1、矩形菱形正方形能力提升訓(xùn)練一、選擇題1. 在菱形ABCD中，AB=5cm，則此菱形的周長(zhǎng)為（）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm2. 如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，若ACB=30°，AB=2，則OC的長(zhǎng)為（）A. 2B. 3C. 2D. 43. 如圖，在菱形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=AF，過(guò)點(diǎn)E作EGAD交CD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FHAB交BC于點(diǎn)H，EG與FH交于點(diǎn)O當(dāng)四邊形AEOF與四邊形CGOH的周長(zhǎng)之差為12時(shí)，AE的值為（）A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 54. 如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，

2、DE與AC相交于點(diǎn)F，連接BF，下列結(jié)論：SABF=SADF；SCDF=4SCEF；SADF=2SCEF；SADF=2SCDF，其中正確的是（）A. B. C. D. 5. 如圖，已知ABC，AB=AC，將ABC沿邊BC翻轉(zhuǎn)，得到的DBC與原ABC拼成四邊形ABDC，則能直接判定四邊形ABDC是菱形的依據(jù)是（）A. 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B. 四條邊相等的四邊形是菱形C. 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形D. 對(duì)角線互相垂直的平分四邊形是菱形6. 如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，則ABC的周長(zhǎng)是（）A. 14 B. 16 C. 18 D. 207. 如圖，正方形ABCD中，

3、E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)EAB，AF=2AE，F(xiàn)C交BD于O，則DOC的度數(shù)為（）A. 60°B. 67.5°C. 75°D. 54°8. 如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，ADB=30°，AB=4，則OC=（）A. 5B. 4C. 3.5D. 39. 如圖，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，將ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上F處，則DE的長(zhǎng)是（）A. 3 B. C. 5 D. 10. 如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則關(guān)于四邊形EFGH，下列說(shuō)法正確的為（）A. 一定不是平行四

4、邊形 B. 一定不是中心對(duì)稱(chēng)圖形C. 可能是軸對(duì)稱(chēng)圖形 D. 當(dāng)AC=BD時(shí)它是矩形二、填空題11. 如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AEBD，垂足為點(diǎn)E，若EAC=2CAD，則BAE=_度12. 如圖，已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面積為_(kāi) 13. 如圖，將正方形紙片按如圖折疊，AM為折痕，點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)E處，則CME= _ 14. 如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=6，則菱形ABCD的高DH= _ 15. 如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形

5、ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為_(kāi)三、解答題16. 如圖，在RtABC中，B=90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC=2AB，BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，作AFBC，連接DE并延長(zhǎng)交AF于點(diǎn)F，連接FC求證：四邊形ADCF是菱形17. 已知：如圖，E為正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊上一點(diǎn)，且CE=CF，連接DE，BF求證：DE=BF18. 如圖，DBAC，且DB=AC，E是AC的中點(diǎn)，（1）求證：BC=DE；（2）連接AD、BE，若要使四邊形DBEA是矩形，則給ABC添加什么條件，為什么？19. 如圖，點(diǎn)P在矩形ABCD的對(duì)角線AC

6、上，且不與點(diǎn)A，C重合，過(guò)點(diǎn)P分別作邊AB，AD的平行線，交兩組對(duì)邊于點(diǎn)E，F(xiàn)和G，H（1）求證：PHCCFP；（2）證明四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，并直接寫(xiě)出它們面積之間的關(guān)系20. 某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行探究，已知AB=8問(wèn)題思考：如圖1，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和是定值嗎？若是，請(qǐng)求出；若不是，請(qǐng)求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點(diǎn)K，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，在APK、ADK、DFK中，是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由問(wèn)題拓

7、展：（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ=8若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABCD的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)（4）如圖3，在“問(wèn)題思考”中，若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BN=1，點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)及OM+OB的最小值答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. C5. B6. C7. A8. B9. C10. C11. 22.5  12. 24  13. 45°&#

8、160; 14. 4.8  15. 6  16. 證明：E是AC的中點(diǎn)，AE=CE，AFCD，AFE=CDE，在AFE和CDE中，AEFCED（AAS）AF=CD，AFCD，四邊形ADCF是平行四邊形由題意知，AE=AB，EAD=BAD，AD=AD，AEDABD（SAS）AED=B=90°，即DFAC四邊形ADCF是菱形  17. 證明：四邊形ABCD是正方形，BC=DC，BCD=90°E為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，DCE=90°，BCD=DCE在BCF和DCE中，BCFDCE（SAS），DE=BF&#

9、160; 18. （1）證明：E是AC中點(diǎn)，EC=ACDB=AC，DBEC（ 1分）又DBEC，四邊形DBCE是平行四邊形（3分）BC=DE   （4分）（2）添加AB=BC  （ 5分）理由：DBAE，四邊形DBEA是平行四邊形（6分）BC=DE，AB=BC，AB=DEADBE是矩形（8分）  19. 證明：（1）四邊形ABCD為矩形，ABCD，ADBCPFAB，PFCD，CPF=PCHPHAD，PHBC，PCF=CPH在PHC和CFP中，PHCCFP（ASA） （2）四邊形ABCD為矩形，D=B=90°又EFA

