1、必修5 一元二次不等式及其解法【知識導圖】-元二次不等式的覷葉裁巴上)一元二次不等W的胡弟的據念及 三個“二次(之間的關系pT -元二次不等式及量就法H 一元三因不再看的策去HT基本愚空”三個一出”為系的應用1一元二欠不等式的實際芯冢b H分寸不善立的瑞主H基砒知識H*單的7慶不莓式的筋注H含卷觸一元二窗不等式的京口H%號砂的元二至不再森病分式不等式的第去背平高次不等之福主【目標導航】i.了解一元二次不等式的概念；次方程、二次函數之間的關系5.會求解方程根的存在性問題和不等式包成立問題;【重難點精講】重點一、一元二次不等式的概念及形式 (1)概念：我們把只含有一個未知數，并且知數的最高次數是

2、2的不等式，稱為一元二次不等(2)形式： ax2+ bx+ c0(aw 0)； ax2+ bx+ c0(a0)； ax2+ bx+ c0(aw0)或 ax2+bx+ c0或f(x)0),方程 ax2+bx+ c=0 的判別式 A= b24ac判別式A=b24ac20A= 0&0解/、等式f(x)0 或 f(x)0x|xx2_b、xxw 2aRf(x)0 x|xix0 與(x+ 1)(x+ 3)0 等價嗎？-0 與(2x 1)(x+ 2)0? f(x)g(x)0, E0? f(x) g(x)0? g x g xf x =0f(x) g(x)0 或g x W0fxgx00,fx=00? f(x)

3、g(x)2,1x2, x1不同情形下，y值的符號變化情況.(2)考查函數y=(x1)2(x+ 3),當x-3, 3x1時，y的取值正負情形.你發現了什 么規律？高次不等式：不等式最高次項的次數高于2,這樣的不等式稱為高次不等式.解法：穿根法將f(x)最高次項系數化為正數；將f(x)分解為若干個一次因式的積或二次不可分因式的積；將每一個一次因式的根標在數軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根穿過)；觀察曲線顯現出的f(x)的值的符號變化規律，寫出不等式的解集.【典題精練】考點1、一元二次不等式的解法例1 .求下列不等式的解集.2 一 81 一(1)

4、 3x 5x 2 0;(2) 4x 18x 0；42,八 12(3) 2x 3x 2 0;(4)2x 3x 5 0.【解析】2 _ _.(1)因為 3x 5x 2 x 2 3x 1 ,所以原不等式等價于x 2 3x 10,-1 一 一 解得2 x所以原不等式的解集為3(2)原不等式可化為4x2 18x81 0，配方得益|0，又(2x 9)20,所以(2x9)20,解得x 9,.所以原不等式的解集為xx 92244(3)原不等式可化為2x2 3x 2 0, 2因為2x2 3x 2 2 x 37 0何成立，所以原不等式的解集為 R.48(4)原不等式可化為x2 6x 10 0,因為x2 6x 10

5、 x 3 2 1 0何成立，所以原不等式無解，即原不等式的解集為 5點點睛：解一元二次不等式的一般步驟：第一步，將一元二次不等式化為一端為 0的形式(習慣上二次項系數大于0).，二步，求出相應一元二次方程的根，或判斷出方程沒有實根.卜三步，畫出相應二次函數示意草圖，方程有根的將根標在圖中.第四步，觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對比不等式中不等號的方向，寫出解集考點2、 三個二次”關系的應用例2.已知不等式a-3x-F6 4的解集為國|常.(1)求2b； (2)解關于方的不等式在一一(函+)# + 加4的解集為x|xb, 所以1和b是方程ax2-3x+2 = 0的兩個實數根，且b1；由根與

6、系數的關系，得a= 1, b=2；(2)所求不等式 ax2- ( ac+b) x+bc 0化為 x2- (2+c) x+2c0,即(x-2) (x-c) 2時，不等式(x-2) (x- c) 0的解集為x2xc；當c2時，不等式(x-2) (x- c) 0的解集為口匕乂2；當c=2時，不等式(x-2) (x- c) 0(aw0)解集的端點值是一元二次方程 ax2+bx+ c=0的根，也 是函數y= ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標.2 .注意靈活運用根與系數的關系解決問題.考點3、一元二次不等式的實際應用例3.【2020屆上海市崇明區高三第一次高考模擬】某輛汽車以x公里/小時速度在高速

7、公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全要求60 x 120)時，每小時的油耗(所需要的汽油量)為14500 一 x 100 升.5x(1)欲使每小時的油耗不超過9升，求x的取值范圍；(2)求該汽車行駛100公里的油耗y關于汽車行駛速度x的函數，并求y的最小值.14500【解析】(1)由題息，令三x 100 9 ,5x化簡得 x2 145x 4500 0,解得 45 x 100;又因為60 x 120,所以欲使每小時的油耗不超過9升，x的取值范圍是60,100 ；(2)設該汽車行駛100公里的油耗為y；2則 y 100 1 x 100 4500 =90000 1 80,(其中 60 x 120)

8、;x 5xx 909,J 11由 60 x 120，知；而,60 ,所以x=90時，汽車行駛100公里的油耗取得最小值為80升.9考點4、含參數的一元二次不等式的解法例4.【廣西賀州市2018-2019學年高二上學期期末】解關于x的不等式 ax2 (a 1)x 1 0(a R).【解析】 當a 0時，原不等式可化為 x 1 0,所以原不等式的解集為x|x 1.22當a 0時，判別式 a 1 4a a 1 .(1)當a 1時，判別式 0,原不等式可化為x2 2x 1 0,2即x 10,所以原不等式的解集為x|x 1.1,八,.1.一 0 ,此時-1,所以原不等式的解集為a, 1八一x| x 1.

