1、A. 0B. 1C. 2D. 3ZA=30 ,求證：AB=4BD .8.如圖，在 4ABC中，/ACB=90 , CD是AB邊上的高,等腰三角形典型例題練習一.選擇題（共2小題）1 .如圖，/ C=90 , AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm ,貝U點D至U AB的距離為（）A. 5cmB. 3cmC. 2cmD.不能確定2 .如圖，已知 C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側作等邊 4ACD和等邊 4BCE ,連接 AE交CD于M,連接BD交CE于N.給出以下三個結論： AE=BD CN=CM MN/AB其中正確結論的個數是（）

2、二.填空題（共1小題）3.如圖，在正三角形 ABC中，D, E, F分別是BC, AC, AB上的點, DE AC, EFXAB, FD XBC,則 DEF的面積與 4ABC的面積之 比等于三.解答題（共15小題）4 .在4ABC中，AD是/BAC的平分線，E、F分別為 AB、AC上 的點，且 ZEDF+ /EAF=180 ,求證 DE=DF .5 .在4ABC中，/ABC、/ ACB的平分線相交于點 O,過點O作DE / BC,分另I交 AB、AC于點D、E.請說明 DE=BD+EC6 . 已知：如圖， D是4ABC的BC邊上的中點，DEAB, DFXAC, 垂足分別為E, F,且DE=DF

3、 .請判斷4ABC是什么三角形？并說明理由.7 .如圖，4ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長 BC至E ,使CE=CD .連接DE .（1） /E等于多少度？（2） ADBE是什么三角形？為什么？9 .如圖，4ABC中，AB=AC，點D、E分別在 AB、AC的延長線上,且BD=CE , DE與BC相交于點 F.求證：DF=EF .10 .已知等腰直角三角形 ABC, BC是斜邊./B的角平分線交 AC于D, 過C作CE與BD垂直且交 BD延長線于 E , 求證：BD=2CE .11 (2012?牡丹江)如圖 ，4ABC中.AB=AC , P為底邊BC上一點,PE AB , PFXAC

4、, CHXAB,垂足分別為 E、F、H.易證 PE+PF=CH .證明過程如下: 如圖，連接AP.PE AB , PF AC, CHXAB , SAabp=1aB? PE, SAacp=1aC? PF, SAabc=1aB? CH.222又 Saabp+S AACP=S AABC ,.Tab? pe+ .Iac? pf= Iab? ch.222PE+PF=CH(1)如圖,P為BC延長線上的點時，其它條件不變,PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想, AB=AC ,并加以證明：(2)填空：若“v” 或“=”).(2)特例啟發，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關系AE,“V”或“二

5、”).理由如下：如圖 2,過點/A=30 , AABC的面積為49,點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF ,當PF=3時,則AB邊上白高 CH=嵐P到AB邊的距離 PE=12 .數學課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形 ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且 ED=EC ,如圖，試確定線段 AE與DB的大小關系，并說明理由” .小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答:(1)特殊情況，探索結論DB (填當點E為AB的中點時，如圖1,確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AEE作EF / BC,交AC于點F.(請你完成以下解答過程)(3)拓展結論，設計新題在等邊三

6、角形 ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上,求CDCAB的長(請 你直 接寫 出結 果).ED=EC ,若 AABC 的邊長為 1, AE=2 ,且圖二F為AB延長線和CF,AB=BC , / ABC=90BE=BF ,連接 AE、EF16.已知：如圖，在 4OAB中， 在 AEOF 中，/ EOF=90 , BF 問線段AE與BF之間有什么/ AOB=90 , OE=OF ,連接 關系？請說明理13 .已知：如圖，AF平分/ BAC , BC AF于點E ,點D在AF上，ED=EA，點P在CF上，連接PB交AF于點 M.若/BAC=2/MPC,請你判斷/F與/ MCD的數量關系，并說

7、明理由.14.如圖，已知 4ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC邊上，且 AE=CD , AD與BE相交于點 F.(1)線段AD與BE有什么關系？試證明你的結論.(2)求ZBFD的度數.15.如圖，在4ABC中, 上一點，點E在BC上, 求證：AE=CF .17. (2006?林洲)如圖，在 4ABC中，AB=AC , D是BC上任意一點，過 D分別向AB , AC引垂線，垂足分別為E, F, CG是AB邊上的高.(1) DE, DF, CG的長之間存在著怎樣的等量關系？并加以證明；(2)若D在底邊的延長線上，(1)中的結論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關系？請說明理由.18.如圖甲

