1、第第6章章IIR IIR 數字濾波器的設計數字濾波器的設計內容內容v6.1 引言引言v6.2 將將DF的技術指標轉換為的技術指標轉換為ALF的技術指標的技術指標v6.3 模擬濾波器（模擬濾波器（ALF）的設計）的設計v6.4 脈脈沖響應不變法沖響應不變法v6.5 雙線性變換法雙線性變換法v6.6 設計設計IIR數字濾波器的頻率變換法數字濾波器的頻率變換法v總結總結 重點：脈沖響應不變法、雙線性變換法、頻率變換法脈沖響應不變法、雙線性變換法、頻率變換法 濾波的目的濾波的目的: 為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例 廣義濾波包括對信號的檢測與參量的估計信號的檢測信

2、號的檢測: 確定在干擾背景中信號是否存在信號參量的估計信號參量的估計: 為識別信號而確定信號的某一個或某幾個參量的估值6-1 引言引言一、數字濾波器的頻率特性一、數字濾波器的頻率特性濾波技術包括濾波技術包括:濾波器設計濾波器設計: 根據給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數濾波過程的實現濾波過程的實現： 獲得傳輸函數后，以何種方式達到對輸入信號的進行濾波的目的數字濾波器數字濾波器尋求一個因果穩定的線性時不變系統，使其系統函數H(z)具有指定的頻率特性具有某種特定頻率特性的線性時不變系統廣義上，任何線性時不變離散系統都是一個數字濾波器設計數字濾波器的任務設計數字濾波器的任務數字濾波器（數

3、字濾波器（DF）按頻率特性分類）按頻率特性分類 可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通，可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通，其特點為：其特點為： （1）頻率變量以數字頻率）頻率變量以數字頻率 表示，表示， ， 為模擬角頻率，為模擬角頻率，T為抽樣時間間隔；為抽樣時間間隔； （2）以數字抽樣頻率）以數字抽樣頻率 為周期；為周期； （3）頻率特性只限于）頻率特性只限于 范圍，這范圍，這是因為依取樣定理，實際頻率特性只能為抽樣頻率的是因為依取樣定理，實際頻率特性只能為抽樣頻率的一半。一半。T22Tfss2/s)e (Hj)e (Hj)e (Hj0c234023低通低通0c23高通高通帶通帶通)e (Hj

4、)e (Hj002233帶阻帶阻全通全通二、二、DF的性能要求（低通為例）的性能要求（低通為例）)e (Hj0通帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率阻帶截止頻率cst2111cst通帶容限通帶容限1阻帶容限阻帶容限2過渡帶過渡帶ps通帶阻帶過渡帶1通帶紋波（通帶允許最大衰減）通帶紋波（通帶允許最大衰減）阻帶紋波（阻帶允許最小衰減）阻帶紋波（阻帶允許最小衰減）)e (Hj0cst21通帶阻帶過渡帶)1lg(20| )(|lg20| )(| )(|lg20101ccjjjeHeHeH11)e (Hj0cst21通帶阻帶過渡帶2202lg20| )(|lg20| )(| )(|lg20ststjjje

5、HeHeH通帶通帶阻帶阻帶過渡帶過渡帶 平滑過渡平滑過渡,stc三、三、DF頻響的三個參量頻響的三個參量 1、幅度平方響應、幅度平方響應 2、相位響應、相位響應)()()()()(*2jjjjjeHeHeHeHeHjezzHzH)()(1)(Im)(Re)()()(jjejjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(1jjjeHeHtge| )(| )(|1 ,|01jjceHeH2| )(| ,|jsteH)()(ln21jjeHeHj3、群延遲、群延遲dedejj)()(它是表示每個頻率分量的延遲情況；當其為常數時，它是表示每個頻率分量的延遲情況；當其為常數時，就是表示每個頻率分量的延遲

6、相同。就是表示每個頻率分量的延遲相同。四、四、DFDF設計內容設計內容 1、按任務要求確定、按任務要求確定Filter的性能指標；的性能指標； 2、用、用IIR或或FIR系統函數去逼近這一性能要求；系統函數去逼近這一性能要求； 3、選擇適當的運算結構實現這個系統函數；、選擇適當的運算結構實現這個系統函數； 4、用軟件還是用硬件實現。、用軟件還是用硬件實現。IIR濾波器的系統函數通常可表示成的有理分式濾波器的系統函數通常可表示成的有理分式FIR濾波器的系統函數則可表示為的多項式濾波器的系統函數則可表示為的多項式五、五、IIR數字數字filter的設計方法的設計方法 1 1、借助模擬濾波器的設計方

