1、第五章 線性系統的頻域分析與校正習題與解答 5-1 試求題5-75圖(a)、(b)網絡的頻率特性。 (a) (b)圖5-75 R-C網絡 解 （a)依圖： (b)依圖： 5-2 某系統結構圖如題5-76圖所示，試根據頻率特性的物理意義，求下列輸入信號作用時，系統的穩態輸出和穩態誤差 （1） （2） 解 系統閉環傳遞函數為: 圖5-76 系統結構圖頻率特性: 幅頻特性: 相頻特性: 系統誤差傳遞函數: 則 （1）當時, ，rm=1則 （2） 當 時: 5-3 若系統單位階躍響應 試求系統頻率特性。 解 則 頻率特性為 5-4 繪制下列傳遞函數的幅相曲線： 解 幅頻特性如圖解5-4(a)。 幅頻特

2、性如圖解5-4(b)。 圖解5-4 幅頻特性如圖解5-4(c)。5-5 已知系統開環傳遞函數 試分別計算 和 時開環頻率特性的幅值和相角。解 計算可得 5-6 試繪制下列傳遞函數的幅相曲線。 (1) (2) 解 (1) 取為不同值進行計算并描點畫圖，可以作出準確圖形三個特殊點： =0時， =0.25時, =時, 幅相特性曲線如圖解5-6（1）所示。 圖解5-6（1）Nyquist圖 圖解5-6（2） Nyquist圖(2) 兩個特殊點： =0時， =時, 幅相特性曲線如圖解5-6（2）所示。5-7 已知系統開環傳遞函數 ； 當時，；當輸入為單位速度信號時，系統的穩態誤差1。試寫出系統開環頻率特

3、性表達式。解 先繪制的幅相曲線，然后順時針轉180°即可得到幅相曲線。的零極點分布圖及幅相曲線分別如圖解5-7(a)、(b)所示。的幅相曲線如圖解5-7(c)所示。依題意有： ， ，因此。 另有： 可得： ，。所以： 5-8 已知系統開環傳遞函數 試概略繪制系統開環幅相頻率特性曲線。解 的零極點分布圖如圖解5 -8(a)所示。變化時，有分析平面各零極點矢量隨的變化趨勢，可以繪出開環幅相曲線如圖解5-8(b)所示。5-9 繪制下列傳遞函數的漸近對數幅頻特性曲線。(1) ； (2) ； (3) (4) (5) 解 (1) 圖解5-9（1） Bode圖 Nyquist圖(2) 圖解5-9（

4、2） Bode圖 Nyquist圖(3) 圖解5-9（3） Bode圖 Nyquist圖 (4) 圖解5-9（4） Bode圖 Nyquist圖 (5) 圖解5-9（5） Bode圖 Nyquist圖 5-10 若傳遞函數 式中，為中，除比例和積分兩種環節外的部分。試證 式中，為近似對數幅頻特性曲線最左端直線（或其延長線）與0dB線交點的頻率，如圖577所示。證 依題意，G(s)近似對數頻率曲線最左端直線(或其延長線)對應的傳遞函數為。題意即要證明的對數幅頻曲線與0db交點處的頻率值。因此，令，可得 , 故 ，證畢。 5-11 三個最小相角系統傳遞函數的近似對數幅頻特性曲線分別如圖5-78(a

5、)、(b)和(c)所示。要求： （1）寫出對應的傳遞函數；（2）概略繪制對應的對數相頻特性曲線。圖 578 511題圖解 (a) 依圖可寫出：其中參數： ，則： 圖解5-11（a） Bode圖 Nyquist圖 (b) 依圖可寫出 圖解5-11（b） Bode圖 Nyquist圖 (c) 圖解5-11（c） Bode圖 Nyquist圖 5-12 已知、和均為最小相角傳遞函數，其近似對數幅頻特性曲線如圖5-79所示。試概略繪制傳遞函數 的對數幅頻、對數相頻和幅相特性曲線。 解：(1) 則： 圖5-79 5-12題圖 (2) , (3) (4) 將代入得：對數頻率特性曲線如圖解5-12(a)所示

6、,幅相特性曲線如圖解5-12(b)所示：圖解5-12 (a) Bode圖 (b) Nyquist圖5-13 試根據奈氏判據，判斷題5-80圖(1)(10)所示曲線對應閉環系統的穩定性。已知曲線(1)(10)對應的開環傳遞函數如下（按自左至右順序）。解 題5-13計算結果列表題號開環傳遞函數閉環穩定性備注10-12不穩定2000穩定30-12不穩定4000穩定50-12不穩定6000穩定7000穩定811/20穩定9101不穩定101-1/22不穩定 5-14 已知系統開環傳遞函數，試根據奈氏判據，確定其閉環穩定的條件：； （1）時，值的范圍；（2）時，值的范圍；（3）值的范圍。 解 令 ，解出