8、所示，在 4ABC中，AB=AC ,在底邊BC上有任意一點 P,則P點到兩腰的距離之和等于定長(腰上的 高)，即PD+PE=CF ,若P點在BC的延長線上，那么請你猜想 PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關系？寫出你 的猜想并加以證明.等腰三角形典型例題練習參考答案與試題解析選擇題（共2小題）1.如圖,/C=90,AD平分ZBAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm ,貝U點D至U AB的距離為（D,不能確定考點：w平分線的性質.分析：由已知條件進行思考，結合利用角平分線的性質可得點 的長，問題可解.解答：解：/ C=90 , AD 平分 / BAC 交 BC 于 D. D至ij AB

9、的距離即為 CD長CD=5 - 3=2故選C.C. 2cmB . 3 cmD至ij AB的距離等于 D至ij AC的距離即CD2 .如圖，已知C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在 AB的同一側作等邊 4ACD和 等邊4BCE ,連接 AE交CD于M,連接BD交CE于N,給出以下三個結論： AE=BDCN=CMMN / AB其中正確結論的個數是（CA. 0D考點：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.|分析：由4ACD和4BCE是等邊三角形，根據 SAS易證得 ACEDCB ,即可得正確；由 ACEDCB,可得 ZEAC= /NDC,又由 /

10、ACD= / MCN=60 ,利用 ASA,可證得 ACMA DCN,即可得 正確；又可證得 4CMN是等邊三角形，即可證得 正確.解答：解：. ACD 和 4BCE 是等邊三角形，Z ACD= Z BCE=60 , AC=DC , EC=BC , / ACD+ / DCE= / DCE+ / ECB ,即 / ACE= / DCB , ACEDCB ( SAS),.AE=BD ,故正確；/ EAC= / NDC, / ACD= / BCE=60DCE=60ACD= / MCN=60 , . AC=DC ,ACMA DCN (ASA), . CM=CN ,故正確；又/MCN=180 - ZMC

11、A- Z NCB=180 -60 -60 =60 , . CMN 是等邊三角形，Z NMC= Z ACD=60 ,MN/AB ,故 正確.故選 D.D. 3C. 2二.填空題（共1小題）3 .如圖，在正三角形 ABC中，D, E, F分別是 BC, AC, AB上的點，DEAC, EF AB, FDXBC,貝U DEF 的面積與4ABC的面積之比等于1: 3 .考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.分析：首先根據題意求得：/ DFE= ZFED= /EDF=60。，即可證得 DEF是正三角形，又由直角三角形中，30所對的直角邊是斜邊的一半，得到邊的關系，即可求

12、得DF: AB=1:夷，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得結果.解答:解：.ABC 是正三角形， ，/ B= / C= / A=60 , . DE AC, EF AB , FD BC, . . / AFE= Z CED= Z BDF=90 , ./ BFD= Z CDE= Z AEF=30DFE= / FED= / EDF=60 , =1,BF 2 . DEF 是正三角形，BD: DF=1 : 臟,BD: AB=1 : 3，DEFsABC,+，鯉=如,DF : AB=1 : Vs, DEF的面積與 ABC的面積之比等于 1: 3.DF故答案為：1: 3.三.解答題（共15小題）4

13、.在4ABC中，AD是/BAC的平分線，E、F分別為 AB、AC上的點，且 / EDF+ Z EAF=180 ,求證考點：DE=DF . B全等三角形的判定與性質；角平分線的定義.分析:解答:即/ EMD= / FND=90過D作DM LAB ,于M, DNAC于N,根據角平分線性質求出 DN=DM ,根據四邊形的內角和定 理和平角定義求出 / AED= / CFD,根據全等三角形的判定 AAS推出EMDA FND即可.證明：過D作DM LAB ,于M, DNAC于N ,. AD 平分 /BAC, DMXAB, DNXAC, . DM=DN （角平分線性質），/ DME= / DNF=90.