7、法、借助模擬濾波器的設計方法（1）將）將DF的技術指標轉換成的技術指標轉換成AF的技術指標；的技術指標；（2）按轉換后技術指標、設計模擬低通）按轉換后技術指標、設計模擬低通filter的的 ； （3）將）將 （4）如果不是低通，則必須先將其轉換成低通）如果不是低通，則必須先將其轉換成低通 AF的技術指標。的技術指標。 2 2、計算機輔助設計法（最優化設計法）、計算機輔助設計法（最優化設計法） 先確定一個最佳準則，如均方差最小準則，先確定一個最佳準則，如均方差最小準則，最大誤差最小準則等，然后在此準則下最大誤差最小準則等，然后在此準則下 ， 確定系確定系統函數的系數。統函數的系數。3.直接在數字

8、域設計直接在數字域設計IIR4、根據傳輸函數的幾何特性，、根據傳輸函數的幾何特性， 采用零極點累試的方法進行設計采用零極點累試的方法進行設計) s (Ha)()(zHsHa 6-2 將將DF的技術指標轉換為的技術指標轉換為ALF的技術指標的技術指標一、意義一、意義 AF的設計有一套相當成熟的方法：設計公式；的設計有一套相當成熟的方法：設計公式；設計圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪設計圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。夫等。二、一般轉換方法二、一般轉換方法 1、數字低通數字低通-模擬低通模擬低通 2、數字高通數字高通-模擬高通模擬高通-模擬低通模擬低通 3、數字帶通、數字帶通

9、-模擬帶通模擬帶通-模擬低通模擬低通 4、數字帶阻數字帶阻-模擬帶阻模擬帶阻-模擬低通模擬低通ALFDLF ALFAHFDHFALFABFDBFALFABSFDBSF模擬濾波器的逼近模擬濾波器的逼近0通帶截通帶截止頻率止頻率阻帶截阻帶截止頻率止頻率psb2111psb)1log(20)11log(10121pA2| )(|H211222log20)11log(10sA與通帶衰減與通帶衰減Ap(或或通帶紋波通帶紋波)有關有關1與阻帶衰減與阻帶衰減As(或或阻帶紋波阻帶紋波)有關有關三、轉換舉例三、轉換舉例 例如，一低通例如，一低通DF的指標：在的指標：在 的通帶的通帶范圍，幅度特性下降小于范圍，

10、幅度特性下降小于1dB；在；在 的的阻帶范圍，衰減大于阻帶范圍，衰減大于15dB；抽樣頻率；抽樣頻率 ；試將這一指標轉換成試將這一指標轉換成ALF的技術指標。的技術指標。 解：按照衰減的定義和給定指標，則有解：按照衰減的定義和給定指標，則有2 . 03 . 0kHzfS101)e (H/ )e (Hlg202 . 0 j0 j15)e (H/ )e (Hlg203 . 0 j0 j 假定假定 處幅度頻響的歸一化值為處幅度頻響的歸一化值為1，即即01)e (H0 j這樣，上面兩式變為這樣，上面兩式變為1)(lg202 . 0jeH15)(lg203 . 0jeH由于由于 ，所以當沒有混疊時，根據

11、關系式，所以當沒有混疊時，根據關系式模擬模擬filter的指標為的指標為T),()()(jHTjHeHaaj1)102(lg20)2 . 0(lg203jHTjHaa15)103(lg20)3 . 0(lg203jHTjHaa6-3 模擬低通濾波器（模擬低通濾波器（ALF）的設計）的設計 ALF的設計就是求出的設計就是求出filter的系統函數的系統函數 H (s) ，使其逼近理想低通濾波器使其逼近理想低通濾波器(LF)的特性，逼近的形式的特性，逼近的形式（濾波器的類型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和（濾波器的類型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近依據是幅度平方函數，即由考爾型等。而且

