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文檔簡介

1、.第19講銳角三角函數命題點解直角三角形12019·承德模擬如圖,在RtABC中,C90°,BC8,tanB,點D在BC上,且BDAD,求AC的長和cosADC的值解:在RtABC中,BC8,tanB,ACBC·tanB4.設ADx,那么BDx,CD8x,在RtADC中,8x242x2,解得x5.AD5,CD853,cosADC.22019·河北模擬如圖,AD是ABC的中線,tanB,cosC,AC.求:1BC的長;2sinADC的值解:1過點A作AEBC于點E.cosC,C45°.在RtACE中,CEAC·cosC1,AECE1.在

2、RtABE中,tanB,即,BE3AE3.BCBECE4.2AD是ABC的中線,CDBC2.DECDCE1.AEBC,DEAE,ADC45°.sinADC.重難點1解直角三角形2019·河北模擬,在ABC中,ACB90°,tanB,AB5,D在AB上1求BC的長;2如圖1,假設CDBB,求sinDCB的值;3如圖2,過點B作BECD所在的直線,垂足為E,BE的延長線交直線AC于點F.當tanBCD2時,求SCBF;當AF時,求線段AD的長【思路點撥】1由正切的定義可知ABC是一個勾3,股4,弦5的直角三角形;2可通過過點D作DEBC,利用tanB找到DE,BE的數

3、量關系,再解直角DCE,求得sinDCB的值;3因為BCDCFB:利用tanCFB的值,求CF,進而求SCBF;可通過過點A作BC的平行線交CD延長線于點G,先求AG,再利用相似求AD的長【自主解答】解:1在ABC中,ACB90°,tanB,tanB,ACBC.AC2BC2AB2,BC2BC252,BC3.2過點D作DEBC,那么tanB,BEDE,CEBCBE3DE.CDBB,CDCB3.CD2CE2DE2,32DE23DE2,解得DE.sinDCB.3BCDFCE90°,CFBFCE90°,BCDCFB.tanBCDtanCFB2.tanCFB2,BC3,CF

4、.SCBF.當點F在線段AC上時,如圖3,過點A作AGBC交CD延長線于點G,tanACGtanCBF,AC4,AG.AGBC,.,AD.圖3圖4當點F在線段CA的延長線上,如圖4,過點A作AGBC交CD延長線于點G.tanACGtanCBF,AC4,AG7.AGBC,.AD.1解直角三角形,需知除直角以外的兩個條件一邊和一角或兩邊,可求得其余的邊或角2在求解時,一般選取既含未知邊角又含有邊或角的直角三角形,通過銳角三角函數的定義或勾股定理,建構或未知之間的橋梁;從而實現求解3假設所求的線段或角不能直接求解,可以通過作出點到直線的間隔 或三角形高線,進而轉化成直角三角形求解4解直角三角形和相似

5、三角形的性質,是幾何求解中的重要工具,【變式訓練1】如圖是由一個角為60°且邊長為1的菱形組成的網格,每個菱形的頂點稱為格點,點A,B,C都在格點上,那么tanBAC【變式訓練2】2019·上海如圖,在ABC中,ABBC5,tanABC.1求邊AC的長;2設邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D,求的值解:1過點A作AEBC,在RtABE中,tanABC,AB5,AE3,BE4.CEBCBE541.在RtAEC中,根據勾股定理,得AC.2如圖,DF垂直平分BC,BDCD,BFCF.tanDBF,DF.在RtBFD中,根據勾股定理,得BD,AD5,那么.重難點2解直角三角形的應

6、用1如圖1,為了游客的平安,某景點將原坡角為60°的斜坡AB改為坡度為1的斜坡AC,AB100米,BC在同一程度線上,求改造后斜坡的坡腳向前挪動間隔 BC的長;22019·郴州小亮在某橋附近試飛無人機,如圖2,為了測量無人機飛行的高度AD,小亮通過操控器指令無人機測得橋頭B,C的俯角分別為EAB60°,EAC30°,且D,B,C在同一程度線上橋BC30米,求無人機飛行的高度AD;準確到0.01米,參考數據:1.414,1.73232019·湘西如圖3,某市郊外景區內一條筆直的公路l經過A,B兩個景點,景區管委會又開發了風景優美的景點C.經測量,

7、C位于A的北偏東60°的方向上,C位于B的北偏東30°的方向上,且AB10 km.求景點B與C的間隔 ;為了方便游客到景點C玩耍,景區管委會準備由景點C向公路l修一條間隔 最短的公路,不考慮其他因素,求出這條最短公路的長結果保存根號【思路點撥】這三個問題均可以通過過點A作直線BC的垂線,垂足為D,再利用解直角三角形ABD和直角三角形ACD來解決【自主解答】解:1過點A作ADBC于點D,在RtABD中,ABD60°,BDAB·cosABD100×cos60°50米,ADAB·sinABD50米AC的坡度為1,ADCD1.CD1

8、50,BCCDBD15050100米改造后斜坡的坡腳向前挪動間隔 BC的長是100 m.2由題意,得EAC30°,EAB60°,AEBC,EACACB30°,EABABD60°.ABDACBBAC,BACACB30°.ABBC30.在RtABD中,ADAB·sinABD1525.98米3由題意,得CAB30°,ABC90°30°120°,C180°CABABC30°.CABC30°.BCAB10 km,即景點B,C的間隔 為10 km.過點C作CDAB于點D,BC1