14、/EAF+ ZEDF=180 , . . / MED+ / AFD=360 180 =180 ,. Z AFD+ ZNFD=180 , . . / MED= / NFD ,在 EMD和 FND中 fZMED=ZDFN, /DME=/DNF，. EMDA FND , .-.DE=DF . 眸DM5 .在ABC中，/ABC、Z ACB的平分線相交于點 O,過點O作DE /BC,分別交 AB、AC于點D、E.請說明 DE=BD+EC .BC考點：等腰三角形的判定與性質一；平行線的性質.分析：根據OB和OC分別平分/ ABC和/ ACB ,和DE / BC,利用兩直線平行， 內錯角相等和等量代換， 求

15、證出DB=DO , OE=EC .然后即可得出答案.解答：解：二,在4ABC中，OB和OC分別平分/ ABC和/ ACB , ./ DBO= / OBC, /ECO=/OCB,. DE/BC, . DOB= / OBC= / DBO, / EOC= / OCB= / ECO , .DB=DO, OE=EC , DE=DO+OE , . . DE=BD+EC .6 . 已知：如圖，D是 ABC的BC邊上的中點，DE LAB , DF LAC,垂足分另1J為 E , F ,且DE=DF .請判斷ABC 是什么三角形？并說明理由.考點：等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質.分析：用(HL)證明E

16、BD0FCD,從而得出/ EBD= / FCD ,即可證明4ABC是等腰三角形.解答：4ABC是等腰三角形.證明：連接 AD, DE AB, DFXAC, . / BED= Z CFD=90 ,且 DE=DF ,D是4ABC的BC邊上的中點，BD=DC ,Rt AEBD Rt AFCD (HL), . / EBD= / FCD, .ABC 是等腰三角形.7.如圖，4ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長 BC至E ,使CE=CD .連接DE .（1） /E等于多少度？ （ 2） 4DBE是什么三角形？為什么?考點：等邊三角形的性質；等腰三角形的判定.分析：（1）由題意可推出/ACB=60

17、 , / E=/CDE ,然后根據三角形外角的性質可知：ZACB= / E+ ZCDE ,即可推出 / E的度數；（2）根據等邊三角形的性質可知，BD不但為AC邊上的高，也是 Z ABC的角平分線，即得:/DBC=30 ,然后再結合（1）中求得的結論，即可推出 4DBE是等腰三角形.解答：解：（1） .ABC是等邊三角形， ，/ACB=60 , CD=CE , / E= / CDE , / ACB= / E+ / CDE , 二二工X 60“ 二30”，2 u（2） .ABC 是等邊三角形，BDXAC,/ ABC=60 , /DBC二工/出030”，2/E=30 , ，/DBC=/E, .DB

18、E 是等腰三角形.8 .如圖，在 4ABC 中，/ACB=90 , CD 是 AB 邊上的高， /A=30 ,求證：AB=4BD .考點：含30度角的直角三角形.分析：由4ABC中，/ACB=90 , Z A=30 可以推出AB=2BC ,同理可得 BC=2BD ,則結論即可證明.解答：解：. /ACB=90 , /A=30 , AB=2BC , Z B=60 .又,CDAB, Z DCB=30 , . BC=2BD . . AB=2BC=4BD .9 .如圖，ABC中，AB=AC，點D、E分別在 AB、AC的延長線上，且 BD=CE , DE與BC相交于點 F.求證: DF=EF .考點：金

19、等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質.1分析：過D點作DG / AE交BC于G點，由平行線的性質得 / 1=/ 2, Z4=Z3,再根據等腰三角形的性 質可得/B=/2,則/B=/1,于是有DB=DG ,根據全等三角形的判定易得 DFGEFC,即可 得到結論.解答：證明：過D點作DG/ AE交BC于G點，如圖，1 = /2, /4=/3,. AB=AC ,，/B=/2,，/B=/1, . . DB=DG ,而 BD=CE , . . DG=CE ,在 DFG和 EFC中rZ4=Z3“ ZDFG=ZEFC， DFGA EFC , DF=EF10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜邊./

20、 B的角平分線交 AC于D,過C作CE與BD垂直且交BD延長線于E,求證：BD=2CE .全等三角形的判定與性質.延長CE, BA交于一點F,由已知條件可證得 4BFE全BEC ,所以FE=EC ,即CF=2CE ,再 通過證明 ADBA FAC可得FC=BD ,所以BD=2CE .證明：如圖，分別延長 CE, BA交于一點F.-. BE EC, Z FEB= Z CEB=90 , BE 平分 / ABC , . / FBE= / CBE ,又,.BE=BE , BFE BCE (ASA). . FE=CE . . CF=2CE .AB=AC , / BAC=90 , / ABD+ / ADB