7、，代入表達式并令其絕對值小于1 得出： 或 （1）時，；（2）時，；（3）值的范圍如圖解5-14中陰影部分所示。 5-15 已知系統開環傳遞函數試概略繪制幅相特性曲線，并根據奈氏判據判定閉環系統的穩定性。解 作出系統開環零極點分布圖如圖解5-15（a）所示。的起點、終點為： 與實軸的交點： 令 可解出代入實部 概略繪制幅相特性曲線如圖解5-15（b）所示。根據奈氏判據有 所以閉環系統不穩定。 5-16 某系統的結構圖和開環幅相曲線如圖5-81 (a)、(b)所示。圖中 試判斷閉環系統穩定性，并決定閉環特征方程正實部根個數。 解 內回路開環傳遞函數: 大致畫出的幅相曲線如圖解5-16所示。可見不

8、會包圍（-1,j0）點。 即內回路小閉環一定穩定。內回路小閉環極點（即開環極點）在右半S平面的個數為0。 由題5-16圖(b)看出:系統開環頻率特性包圍（-1,j0）點的圈數 N=-1。根據勞斯判據 系統不穩定，有兩個閉環極點在右半S平面。5-17 已知系統開環傳遞函數 試根據奈氏判據確定閉環系統的穩定性。解 作出系統開環零極點分布圖如圖解5-17(a)所示。 的起點、終點為： 幅相特性曲線與負實軸無交點。由于慣性環節的時間常數，小于不穩定慣性環節的時間常數，故呈現先增大后減小的變化趨勢。繪出幅相特性曲線如圖解5-17(b)所示。根據奈氏判據 表明閉環系統不穩定。5-18 已知單位反饋系統的開

9、環傳遞函數，試判斷閉環系統的穩定性。 解 作出系統開環零極點分布圖如圖解5-18(a)所示。當變化時，的變化趨勢： 繪出幅相特性曲線如圖解5-18(b)所示。根據奈氏判據 表明閉環系統不穩定。 5-19 已知反饋系統，其開環傳遞函數為 (1) (2) (3) (4) 試用奈氏判據或對數穩定判據判斷閉環系統的穩定性，并確定系統的相角裕度和幅值裕度。 解 (1) 畫Bode圖得： 圖解5-19 (1) Bode圖 Nyquist圖 (2) 畫Bode圖判定穩定性：Z=P-2N=0-2×(-1)=2 系統不穩定。由Bode圖得：令： 解得 令： 解得 圖解5-19 (2) Bode圖 Ny

10、quist圖(3) 畫Bode圖得： 系統臨界穩定。 圖解5-19 (3) Bode圖 Nyquist圖 (4) 畫Bode圖得： 圖解5-19(4) Bode圖 系統不穩定。5-20 設單位反饋控制系統的開環傳遞函數為試確定相角裕度為45°時的值。 解 開環幅相曲線如圖所示。以原點為圓心作單位圓，在點： 即： (1)要求相位裕度 即： (2)聯立求解（1）、（2）兩式得：， 。 5-21 在已知系統中 試確定閉環系統臨界穩定時的。 解 開環系統傳遞函數為 解法(一):畫伯特圖如圖解5-21所示圖解5-21 臨界穩定時 由Bode圖 法(二) ; 令 , 則 (1)又令 代入(1)得

11、： 解出： （舍去）。故當 1/秒，時，系統臨界穩定。 5-22 若單位反饋系統的開環傳遞函數，試確定使系統穩定的K的臨界值。 解 幅頻特性為 相頻特性為 求幅相特性通過(-1,j0)點時的值即 (1) (2)由(2)式 代入(1)： 解出 : 5-23 設單位反饋系統的開環傳遞函數 試確定閉環系統穩定的延遲時間的范圍。 解 令 (1) (2) 由(1): 解得： , (舍去）將=0.618代入(2)式： 解得：=1.3686,由圖可見：當1.3686時，G(j)不包圍(-1,j0)點,所以的穩定范圍是： 0<<1.36865-24 某最小相角系統的開環對數幅頻特性如圖5-82所示。要求（1） 寫出系統開環傳遞函數；（2） 利用相角裕度判斷系統的穩定性；（3） 將其對