9、0 km,C位于B的北偏東30°的方向上,CBD60°,在RtCBD中,CDBC5 km.【變式訓練3】2019·常州京杭大運河是世界文化遺產綜合理論活動小組為了測出某段運河的河寬岸沿是平行的,如圖,在岸邊分別選定了點A,B和點C,D,先用卷尺量得AB160 m,CD40 m,再用測角儀測得CAB30°,DBA60°,求該段運河的河寬即CH的長解:過點D作DEAB于點E,可得四邊形CHED為矩形,HECD40 m.設CHDEx m,在RtBDE中,DBA60°,BEx.在RtACH中,BAC30°,AHx.由AHHEEBAB

10、160 m,得x40x160,解得x30,即CH30 m.答:該段運河的河寬為30 m1對于解直角三角形的實際應用題,要靈敏運用轉化思想,通常是根據以下方法和步驟解決:1有圖的要先將題干中的量在圖中表示出來,找到與量和未知量相關聯的三角形,畫出平面幾何圖形,弄清條件中各量之間的關系;2假設三角形是直角三角形,根據邊角關系進展計算;假設三角形不是直角三角形,可通過添加輔助線構造直角三角形來解決,其中作某邊上的高是常用的輔助線總的來說,解直角三角形的實際應用問題,關鍵是要根據實際情況建立數學模型,正確畫出圖形或作出輔助線并找準直角三角形,模型建立此題的三個題均可以抽象出如以下圖形:另外實際問題還可

11、以抽象的幾何圖形為:12019·孝感如圖,在RtABC中,C90°,AB10,AC8,那么sinA等于AA. B. C. D.22019·保定模擬在ABC中,A,B均為銳角,且tanB2sinA0,那么ABC一定是DA等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D有一個角是60°的三角形32019·唐山豐南區模擬在ABC中,ABAC13,BC24,那么tanB等于BA. B. C. D.42019·貴陽如圖,A,B,C是小正方形的頂點,且每個小正方形的邊長為1,那么tanBAC的值為BA. B1 C. D.52019·河北模擬如圖,A

12、BC在邊長為1個單位長度的方格紙中,它的頂點在小正方形的頂點位置假如ABC的面積為10,且sinA,那么點C的位置可以在DA點C1處 B點C2處 C點C3處 D點C4處6如圖是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖,汽車靠墻一側OB與墻MN平行且間隔 為0.8米,一輛小汽車車門寬AO為1.2米,當車門翻開角度AOB為40°時,車門是否會碰到墻?否;填“是或“否請簡述你的理由點A到OB的間隔 小于OB與墻MN平行的間隔 參考數據:sin40°0.64,cos40°0.77,tan40°0.847【分類討論思想】2019·無錫在ABC中,AB10,AC

13、2,B30°,那么ABC的面積等于15或10.82019·貴陽如圖1,在RtABC中,以下是小亮探究與之間關系的方法:sinA,sinB,c,c.,根據你掌握的三角函數知識在圖2的銳角ABC中,探究,之間的關系,并寫出探究過程解:.理由:過點A作ADBC,過點B作BEAC,在RtABD中,sinB,即ADc·sinB,在RtADC中,sinC,即ADb·sinC,c·sinBb·sinC,即.同理可得,那么.92019·衡陽一名徒步愛好者來衡陽旅行,他從賓館C出發,沿北偏東30°的方向行走2 000米到達石鼓書院A

14、處,參觀后又從A處沿正南方向行走一段間隔 ,到達位于賓館南偏東45°方向的雁峰公園B處,如下圖1求這名徒步愛好者從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館之間的最短間隔 ;2假設這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公園返回賓館,那么他在15分鐘內能否到達賓館?解:1過點C作CPAB于點P,由題意,得A30°,AP2 000米,那么CPAC1 000米2在RtPBC中,PC1 000,PBCBCP45°,BCPC1 000米這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公園返回賓館,他到達賓館需要的時間為1015.他在15分鐘內能到達賓館10如圖,在四邊形ABCD中,AB8,

15、BC1,DAB30°,ABC60°,那么四邊形ABCD的面積為5,AD的長是2提示:延長AD,BC相交于點E,可得ABE為直角三角形112019·眉山如圖,在邊長為1的小正方形網格中,點A,B,C,D都在這些小正方形的頂點上,AB,CD相交于點O,那么tanAOD2提示:連接BE,構造RtBOF,根據AOCBOK可得OK與CK的數量關系,求出OF與BF的數量關系即可12如圖,在ABC中,ABAC2,sinB,D為邊BC的中點,E為邊BC的延長線上一點,且CEBC.連接AE,F為線段AE的中點求:1線段DE的長;2CAE的正切值解:1連接AD.ABAC,D為BC的中點,ADBC,即ADB90°.ABAC2,sinB,.AD4.由勾股定理,得BD2,DCBD2,BC4.CEBC,CE4.DEDCCE246.2過點C作CMAE于點M, 那么CMACME90°.在RtADE中,由勾股定理,得AE2.CM2AC2AM2CE2EM2,22AM2422AM2,解得

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