12、逼近依據是幅度平方函數，即由幅度平方函數確定系統函數。幅度平方函數確定系統函數。一、由幅度平方函數確定系統函數一、由幅度平方函數確定系統函數 1、幅度平方函數、幅度平方函數由于由于 所以所以)()(*jHjH 其中，其中， 是是AF的系統函數，的系統函數， 是是AF的頻響，的頻響， 是是AF的幅頻特性。的幅頻特性。)()(| )(|)(*22jHjHjHAjssHsHjHjHjHA| )()()()(| )(|)(22)(sH)( jH| )(|jH2、H(s)H(-s) 的零極點分布特點的零極點分布特點 （1）如果）如果S1是是H（s）的極點，那么的極點，那么- S1就是就是H(-s)的極點

13、；同樣，如果的極點；同樣，如果S0是是H（s）的零點，那麼的零點，那麼- S0就是就是H（-s）的零點。所以的零點。所以H（s）H(-s)的零極點是呈的零極點是呈象限對稱的象限對稱的,例如：例如： （2）虛軸上的零點一定是二階的，這是因為）虛軸上的零點一定是二階的，這是因為ha（t）是實數時的是實數時的H（s）的零極點以共軛對存在；的零極點以共軛對存在； （3）虛軸上沒有極點）虛軸上沒有極點(穩定系統在單位圓上無極點穩定系統在單位圓上無極點)； （4）由于）由于filter是穩定的，所以是穩定的，所以H（s）的極點一定在的極點一定在左半平面；最小相位延時，應取左半平面的零點，如無左半平面；最小

14、相位延時，應取左半平面的零點，如無此要求，可取任一半對稱零點為此要求，可取任一半對稱零點為H（s）的零點。的零點。 ;1111jj;2222jj;3344jjj11j3322j22j11j4j4 j3、由、由 確定確定 H(s) 的方法的方法 （1）第一步）第一步 （2）分解）分解 H（s）H(-s) 得到各零極點，將左半面的得到各零極點，將左半面的極點極點 歸于歸于H(s)，對稱的零點任一半歸，對稱的零點任一半歸H(s)。若要求。若要求最小相位延時，左半面的零點歸最小相位延時，左半面的零點歸H(s)（全部零極點（全部零極點位于單位圓內）。位于單位圓內）。 （3）按頻率特性確定增益常數。）按頻

15、率特性確定增益常數。 22| )(|)(jHA22| )()()(2sAsHsH例例6-1 由由)36)(49/()25(16)(22222A確定系統函數確定系統函數 H(s)。解：解：所以，極點為所以，極點為 零點為零點為, 6s , 7s4, 32, 1, 5 j均為二階的。我們選極點均為二階的。我們選極點-6，-7，一對虛軸零點，一對虛軸零點5 j為為 的零極點，這樣的零極點，這樣)S(Ha由由 ，可確定出，可確定出 ，)0(A)0(Ha0K,76254)0(A所以所以 。4K0因此因此)36)(49()25(16| )()()(2222222sssAsHsHs)6)(7()25()(2

16、0sssKsH)0()0(AH6725)0(0KH42131004)6)(7()25(4)(222sssssssH二、巴特沃斯低通濾波器二、巴特沃斯低通濾波器 1、幅度平方函數、幅度平方函數其中，其中，N為整數，是濾波器的階數；為整數，是濾波器的階數； 為截止頻率。為截止頻率。當當 時，則時，則CC;21)()(22CaCjHA即即,2/1)(CajHdBjHjHCa3)(/ )0(lg20NCajjjHjHA2222)(11| )(| )(|)(（1）通帶內有最大平坦的幅度特性；）通帶內有最大平坦的幅度特性；（2）不管）不管N為多少，都通過為多少，都通過 點。點。)3(2/1dB2、幅頻特性

17、、幅頻特性)j (Ha1.02/10N=2N=4N=8cNCajjjHjHA2222)(11|)(|)(|)(3、巴特沃斯、巴特沃斯filter的系統函數的系統函數)(SHa由于由于 所以其零點全部所以其零點全部在在 處；即所謂全極點型，它的極點為處；即所謂全極點型，它的極點為,)(1/1)()(2NCaajSSHSHS,)() 1()21221(21NkjCCNkejSNk2 , 2 , 1 也就是說，這些極點也是呈象限對稱的。而且分布也就是說，這些極點也是呈象限對稱的。而且分布在巴特沃斯圓上（半徑為在巴特沃斯圓上（半徑為 ），共有），共有2N點。點。C)2,.,2 , 1,1() 12(N