21、=90 , / ADB= / EDC, . / ABD+ / EDC=90 .又/ DEC=90 , / EDC+ / ECD=90FCA= / DBC= / ABD .ADBAAFC . FC=DB , . . BD=2EC .11 (2012?牡丹江)如圖 ，4ABC中.AB=AC , P為底邊 BC上一點，PE AB , PF AC, CH LAB ,垂足分別為E、F、H.易證PE+PF=CH .證明過程如下：如圖，連接AP.PE AB , PF AC, CHXAB , /. Saabp=-AB ? PE, Saacp=-AC? PF, Saabc=-AB? CH.:又- Saabp+S

22、 ACP =S ABC , -AB? PE+ -AC? PF= -AB? CH.222 AB=AC , PE+PF=CH(1)如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：(2)填空：若/A=30 , AABC的面積為49,點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF ,當PF=3時, 則AB邊上白高 CH= 7 .點P至ij AB邊的距離 PE= 4或10 .圖 圖考點：等腰三角形的性質；三角形的面積.分析：，(1)連接AP .先根據二角形的面積公式分別表不出SaABP , Saacp, SaaBC ,再由SaaBP=S AACp

23、 + S AABC即可得出PE=PF+PH ;(2)先根據直角三角形的性質得出 AC=2CH ,再由AABC的面積為49,求出CH=7 ,由于CH PF ,則可分兩種情況進行討論： P為底邊BC上一點，運用結論 PE+PF=CH ;P為BC延長線 上的點時，運用結論 PE=PF+CH .解答：解：(1)如圖，PE=PF+CH .證明如下：-. PE AB , PF AC, CHXAB,1- Saabp=工AB? PE, Saacp=1aC? PF ,Sa abc=工AB? CH,222Saabp二S ACP+S AABC , .IaB? PE= IaC? PF+ .IaB ? CH , X /

24、 AB=AC , . . PE=PF+CH ;222(2) .在AACH 中，Z A=30 , . . AC=2CH . Saabc=-AB? CH, AB=AC , .-.-X 2CH? CH=49 , CH=7 .22分兩種情況：P為底邊BC上一點，如圖. PE+PF=CH , .1. PE=CH - PF=7 -3=4;P為BC延長線上的點時，如圖 .-. PE=PF+CH ,PE=3+7=10 .故答案為 7; 4或 10.圖 圖12.數學課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形 ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且 ED=EC ,如圖，試確定線段 AE與DB的大 小關

25、系，并說明理由” .小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：(1)特殊情況，探索結論請你直接寫出結論：AEDB (填，當點E為AB的中點時，如圖1,確定線段AE與DB的大小關系,“v” 或“=”).(2)特例啟發，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關系AEDB (填“V”或).理由如下：如圖 2,過點E作(請你完成以下解答過程)AE=2 ,求 CDEF / BC,交 AC 于點 F.(3)拓展結論，設計新題 在等邊三角形ABC中，點考點：等邊三角形的判定與性質；三角形的外角性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質.1分析：(1)根據等邊三角形性質和等腰三角形的性質求出/D=/ECB=30

26、。，求出Z DEB=30。，求出BD=BE即可；(2)過E作EF / BC交AC于F,求出等邊三角形 AEF ,證4DEB和 ECF全等，求出 BD=EF 即可；(3)當D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由(2)求出CD=3 ,當E在BA的延長線 上，D在BC的延長線上時，求出 CD=1.解答：解：(1)故答案為：=.(2)過 E 作 EF / BC 交 AC 于 F,.等邊三角形 ABC , Z ABC= Z ACB= Z A=60 , AB=AC=BC ,/ AEF= / ABC=60 , / AFE= / ACB=60 ，即/ AEF= / AFE= / A=60 , .AEF

27、是等邊三角形，AE=EF=AF , . /ABC= ZACB= Z AFE=60DBE= Z EFC=120 , / D+/ BED= / FCE+ / ECD=60 , .DE=EC ,D= /ECD,/ BED= / ECF ,在 DEB和 ECF中 /DEB =/ECFNDBE二NEFC, .DEBECF , BD=EF=AE ,即 AE=BD ,故答E：=.lde=ce(3)解：CD=1 或 3,A A DN 5/ 理由是：分為兩種情況：如圖1E 圖1過 A 作 AM，BC 于 M,過 E 作 EN，BC 于 N ,則 AM / EM , ABC 是等邊三角形,AB=BC=AC=1 ,