9、 (3)當 0 a 1 時, a1此時1 1,所以原不等式的解集為 a(4)當a 1時，原不等式可化為“八1/ C原不等式可化為 x - x 1 。, ax| x(1 或x)3 .1，八 一 ，1x - x 10,此時1aa(2)當a 0時，原不等式可化為 x - x 1 a所以原不等式的解集為xix(；或x,1.綜上，a1時，不等式的解集是(-1 ) U (1, +8). a考點點睛：解含參數的一元二次不等式時:(1)若二次項系數含有參數，則需對二次項系數大于0與小于0進行討論;若求對應一元二次方程的根，需對判別式A進行討論;(3)若求出的根中含有參數，則應對兩根的大小進行討論.考點5、分式

10、不等式的解法例5.解關于x的不等式ax-J 0 x 2【解析】原不等式等價于ax 1 x 20 當a 0時，解集為 ,2當a 0時，原不等式可化為ax 1 x 2 0,因為1 2,所以解集為-,2 aa一1 .11當0a時，一2,解集為 ,2-,2aa一 1 一一 1. 一 _2當a 2時，原不等式等價于 -x 1 x 20,即x2 0,解集為 ,22,一 1.1 .1-(5)當a二時，2,解集為 ，2, 2 aa綜上所述，當a 0時，解集為 ,2 ；當a 0時，解集為1,2 ； a，1 -1當0 a ”解集為,2-,，1 1-；當, ”解集為12,考點點睛：1 .對于不等號一端為0的分式不等

11、式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解, 但要注意分母不為零.2 .對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項、通分（一般不要去分母），使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解.考點6、簡單高次不等式解法例6 .【上海市華東師范大學第二附屬中學 2016-2017年高一上學期第一次月考】 關于X的不等9992x 3 x 2 x 1式20152016 -0的解集為x 1 x 4【解析】0,如下圖所示:220159992016x 3 x 1 x 1 x 2 x 4原不等式等價于x 1 0x 4 03 U 1 U 1,2由高次不等式“奇穿偶不穿”的原則可知，原不等式的解集為

12、故答案為：，3 U 1 U 1,2穿根法求高次不等式的解集：（1）求解過程概括為：I化正I? I求根I? I標根I? I穿根I? I寫集I（注意端點值能否取到）.（2）化正”指不等式中未知數最高項的系數為正值.奇（奇次根）過，偶（偶次根）返回.考點7、不等式包成立問題例7.已知函數y m2 4m 5 x2 4（1 m）x 3 0對任意實數x包成立，則實數m的取值范 圍是.【答案】1,19）當 m2 4m 5 0, m 5或m 1.若m 5,則函數化為y 24x 3,對任意實數x不可能恒大于0.若m 1,則y 3 0恒成立.當m2 4m 5 0時，根據題意有2m 19m 4m 5 0,m，5或m

13、 1,22, 116(1 m) 12 m 4m 5 0,1 m 19, 綜上可知，實數m的取值范圍是1,19).故答案為1,19)a0水0 ；a0A0 ；a0水0 ；a0(a*0恒成立(或解集為R)時，滿足(2)ax2+bx+ c0aw0恒成立(或解集為R)時，滿足(3)ax2+bx+ c0(aw0恒成立(或解集為R)時，滿足(4)ax2 + bx+ c0 0恒成立(或解集為R)時，滿足2.含參數的一元二次不等式包成立.若能夠分離參數成kf(x)形式.則可以轉化為函數值域求解.設f(x)的最大值為M,最小值為m.(1)kf(x)恒成立？ kf(x)恒成立？ kM, k耳(x)恒成立？ kW.課

14、后訓練1. (2019年興慶區校級月考)不等式 6x2+x 200的解集為.因為6x2+x 20? (2x- 1)(3x+ 2)0,所以原不等式的解集為x -|x1 .322. (2019年北京模擬)設a-1,則關于x的不等式a(x-a) x-1 0的解集為 a因為 a1,所以 a(x a) x-1 0.又 aa,aaa，1 ,、所以xa或xa.13. (2019年合肥期中)已知關于x的不等式ax2+bx+c0的解集是x x萬，貝U ax2 bx+ c0的解集為1 一由題意，2, 2是萬程ax2+bx+ c= 0的兩個根且a0即為2x2 5x+20, 一 1解得2Vx0的解集為2x2 .4.若集合 A=x|-12x+13 , B= x x0 x,則APB等于(A. x|-1x0B.x|0x 1C. x|0 x2D.x|0x1【答案】B vA=x|-1x1, B=x|0x2, . AH B = x|0x0 1.5,若集合A=x|ax2ax+ 10=?,則實數a的取值集合是()A. a|0a4B. a|0a4C. a|0a4D. a|0a0時，相應二次方程中的 A