10、BCD，GHADBC，四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形EFAB，CPF=CAB在RtAGP中，AGP=90°，PG=AGtanCAB在RtCFP中，CFP=90°，CF=PFtanCPFS矩形DEPH=DEEP=CFEP=PFEPtanCPF；S矩形PGBF=PGPF=AGPFtanCAB=EPPFtanCABtanCPF=tanCAB，S矩形DEPH=S矩形PGBF  20. 解：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和不是定值設(shè)AP=x，則PB=8-x，根據(jù)題意得這兩個(gè)正方形面積之和=x2+（8-x）2=2x2-16x+64=2（x-4）2+

11、32，所以當(dāng)x=4時(shí)，這兩個(gè)正方形面積之和有最小值，最小值為32（2）存在兩個(gè)面積始終相等的三角形，它們是APK與DFK依題意畫(huà)出圖形，如答圖2所示設(shè)AP=a，則PB=BF=8-aPEBF，即，PK=，DK=PD-PK=a-=，SAPK=PKPA=a=，SDFK=DKEF=（8-a）=，SAPK=SDFK（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABCD的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)Q在DA邊上，若點(diǎn)P在點(diǎn)A，點(diǎn)Q在點(diǎn)D，此時(shí)PQ的中點(diǎn)O即為DA邊的中點(diǎn)；若點(diǎn)Q在DA邊上，且不在點(diǎn)D，則點(diǎn)P在AB上，且不在點(diǎn)A此時(shí)在RtAPQ中，O為PQ的中點(diǎn)，所以AO=PQ=4所以點(diǎn)O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90&

12、#176;的圓弧上PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示：所以PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為：×2×4=6（4）點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為3，OM+OB的最小值為如答圖4-1，分別過(guò)點(diǎn)G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)R、S、T，則四邊形GRTH為梯形點(diǎn)O為中點(diǎn)，OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS為定值點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑在與AB距離為4的平行線上MN=6，點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)O為GH中點(diǎn)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為線段XY，XY=MN=3，XYAB且平行線之間距離為4，點(diǎn)X與點(diǎn)A、點(diǎn)Y與點(diǎn)B之間的水平距離均為2.5如答圖4-2

13、，作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接BM，與XY交于點(diǎn)O由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知，此時(shí)OM+OB=BM最小在RtBMM中，MM=2×4=8，BM=7，由勾股定理得：BM=OM+OB的最小值為  【解析】1. 解：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AB=5cm，菱形的周長(zhǎng)=AB×4=20cm；故選C根據(jù)菱形的四條邊長(zhǎng)都相等的性質(zhì)、菱形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4解答本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)菱形的四條邊都相等，菱形的對(duì)角線互相垂直平分2. 解：在矩形ABCD中，ABC=90°，ACB=30°，AB=2，AC=2AB=2×2=4

14、，四邊形ABCD是矩形，OC=OA=AC=2故選A根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AC=2AB=4，再根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分解答本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3. 解：四邊形ABCD是菱形，AD=BC=AB=CD，ADBC，ABCD，EGAD，F(xiàn)HAB，四邊形AEOF與四邊形CGOH是平行四邊形，AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，AE=AF，OE=OF=AE=AF，AE=AF，BC-BH=CD-DG，即OH=HC=CG=OG，四邊形AEOF與四邊形CGOH是菱形，四邊形AE

15、OF與四邊形CGOH的周長(zhǎng)之差為12，4AE-4（8-AE）=12，解得：AE=5.5，故選C 根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ADBC，ABCD，推出平行四邊形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根據(jù)菱形的判定得出四邊形AEOF與四邊形CGOH是菱形，再解答即可此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的判定得出四邊形AEOF與四邊形CGOH是菱形4. 解：四邊形ABCD是正方形，ADCB，AD=BC=AB，F(xiàn)AD=FAB，在AFD和AFB中，AFDAFB，SABF=SADF，故正確，BE=EC=BC=AD，ADEC，=，SCDF=2SCEF，SADF=4SCEF，S

16、ADF=2SCDF，故錯(cuò)誤正確，故選C由AFDAFB，即可推出SABF=SADF，故正確，由BE=EC=BC=AD，ADEC，推出=，可得SCDF=2SCEF，SADF=4SCEF，SADF=2SCDF，故錯(cuò)誤正確，由此即可判斷本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型5. 解：如圖所示；將ABC延底邊BC翻折得到DBC，AB=BD，AC=CD，AB=AC，AB=BD=CD=AC，四邊形ABDC是菱形；故選B根據(jù)翻折得出AB=BD，AC=CD，推出AB=BD=CD=AC，根據(jù)菱形的判定推出即可本題考查了菱形

17、的判定和翻折變換的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AB=BD=CD=AC，題目比較典型，難度不大6. 解：在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，AB=BC，AOB=90°，AO=4，BO=3，BC=AB=5，ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=5+5+8=18故選：C利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理，正確把握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出AB是解題關(guān)鍵7. 解：如圖，連接DF、BFFEAB，AE=EB，F(xiàn)A=FB，AF=2AE，AF=AB=FB，AFB是等邊三角形，AF=AD=AB，點(diǎn)A是DBF的外接圓的圓心，F(xiàn)DB=FAB=30°，四

