1、現代控制理論基礎1.4 1.4 由傳遞函數求狀態空間表達式由傳遞函數求狀態空間表達式 根據前面介紹的微分方程與狀態空根據前面介紹的微分方程與狀態空間表達式之間的變換關系，若已知傳遞間表達式之間的變換關系，若已知傳遞函數，可首先把傳遞函數變成微分方程，函數，可首先把傳遞函數變成微分方程，然后由微分方程與狀態空間表達式的變然后由微分方程與狀態空間表達式的變換關系。求出狀態空間表達式。換關系。求出狀態空間表達式。一、傳遞函數中沒有零點時的變換一、傳遞函數中沒有零點時的變換傳遞函數為：nnnnasasasbsG111)(系統的微分方程為：buyayayaynnnn1)1(1)(則根據上節公式，可直接寫

2、出狀態空間表達式。即：1.4.1 與微分方程形式直接對應的變換法與微分方程形式直接對應的變換法001 , 00 , 10001011CBAbaaann傳遞函數也可分解成下圖所示的結構。 選狀態變量為： )1()1(21111nnnybzxybzxybzx對應的狀態空間表達式為： 00 , 100 , 10001011baaannCBA 其中A陣和B陣為規范形式，這是能控標準形實現。它的模擬電路圖如下圖所示： 能控標準形實現的模擬圖 二、傳遞函數中有零點時的變換二、傳遞函數中有零點時的變換傳遞函數為：微分方程為：則根據上節公式，可直接寫出能控標準形。即：nnnnnnnnasasasbsbsbsb

3、sG1111110)(ububububyayayaynnnnnnnn1) 1(1)(01) 1(1)( 從傳遞函數的角度分析，這實際上是一種分子與分母直接分離分解法。設中間變量，可得：100 , 10001011BAaaann , 00110110bbabbabbabnnnnDC)()()()()()(sZsYsUsZsUsY式中 nnnnasasassUsZ1111)()(nnnnbsbsbsbsZsY1110)()( 分解式第一部分是系統結構決定的。當選分解式第一部分是系統結構決定的。當選中間變量中間變量z z及及z z的各階導數為一組變量時的各階導數為一組變量時, ,得到的得到的狀態方程

4、是能控標準形實現。即式中的狀態方程是能控標準形實現。即式中的A A和和B B陣。陣。顯然這是與系統結構相對應的一種規范形實現。顯然這是與系統結構相對應的一種規范形實現。 分解式第二部分表示狀態變量與輸出的關系，輸出y等于各狀態變量與輸入的線性組合，即式中的C和D陣。若傳遞函數等效為：nnnnnnnnasasasbsbsbsbbsG111112110)(式中), 2 , 1(),(0nibabbiii011 , bbbbnnDC此時，式中的C陣和D陣可直接寫成： 由此畫出的系統計算機模擬圖如圖所示。 能控標準形實現模擬圖例例: 已知系統的傳遞函數： 6512)(22sssssG試按能控標準形實現

5、寫出狀態空間表達式。解：由公式寫出能控標準形為：10 , 56101012BAaa 1 , 350001022bbabbabDC65531)(2ssssG5610A10B 3521bbC1D若將傳遞函數化成嚴格真有理分式，則 按簡化公式可得： ， mnasasasbsbsbsbsGnnnnmmmm )(1111110), 1 , 0( mibi00001bbbbmmC 一般情況下，系統輸出的階次高于輸入的階次，則 b0=0, 傳遞函數為嚴格真有理分式形式，即，式中 是任意常系數。同樣按以上方法C陣可以寫成此時，輸出僅是狀態變量的線性組合，與輸入無直接關系。)4)(2)(1(12)(sssssG

6、試按能控標準形實現寫出狀態空間表達式。 解：將傳遞函數整理成標準形式 322131023814712)(asasasbsbsssssG按上式寫出能控標準為：例：例：已知系統的傳遞函數100 , 7148100010100010123BAaaa021001bbC1.4.3 1.4.3 由傳遞函數部分分式法求狀態空間表達式由傳遞函數部分分式法求狀態空間表達式 本節主要介紹如何由傳遞函數的本節主要介紹如何由傳遞函數的分解分解構造狀態構造狀態空間表達式的方法。這種方法稱為部分分式法。空間表達式的方法。這種方法稱為部分分式法。下面根據傳遞函數極點的兩種不同情況分別加以下面根據傳遞函數極點的兩種不同情況分

7、別加以討論。討論。 1.傳遞函數無重極點的情況：其中：1011111( )G( )( )mmmmnnnnb sb sbsbY ssU ssa sasa1212nncccssslim( )()iiiscG s s()nm)(1)()(1)()(1)(2211sUssXsUssXsUssXnn)()()()()()()()()(222111sUsXssXsUsXssXsUsXssXnnnuxxuxxuxxnnn2221111212( )( )( )( )( )( )nncccY sG s U sU sU sU ssss1122( )( )( )nnc x sc xsc xs1122nnyc xc