28、 . AM BC, BM=CM= BC=-, / DE=CE , EN BC, CD=2CN ,22的長(請你直接寫出結果). AM/EN, AMBA ENB , ,空=0,_=_?_,BE BN 2-1 BN.BN= 1, .,.CN=1 + 1=-?,CD=2CN=3 ;22 2圄2如圖2,作AMBC于M,過E作EN LBC于N,則 AM / EM , ABC 是等邊三角形,AB=BC=AC=1 ,-. AM BC, BM=CM= -BC=-, / DE=CE , EN BC, CD=2CN ,22工. AM/EN, .越=!, =-=, MN=1 , CN=1 1=1, . CD=2CN

29、=1AE MN 2 MN2 213.已知：如圖，AF平分/ BAC , BC AF于點E ,點D在AF上，ED=EA，點P在CF上，連接PB交AF于點 M,若/BAC=2/MPC,請你判斷/F與/ MCD的數量關系，并說明理由.考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質.分析：根據全等三角形的性質和判定和線段垂直平分線性質求出AB=AC=CD ,推出ZCDA= /CAD=/CPM,求出 / MPF= / CDM, / PMF= / BMA= ZCMD,在4DCM 和 4PMF 中根 據三角形的內角和定理求出即可.解答：解：/F=/MCD,理由是:AF 平分/BAC, BCXAF , . /

30、 CAE= / BAE , Z AEC= Z AEB=90 , 在 ACE和 ABE中n ZAEC=ZAEB . AE=AE , ACEA ABE (ASA)，AB=AC ,lzcae=zbae / CAE= / CDE AM 是 BC 的垂直平分線，. . CM=BM , CE=BE , . / CMA= / BMA , ,.AE=ED , CEXAD,，AC=CD ,/ CAD= / CDA , / BAC=2 / MPC ,又,：乙 BAC=2 / CAD, ./ MPC= / CAD, ./ MPC=/CDA, . / MPF= / CDM,丁./ MPF= ZCDM (等角的補角相等

31、)， . / DCM+/CMD+/CDM=180 , / F+/ MPF+ / PMF=180 , 又. / PMF= /BMA= /CMD, . / MCD= / F .14 .如圖，已知 ABC是等邊三角形，點 D、E分別在BC、AC邊上，且 AE=CD , AD與BE相交于點 F.(1)線段AD與BE有什么關系？試證明你的結論.(2)求ZBFD的度數.ABD C考點：等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性而分析：(1)根據等邊三角形的性質可知 ZBAC= / C=60 ,AB=CA，結合AE=CD，可證明ABEA CAD, 從而證得結論；(2)根據 / BFD= ZABE+ / BAD

32、, / ABE= / CAD,可知/ BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 .解答：1(1)證明：.ABC 為等邊三角形，BAC= /C=60 , AB=CA .在 ABE和ACAD中， fAB=AC，ZBAE=ZC ABE CAD AD=BE .kAE=CD(2)解：./ BFD= / ABE+ / BAD,又 ABECAD ,/ ABE= / CAD ,/ BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 .15 .如圖，在 4ABC中，AB=BC , / ABC=90 , F為AB延長線上一點，點 E在BC上，BE=BF ,連接AE、EF 和CF, 求證：AE=C

33、F .考點：全等三角形的判定與性質.分析：根據已知利用SAS即可判定4ABECBF,根據全等三角形的對應邊相等即可得到AE=CF .解答：證明：. /ABC=90 , Z ABE= Z CBF=90 ,又.AB=BC, BE=BF , /.A ABE CBF (SAS). . AE=CF .16 .已知：如圖，在 4OAB 中，/AOB=90 , OA=OB ,在 EOF 中，/ EOF=90 , OE=OF ,連接 AE、BF .問 線段AE與BF之間有什么關系？請說明理由.考點：全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形.分析：可以把要證明相等的線段 AE, CF放到AEO, ABFO中考慮全等的條件， 由兩個等腰直角三角形得AO=BO, OE=OF,再找夾角相等，這兩個夾角都是直角減去ZBOE的結果，當然相等了，由此可以證明 AEOA BFO ;延長BF交AE于D,交OA于C,可證明/ BDA= / AOB=90 ，則AEBF.解答：解：AE與BF相等且垂直，理由：在AEO與ABFO中，. Rt AOAB 與 Rt OEF 等腰直角三角形， ，AO=OB , OE=OF , ZAOE=90 / BOE= / BOF , AEOA BFO, .-.AE=BF .延長BF