18、kekj例如，例如，N=2時，時，,431jCeS,eS45jC2,eS47jC3N=3時，時，,eS35jC4;eS49jC4,eS32jC1,eSjC2,eS34jC3,eS2jC537jC6eSj2N 1S2S3S4S1S2S3S4S5S6Sj3N NkeSkjck2,.,1,)41221(取取 左半平面的極點為左半平面的極點為 的極點，的極點，這樣極點僅有這樣極點僅有N個，即個，即其中，常數其中，常數 由由 的低頻特性決定。的低頻特性決定。)()(SHSHaa)(SHaNkeSNkjCk, 2 , 1,)21221( 則則NkkaSSKSH10)()(0K)(SHa23j21eS34j

19、3例例6-2導出三階巴特沃斯導出三階巴特沃斯LF的系統函數，設的系統函數，設s /rad1C解：解：所以所以)1(6622111/1)()(jjjHA其極點為其極點為6 , 2 , 1k,eS)61k221( jk 因此有因此有,23j21eS32j1, 1eSj2,23j21eS35j4, 1eS2j523j21eS37j6取前三個極點，則有取前三個極點，則有1S2S2SK) 1S)(23j21S)(23j21S(K)S(H2300a)1/(1)()(6ssHsHaa, 1)0(AK)0(H0a1S2S2S1)S(H23a4、歸一化的系統函數、歸一化的系統函數 如果將系統函數的如果將系統函數

20、的S, 用濾波器的截止頻率去除，這用濾波器的截止頻率去除，這樣對應的截止頻率變為樣對應的截止頻率變為1，即所謂歸一化，相應的系統，即所謂歸一化，相應的系統函數稱作歸一化的系統函數記作函數稱作歸一化的系統函數記作 例如，對于巴特沃斯例如，對于巴特沃斯filter)S(Han,)SS(K)S(HN1kk0a)N21k221( jCkeSN, 2 , 1k )21221(10,)()(NkjkCNkkaneSSSSSKSH 如果將低通如果將低通filter歸一化，就稱作歸一化原型歸一化，就稱作歸一化原型 濾波器。濾波器。三、歸一化原型三、歸一化原型filter的設計的設計 不論哪種形式（巴特沃斯，切

21、比雪夫）的濾波器，不論哪種形式（巴特沃斯，切比雪夫）的濾波器，都有自己的歸一化原型濾波器，而且它們都有現成的數都有自己的歸一化原型濾波器，而且它們都有現成的數據表可查和設計公式據表可查和設計公式 例如，歸一化巴特沃斯原型濾波器的系統函數（這例如，歸一化巴特沃斯原型濾波器的系統函數（這里的里的S即即 ）為）為當當 ,增益為增益為1，則有，則有 ，N=110階的各階的各個系數，如表個系數，如表6-4（P261）所示。）所示。 如果如果 ，則，則 E（s）多項式如表）多項式如表如表如表6-4。 * 由歸一化系統函數由歸一化系統函數 得得 ，只需將，只需將S代代入入 即可。即可。S01ad00)S(E

22、/d)S(H0an) S(Han)S(HaC/S NNNanssasasadsH1122101)()(/)(0sEdsHan6-4歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性1sA2pA例：四、設計舉例（巴特沃思濾波器）四、設計舉例（巴特沃思濾波器） 1、技術指標、技術指標 2、計算所需的階數及、計算所需的階數及3dB截止頻率截止頻率將技術指標，代入上式，可得將技術指標，代入上式，可得1)102 j (Hlg203a15)103 j (Hlg203a)(1/1)j (HN2C2a)(1lg10)j (Hlg20N2Ca1)102(1lg10N2C315)103(1lg1

