)便手段。若過(guò)程的均值是常數(shù)，且自相關(guān)函數(shù)，則稱(chēng)該過(guò)程為廣義平穩(wěn)過(guò)程。若一個(gè)過(guò)程是嚴(yán)平穩(wěn)的，則它必是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。若一個(gè)過(guò)程的時(shí)間平均等于對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均，則該過(guò)程是各態(tài)歷經(jīng)性的。廣義平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間的偶函數(shù)，且等于總平均功率。功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)是傅里葉變換及反變換關(guān)系，即。高斯過(guò)程的概率分布服從正態(tài)分布，它的統(tǒng)計(jì)特性可用數(shù)字特征來(lái)描述。一維概率分布只取決于均值和方差，二維概率分布主要取決于相關(guān)函數(shù)。高斯隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)后，輸出的仍為高斯過(guò)程。正態(tài)分布函數(shù)與Q(x)或erfc(x)函數(shù)的關(guān)系在分析數(shù)字通信系統(tǒng)的抗噪聲性能時(shí)很有用。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)后，其

39、輸出過(guò)程也是平穩(wěn)的。高斯白噪聲是分析信道加性噪聲的理想模型，它在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間互不相關(guān)，且統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。白噪聲通過(guò)帶限系統(tǒng)后，其輸出的是帶限噪聲。分析中常見(jiàn)的有低通白噪聲和帶通白噪聲。瑞利分布、萊斯分布、正態(tài)分布是通信中常見(jiàn)的三種分布。正弦載波信號(hào)加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)一般為萊斯分布。當(dāng)信號(hào)幅度大時(shí)，趨近于正態(tài)分布；幅度小時(shí)，近似于瑞利分布。 思 考 題2-1 何謂隨機(jī)過(guò)程？它具有什么特點(diǎn)？2-2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征主要有哪些？分別表征隨機(jī)過(guò)程的什么特性？2-3 何謂平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程？廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程有何區(qū)別？2-4 何謂統(tǒng)計(jì)平均？何謂時(shí)間平均？?jī)烧哂泻螀^(qū)別？2-5 平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)有哪些性質(zhì)？說(shuō)明維納-欣欽定理的含義和用途。2-6 什么是高斯過(guò)程？其主要性質(zhì)有哪些？2-7 試說(shuō)明隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)時(shí)的特性。2-8