18、邊形ABCD是正方形，AD=BC，DAB=ABC=90°，ADB=DBC=45°，F(xiàn)AD=FBC，F(xiàn)ADFBC，ADF=FCB=15°，DOC=OBC+OCB=60°故選A解法二：連接BF易知FCB=15°，DOC=OBC+FCB=45°+15°=60°如圖，連接DF、BF如圖，連接DF、BF首先證明FDB=FAB=30°，再證明FADFBC，推出ADF=FCB=15°，由此即可解決問(wèn)題本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加輔助圓解

19、決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題8. 解：四邊形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，BAD=90°，ADB=30°，AC=BD=2AB=8，OC=AC=4；故選：B由矩形的性質(zhì)得出AC=BD，OA=OC，BAD=90°，由直角三角形的性質(zhì)得出AC=BD=2AB=8，得出OC=AC=4即可此題考查了矩形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)熟練掌握矩形的性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用9. 解：矩形ABCD，BAD=90°，由折疊可得BEFBAE，EFBD，AE=EF，AB=BF，在RtABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，根據(jù)勾股定理得：

20、BD=10，即FD=10-6=4，設(shè)EF=AE=x，則有ED=8-x，根據(jù)勾股定理得：x2+42=（8-x）2，解得：x=3，則DE=8-3=5，故選：C由ABCD為矩形，得到BAD為直角，且三角形BEF與三角形BAE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等得到EFBD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，由BD-BF求出DF的長(zhǎng)，在RtEDF中，設(shè)EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出DE的長(zhǎng)此題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵10. 【分析】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形的運(yùn)用，解題時(shí)注意：平行

21、四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理先連接AC，BD，根據(jù)EF=HG=AC，EH=FG=BD，可得四邊形EFGH是平行四邊形，當(dāng)ACBD時(shí)，EFG=90°，此時(shí)四邊形EFGH是矩形；當(dāng)AC=BD時(shí)，EF=FG=GH=HE，此時(shí)四邊形EFGH是菱形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可【解答】解：如圖，連接AC，BD，點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，EF=HG=AC，EH=FG=BD，四邊形EFGH是平行四邊形，四邊形EFGH一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形，當(dāng)ACBD時(shí)，EFG=90°，此時(shí)四邊形EFGH是矩形，當(dāng)AC=BD時(shí)，EF=FG=GH=H

22、E，此時(shí)四邊形EFGH是菱形，四邊形EFGH可能是軸對(duì)稱(chēng)圖形.故選C.11. 解：四邊形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，OB=OD，OA=OBOC，OAD=ODA，OAB=OBA，AOE=OAD+ODA=2OAD，EAC=2CAD，EAO=AOE，AEBD，AEO=90°，AOE=45°，OAB=OBA=67.5°，BAE=OAB-OAE=22.5°故答案為22.5首先證明AEO是等腰直角三角形，求出OAB，OAE即可本題考查矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)AEO是等腰直角三角形這個(gè)突破口，屬于中考常考題型12. 解：菱形

23、的面積=×6×8=24，故答案為：24直接根據(jù)菱形面積等于兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度的乘積的一半進(jìn)行計(jì)算即可本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有2條對(duì)稱(chēng)軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線菱形面積等于兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度的乘積的一半13. 解：四邊形ABCD是正方形，B=90°，ACB=45°，由折疊的性質(zhì)得：AEM=B=90°，CEM=90°，CME=90°-45°=45°；故答案為：45°由正方形的性

24、質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可得出結(jié)果本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)；熟練掌握正方形和折疊的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵14. 解：在菱形ABCD中，ACBD，AC=8，BD=6，OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3，在RtAOB中，AB=5，DHAB，菱形ABCD的面積=ACBD=ABDH，即×6×8=5DH，解得DH=4.8，故答案為：4.8根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出OA、OB，再根據(jù)勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面積列式計(jì)算即可得解本題考查了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)菱形的面積的兩種表示方法列出方程是解題的關(guān)鍵15. 解：設(shè)B

25、E與AC交于點(diǎn)P，連接BD，點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小即P在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長(zhǎng)度；正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，AB=6又ABE是等邊三角形，BE=AB=6故所求最小值為6故答案為：6由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，所以連接BD，與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn)此時(shí)PD+PE=BE最小，而B(niǎo)E是等邊ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，可求出AB的長(zhǎng)，從而得出結(jié)果此題主要考查軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，要靈活運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性解決此類(lèi)問(wèn)題16. 先證明AEFCED，推出四邊形ADCF是平行四邊形，再證明AEDABD，推出DFAC，由此即可證明本題考查菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型17. 根據(jù)正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，BC=CD、BCF=DCE=90°，又CE=CF，根據(jù)邊角邊定理BCF和DCE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明本題主要考查正方形的四條邊都相等和四個(gè)角都