1、數字信號處理作業DFT習題1. 如果是一個周期為的周期序列，那么它也是周期為的周期序列。把看作周期為的周期序列，令表示的離散傅里葉級數之系數，再把看作周期為的周期序列，再令表示的離散傅里葉級數之系數。當然，是周期性的，周期為，而也是周期性的，周期為。試利用確定。（76-4）232. 研究兩個周期序列和。具有周期,而具有周期。序列定義為。a. 證明是周期性的，周期為。b. 由于的周期為，其離散傅里葉級數之系數的周期也是。類似地，由于的周期為，其離散傅里葉級數之系數的周期也是。的離散傅里葉級數之系數的周期為。試利用和求。（76-5）3. 計算下列各有限長度序列DFT（假設長度為N）:a. bc（7

2、8-7）4. 欲作頻譜分析的模擬數據以10千赫速率被取樣，且計算了1024個取樣的離散傅里葉變換。試求頻譜取樣之間的頻率間隔，并證明你的回答。（79 -10）5. 令表示點序列的點離散傅里葉變換(a） 證明如果滿足關系式：，則。(b） 證明當為偶數時，如果，則。（80-14）6. 令表示點序列的點離散傅里葉變換，本身也是一個點序列。如果計算的離散傅里葉變換得到一序列，試用求。（82-15）7. 若為一個點序列，而為其點離散傅里葉變換，證明：，這是離散傅里葉變換的帕斯維爾關系式。（82-16）8. 長度為8的一個有限時寬序列具有8點離散傅里葉變換，如圖所示。長度為16的一個新的序列定義為：，試畫

3、出相當于的16點離散傅里葉變換的略圖。（86頁-18）9. 令表示z變換為的無限時寬序列，而表示長度為N的有限時寬序列，其N點離散傅立葉變換用表示。如果和有如下關系：式中。試求和之間的關系。（93-22）10. 令表示序列的傅里葉變換，并令表示長度為10的一個有限時寬序列，即時，時，的10點離散傅里葉變換用表示，它相當于的10個等間隔取樣，即，試求（94-23）11. 討論一個長度為的有限時寬序列，和時，我們要求計算其變換在單位圓的個等間隔點上的取樣。取樣數小于序列的時寬；即，試求一種得到的個取樣的方法，它只要計算一次點序列（這個序列是由得來的）的點離散傅里葉變換。（96-25）12. 研究兩

4、個時等于零的有限時寬序列和，且，將每一個序列的20點離散傅里葉變換，然后計算離散傅里葉反變換，令表示它的離散傅里葉反變換，指出的哪些點相當于與線性卷積中的點。（96-26）FFT習題1. 假設有一計算如下離散傅里葉變換的程序：，試指出如何用此程序來計算如下反變換：（193-8）2. 在計算實序列的離散傅里葉變換時，利用序列是實序列這一特點有可能減少計算量，本題中討論了兩種減少計算量的途徑：a. 研究兩個分別具有離散傅里葉變換和的實序列和，令為一個復序列，為其離散傅里葉變換。令、分別表示的實部的奇數部分、實部的偶數部分、虛部的奇數部分和虛部的偶數部分，試利用、和表示和。b. 假設是一個點的實序列

5、，且可以被2整除，令和為兩個點序列，其定義為：，試利用和求。（198-10）3. 研究一個有限長度序列，并且和時，。假設我們想要計算在平面內下列各點上的變換之取樣：，式中。試詳細說出一種計算這些點上的的有效方法。（199頁-11）4. 研究一個長度為的有限時寬序列，并且和時，。我們希望計算變換在單位圓上個等間隔點上的取樣，即在，上的取樣，試找出對下列情況只用一個點離散傅里葉變換就能計算的個取樣的方法，并證明之。（a） （b） （200-12）5. 表示長度為10的有限時寬序列的傅里葉變換，我們希望計算在頻率時的10個取樣。計算時不能采取先算出比要求多的取樣，然后再丟掉一些的辦法。討論采用下列各

6、方法的可行性：(a) 直接利用10點快速傅里葉變換算法。(b) 利用線性調頻變換算法。（201-13）6. 在下列說法中選擇正確的結論并加以證明。線性調頻z變換可以用來計算一個有限時寬序列在z平面實z軸上諸點的z變換，使a) ;b) c) a)和b)兩者都行；d) a)和b)都不行，即線性調頻z變換不能計算在z為實數時的取樣。（203-15）Hilbert變換習題1 令為的一個實因果序列，已知的變換為 上式為變量的泰勒級數，所以它在以z=0為中心的某一圓外部處處收斂于一個解析函數。收斂區域包括點z=，事實上，。我們說是解析（在其收斂區域內）的，表示對X加了苛刻的約束條件，即它的實部和虛部各都滿

7、足拉普拉斯方程，且實部和虛部之間滿足柯西-黎曼方程。現在我們利用這些性質，根據的實部確定，條件是為有限值的實因果序列。 令為實（有限值的）因果序列，其z變換為：式中：和是z的實函數。假設時，給定為（為實數）假設除了z=0外，處處解析，試求并表示成z的顯函數。（建議用時域法解此題）（214-4）2 序列的偶部定義為：，假設是一個有限時寬實序列，定義為和時，。令表示為的點的離散傅立葉變換。（a）的離散傅立葉變換是否等于Re？（b）試求出以表示的Re的離散傅立葉反變換。（228-15）3 研究一個長度N的有限時寬實序列（即n<0,nN時，=0），此處N為奇數。用表示的M點的離散傅立葉變換，因此

8、令表示的實部。（a） 試利用N來求能使唯一確定的最小M值（M=1,2除外）。（b） 如果M滿足（a）中所確定的條件，則可以表示為和序列的循環卷積。請確定。（228-16）4 研究一個復序列x（n），x(n)=xr(n)+xi(n),其中xr(n)和xi(n)是實序列，序列x(n)的z變換X(z)在單位圓的下半部分為零。即，2時，X(ej)=0. x(n)的實部為xr(n)=試求X(ej)的實部和虛部。5 令H表示理想希爾伯特變換運算，即 Hx(n)=式中h(n)由（7.48）式給定。試證明下列特性：（a） HHx(n)=-x(n).（b） . (提示：利用帕斯維爾定理)（c） Hx(n)*y(n)=Hx(n)*y(n)=x(n)*Hy(n),式中x(n)和y(n)為任意序列。（233-19）Walsh函數1 a) 時間序列,=0,1,2,.7為0 0 1 1 0 0 1 1 將其作離散Walsh變換 b)將上述序列Hadamard變換2 設輸入序列為0 0 1 1 0 0 1 1 , 并將此輸入序列作a=3的并元移位，試求Wz (N)3 給定兩個時間序列，定義兩個序列的并元時間域相關和并元時間域卷積為：a) 并元時間域相關為： b) 并元時間卷積為： 若試證明：1) 并元相關定理2) 并元時間卷積定