1、一、微分的定義一、微分的定義二、微分公式與運算法則二、微分公式與運算法則三、微分的意義與應用三、微分的意義與應用一、微分的定義一、微分的定義1、引例、引例 ：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響, ,其邊長由其邊長由 x0 變到變到 x0+ x , 問此薄片面積改變了多少問此薄片面積改變了多少 ? 20 xA 0 x0 x2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數的線性函數Ax :)1(.,0很小時可忽略很小時可忽略當當的高階無窮小的高階無窮小時時當當xxx :)2(x x 2)( x xx 0 xx 0設

2、薄片邊長為設薄片邊長為 x , 面積為面積為 A , 則則,2xA 當當 x 在在 x0 取得增量取得增量 x時時 , 面積的增量為面積的增量為.20 xxA 再例如再例如,.,03yxxxy 求函數的改變量求函數的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在點設函數設函數3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時時當當 x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題問題: :這個線性函數這個線性函數(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否是否所有函數的改變量都有所有函數的改變

3、量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?2、微分的定義、微分的定義定義定義, )(,)(000仍在該鄰域內仍在該鄰域內處取得增量處取得增量當在當在某個鄰域內有定義某個鄰域內有定義在在設函數設函數xxxxxxfy 處的增量可表示為處的增量可表示為在點在點若函數若函數0)(xxfy )()()(00 xoxAxfxxfy , )0()(,0時時當當高高階階的的無無窮窮小小量量是是比比無無關關的的常常數數有有關關而而與與是是與與其其中中xxxoxxA ),aldifferenti()(,)(00的微分的微分相應于自變量增量相應于自變量增量在點在點稱為稱為可微可微在點在點則稱函數則稱函數xxxfyxA

4、xxfy .d,dd000 xAyfyxxxxxx 即即或或記記作作3、可微的條件、可微的條件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導處可導在點在點數數可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點在點函數函數定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導可導在點在點即函數即函數(2) 充分性充分性)()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可導可導在點在點函數函數xxf),(lim00 xfxyx ,0lim0 x其其中中)

5、,()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在點點函函數數).(.0 xfA 可可微微可可導導.d)(d00 xxfyxx 即有即有編輯ppt?d,d,0,d,2)(,)(100是是幾幾階階無無窮窮小小關關于于時時問問：及及自自變變量量的的增增量量表表示示函函數數的的增增量量、微微分分分分別別、可可微微在在設設例例xyyyyxxyyxfxxf 解解例例2 2.02. 0, 23時時的的增增量量與與微微分分當當求求函函數數 xxxyxxy )(d3 .32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy .24. 0 332)02. 02( y242408. 0 00

6、0008. 00024.24. 0 .d,d,xxxxx 即即記記作作稱稱為為自自變變量量的的微微分分的的增增量量通通常常把把自自變變量量.d)(dxxfy ).(ddxfxy .dd該函數的導數該函數的導數之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數的微分即函數的微分xy.)(d),(dd,)(xxfyxfyxxfy 即即或或記記作作微微分分稱稱為為函函數數的的的的微微分分在在任任意意點點函函數數.)(,)(,)(內內的的可可微微函函數數是是且且稱稱內內可可微微區區間間在在就就稱稱內內處處處處可可微微在在區區間間如如果果函函數數IxfIxfIxfy .導數也叫“微商”導數也叫“微商”.

7、的的微微分分在在任任意意點點求求函函數數例例xy 幾點說明：幾點說明：;d)1(的線性函數的線性函數是自變量的改變量是自變量的改變量xy ;)(d)3(高階的無窮小高階的無窮小是比是比xxoyy )0(x ;d,0)4(是是等等價價無無窮窮小小與與時時當當yyA .d,0)()5(0yyxfx 時時很很小小且且當當;)(,)2(0有有關關和和但但與與無無關關的的常常數數是是與與xxfxA ).0( x.d的的線線性性主主部部叫叫做做函函數數增增量量微微分分yy ( (微分的實質微分的實質) )二、微分的求法二、微分的求法xxfyd)(d 求法求法: : 計算函數的導數計算函數的導數, 乘以自變

8、量的微分乘以自變量的微分.)(d1)C.0 例如例如)(d2) x.d1xx )(cosd3)x.dsinxx )(tand4)x.dsec2xx )(arctand5)x.d112xx 1.基本初等函數的微分公式基本初等函數的微分公式 P113xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCaxxxxdsinh)(coshddcosh)(sinhdd11)arccot(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(ddcotcsc)(cscddtan

9、sec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d2222221 2. 函數線性組合、積、商的微分法則函數線性組合、積、商的微分法則 P1132ddddd)(d),(dd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu 為常數為常數 3、復合函數的微分、復合函數的微分,)(, )(可可微微設設函函數數xuufy 的的微微分分為為則則復復合合函函數數)(xfy xxxfyd)()(d 一階微分形式不變性一階微分形式不變性;d)(d,)1(uufyu 是是自自變變量量時時若若則則可微函數可微函數的的是另一變量是另一變量即即是中間變量時是中間變

10、量時若若, )(,)2(xuxuu ),()(ufufy 有有導導數數設設函函數數xxufyd)()(d ,dd)(uxx .d)(duufy 結論：結論：的微分形式總是的微分形式總是函數函數是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,ufyu 一階微分形式的不變性一階微分形式的不變性uufyd)(d 例例1 1.d),12sin(yxy求求設設 解法一解法一)12cos(2 xy.d)12cos(2dxxy 解法二解法二)12sin(dd xy)12(d)12cos( xx.d)12cos(2xx 編輯ppt例例2 2.d,sinybxeyax求求設設 解解)(sindsin)(d