8、xc x1110101nnnxxuxx 11nnxyccx對角線標準形對角線標準形各狀態積分器是并聯的。這種方法又稱并聯分解各狀態積分器是并聯的。這種方法又稱并聯分解。 注意：若對于注意：若對于m=n時的一般真有理分式。需要將時的一般真有理分式。需要將T-FT-F化為嚴格真有理分式的形式后再進行變換。化為嚴格真有理分式的形式后再進行變換。 即：即：( )( )( )Y sG sdU s11nnxyccdux例：已知例：已知 ，求，求S-ES-E。6512)(G22sssss1)3)(2(5316553)(G2sssssss12123ccss解：解： 先化為真有理式先化為真有理式uxxxx113

9、0022121uxxy2141 c1 = 1， c2 = 4111121111( )G( )( )()()nnnkkkY ssU sssssss2.2.傳遞函數有重極點時傳遞函數有重極點時 設設n階系統只有一個獨立的階系統只有一個獨立的n重極點重極點s1.則則G(s)由由部分分式法展開為：部分分式法展開為：111111lim ( )() (1, )(1)!iniissdkG s ssinids1111lim( )()nsskG s ss1121lim( )()nssdkG s ssds1213121lim( )()2nssdkG s ssds1121111( )( )()1( )( )()1(

10、 )( )()nnnX sU sssXsU sssXsU sss12123111( )( )()1( )( )()1( )( )nX sXsssXsXsssXsU sssuxsxxxsxxxsxxxsxnnnnn11113212211111112211000010000011000nnsxxsxxuxxs 約當標準形約當標準形nnxkxkxkty1212111)(nnxxxkkk2111211111121111( )( )( )( )( )( )()()()nnnY sG s U skkku su sU sssssss3.3.對于即有單根，又有重根的情況對于即有單根，又有重根的情況： 2324

11、1716G( )71612ssssss32)2()3)(2(16174)(G3122112sksksksssss例：例：解：解： k11 = 2， k12 = 3， k3 = 1 可根據以上兩種情況將可根據以上兩種情況將G(G(s s) )展開成部分分式，然后對展開成部分分式，然后對每一項分別選取合適的狀態變量，最后將兩部分合起每一項分別選取合適的狀態變量，最后將兩部分合起來寫出狀態空間表達式。來寫出狀態空間表達式。 uxxxxxx110300020012321321321132xxxy 若已知閉環系統的結構圖，如何由結構圖直接若已知閉環系統的結構圖，如何由結構圖直接建立系統的狀態空間表達式？

12、建立系統的狀態空間表達式？ 例：已知某系統的結構圖如下：例：已知某系統的結構圖如下：試建立系統狀態空間表達式。試建立系統狀態空間表達式。1.5 1.5 由結構圖建立狀態空間表達式：由結構圖建立狀態空間表達式：Y(s)U(s)s + zs + pks( s + a ) 利用結構圖的分解設置狀態變量,實質上就是將開環結構中的每個環節，分解成一階環節的形式，這樣 n階系統的n個狀態變量就可以從n個一階環節中直接選取。基本環節的狀態變量圖：基本環節的狀態變量圖： 狀態變量圖：將結構圖中每個積分器（或一階環節）的輸出選為狀態變量，來描述系統結構中各狀態變量關系的圖。它可以直接用作狀態模擬。一、基本環節結

13、構圖分解一、基本環節結構圖分解1 1、一階環節、一階環節 ( )1( )Y sszzpU sspspY(s)U(s)s + zs + p yudtpY(s)U(s)1s + p2、二階環節、二階環節 U(s)Y(s) n2s 2+2ns + n2U(s)Y(s) n2 s (s + 2n )1)U(s)Y(s)1s 2+2ns + n22)(21)()()()()(22zssssXsYsUsXsGnnU(s)Y(s)s+zs 2+2ns + n23)根據分子分母分離法： 221111222222( )122nnnnssb sbG sssss U(s)Y(s)s 2+2 1 1s + 12 s

14、2+2ns + n24)例：已知某系統的結構圖如下：例：已知某系統的結構圖如下：試建立系統狀態空間表達式。試建立系統狀態空間表達式。Y(s)U(s)s + zs + pks( s + a ) 解：解：（1 1）首先將結構圖中每個方框分解為單）首先將結構圖中每個方框分解為單環節的組合。即僅由慣性環節和積分環節的簡單形環節的組合。即僅由慣性環節和積分環節的簡單形式組合：式組合：（2 2）將每一個基本環節的輸出設為狀態變量）將每一個基本環節的輸出設為狀態變量Y(s)U(s)z ps + pks1s + ax1x2x3（3 3）寫狀態空間表達式。）寫狀態空間表達式。12231311( )( )( )( )( )( )( )( )( )X sXssakXsXsU sX sszpXsU sX sspY(s)U(s)z ps + pks1s + ax1x2x3upzkxxxpzpkkaxxx00001321321321001xxxy2022-3-745123( )111353( )331131y ssu sssssss 3121s 13s13s+uyx1x2x32022-3