11、dbxebxeyaxax )(dcossin)(dbxbxebxaxeaxax xbbxebxxaeaxaxdcossind)( .d)cossin(xbxbbxaeax 編輯ppt例例3.的的微微分分求求函函數數xxy 例例4.02的微分的微分求隱函數求隱函數 xexyy例例5 5在下列等式左端的括號中填入適當的函數在下列等式左端的括號中填入適當的函數,使使等式成立等式成立.d)(d)1(2xx 練習：練習：,dln)(d)3(2xxx . )0(dcos)(d)2( ttCx 331Ct sin1( (C為任意常數為任意常數) )( (C為任意常數為任意常數) )說明說明: : 上述微分的

12、反問題是不定積分要研究的內容上述微分的反問題是不定積分要研究的內容. .注意注意: : 數學中的反問題往往出現多值性數學中的反問題往往出現多值性. .例例6 6解解在等式左端的括號中填入適當的函數在等式左端的括號中填入適當的函數,使等式使等式成立成立. )(d)()(sind2xx xxxxxxxd21dcos2)(d)(sind22 ,cos42xxx ).(d)cos4()(sind22xxxxx 2cos4xxx三、三、 微分的意義與應用微分的意義與應用)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 1、微分的幾何意義、微分的幾何意義.d,縱坐標對應的增量縱坐標對應的增量就是切線

13、就是切線增量時增量時是曲線的縱坐標是曲線的縱坐標當當yy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點在點很小時很小時當當 ( (如圖如圖) )2、近似計算、近似計算得近似公式得近似公式00dxxxxyy ,)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,0)(,0 xfx且且很小時很小時當當 （ f (x) 在在 x = x0 處的處的一次近似式一次近似式或或線性逼近線性逼近）或或使用原則使用原則: :;)(, )()100好算好算xfxf .)20靠近靠近與與xx.)0()0()(xffxf ,| ,0很小時很小時時時當當xx 工程

14、技術上常用的五個一次近似式，在課本工程技術上常用的五個一次近似式，在課本116頁頁, 還有該頁還有該頁例例7請同學們自己看。請同學們自己看。,|很很小小時時x;1x xe)1(;x xsin)2(;x xtan)3(;x )1ln()4(x.1x )1()5(x編輯ppt例例1.sin,|xxx 很很小小時時證證明明：當當例例2.29sin的近似值的近似值求求編輯ppt例例2.29sin的近似值的近似值求求,180d x解解 設設,sin)(xxf 取取300 x,6 29 x則則,18029 18029sin 6sin 6cos 21 23 )0175. 0( 485. 0 )180( 29

15、sin4848. 029sin 四、小結四、小結1、微分的概念、微分的概念2、導數與微分的聯系、導數與微分的聯系:.可可微微可可導導3、微分運算法則、微分運算法則微分形式不變性微分形式不變性: :uufufd)()(d 4 4、微分的應用、微分的應用 近似計算近似計算( u 是自變量或中間變量均可是自變量或中間變量均可 )編輯ppt1. 設函數設函數)(xfy 的圖形如下的圖形如下, 試在圖中標出的點試在圖中標出的點0 x處的處的yy ,d及及,dyy 并說明其正負并說明其正負 .yd0 xx00 xxyoy00yyd思考與練習思考與練習編輯pptxxee d )d(arctan. 2xe21

16、1 .d x xxee21 .sindtand. 3 xxx3sec.d2sin) (d. 4xx Cx 2cos215、因因為為一一元元函函數數)(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導導性性是是等等價價的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導導數數，導導數數就就是是微微分分”，這這說說法法對對嗎嗎？ 解解說法不對說法不對. 從概念上講，微分是從求函數增量引出線性從概念上講，微分是從求函數增量引出線性主部而得到的，導數是從函數變化率問題歸納出主部而得到的，導數是從函數變化率問題歸納出函數增量與自變量增量之比的極限，它們是完全函數增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念不同

17、的概念. 補充說明：補充說明：1、微分學所要解決的兩類問題、微分學所要解決的兩類問題:函數的變化率問題函數的變化率問題函數的增量問題函數的增量問題微分的概念微分的概念導數的概念導數的概念求導數與微分的方法求導數與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導數理論及其應用的科學研究微分法與導數理論及其應用的科學,叫叫做做微分學微分學.2、導數與微分的區別、導數與微分的區別:.,)(d, )()()100000時時是是無無窮窮小小實實際際上上它它在在定定義義域域是是它它的的的的線線性性函函數數是是而而微微分分處處的的導導數數是是一一個個定定數數在在點點函函數數xxRxxxxfyxfxxf )(

18、limdlim0000 xxxfyxxxx . 0 .)(,()()()(d,)(,()()(,)200000000的的縱縱坐坐標標增增量量方方程程在在點點處處的的切切線線在在點點是是曲曲線線而而微微分分處處切切線線的的斜斜率率點點在在是是曲曲線線從從幾幾何何意意義義上上來來看看xxfxxfyxxxfyxfxxfyxf 一、一、 填空題：填空題：1 1、 已知函數已知函數2)(xxf 在點在點x處的自變量的增量為處的自變量的增量為0.20.2，對應的函數增量的線性全部是，對應的函數增量的線性全部是dy=0.8=0.8，那，那么自變量么自變量x的始值為的始值為_._.2 2、 微分的幾何意義是微分的幾何意義是_._.3 3、 若若)(xfy 是可微函數，則當是可微函數，則當0 x時，時， dyy 是關于是關