23、0N2C3解上述兩式得：解上述兩式得：1 . 0N2C310)102(15 . 1N2C310)103(1因此，因此，3C1004743. 7,8858. 5N取取N=6，則，則3C100321. 73、 的求得的求得查表，可得查表，可得N=6時的歸一化原型模擬巴特時的歸一化原型模擬巴特沃斯沃斯LF的系統函數為的系統函數為3456anS1416202. 9S4641016. 7S8637033. 3S/(1)S(H) 1S8637033. 3S4641016. 72) 1S4142135. 1S)(1S51763809. 0S/(122)1S931851652. 1S(2)(sHa將將S用用

24、代入，可得代入，可得3C100321. 7/SS)S(Ha)104504.49S1064003. 3S/101 .120923)S(H6328a)104504.49S1058498.13S)(104504.49S1094475. 9S(632632 切比雪夫濾波器是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋切比雪夫濾波器是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。波動的濾波器。 在通帶波動的為在通帶波動的為I型切比雪夫濾波器，在阻帶波動的為型切比雪夫濾波器，在阻帶波動的為II型切比雪夫濾波器。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾型切比雪夫濾波器。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響

25、應的幅頻特性不如后者平坦。切比波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應曲線之間的誤差最小，雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內存在幅度波動。但是在通頻帶內存在幅度波動。五、切比雪夫濾波器五、切比雪夫濾波器v1.切比雪夫切比雪夫I型濾波器型濾波器)/(11| )(|222cNaCjH幅度平方函數幅度平方函數1|cosh),cosh(1|),arccoscos()(xNarxxNxCN.12)()(1)(1),()(2)(221011xxCxxCxCNxCxxCxCNNN2.切比雪夫切比雪夫II型濾波器型濾波器222)/(/

26、 )/(11| )(|sbNcsbNaCCjHv其中其中 是阻帶的下邊頻是阻帶的下邊頻sb幅度平方函數幅度平方函數$6-4 沖激響應不變法 模擬濾波器設計完畢以后，再將模擬濾波器設計完畢以后，再將H（s）變換成）變換成H（z），也就是將），也就是將s平面映射到平面映射到z平面。平面。通常有三種方法：通常有三種方法：（1）沖激響應不變法；）沖激響應不變法；（2）階躍響應不變法；）階躍響應不變法；（3）雙線性變換法。）雙線性變換法。一、沖擊響應不變法原理一、沖擊響應不變法原理 h（n）為）為DF的單位沖激響應序列，的單位沖激響應序列， 為為AF的的沖激響應，沖激響應不變法就是使沖激響應，沖激響應不

27、變法就是使h（n）正好等于）正好等于 的抽樣值，即的抽樣值，即如果如果 則有則有上式表明，先對上式表明，先對 沿虛軸作周期延拓，再經過沿虛軸作周期延拓，再經過的映射關系映射到的映射關系映射到Z平面。平面。二、混迭失真二、混迭失真 DF的頻響并不是簡單的重復的頻響并不是簡單的重復AF的頻響，而是的頻響，而是AF的頻響的周期延拓，即的頻響的周期延拓，即 ) t (ha) t (ha)nT(h)n(ha),n(hZ)Z(H),t (hL)S(HaakaeZkTjSHTzHST)2(1)()S(HaSTeZ haj)Tk2j (HT1)e (H根據取樣定理，只有當根據取樣定理，只有當AF的頻響帶限于折

28、疊頻率以內的頻響帶限于折疊頻率以內時，即時，即才能使才能使DF在折疊頻率在折疊頻率 內重現內重現AF的頻響，而不產生混的頻響，而不產生混疊失真。但是，任何一個實際疊失真。但是，任何一個實際AF的頻響卻不是嚴格帶的頻響卻不是嚴格帶限的，就會產生混迭失真，如下圖限的，就會產生混迭失真，如下圖2T, 0)j (HSa)T/j (Ha022三、三、AF的數字化方法的數字化方法 1、一般方法、一般方法 。先。先 ，再對，再對抽樣，使抽樣，使 ，最后，最后 H（Z）=Zh（n），一，一般說來過程復雜。般說來過程復雜。 2、方法的簡化、方法的簡化 設設 只有單階極點，而且分母的階次大于分只有單階極點，而且分

29、母的階次大于分子的階次，子的階次， 可展成如下的部分公式可展成如下的部分公式)Z(H)S(Ha)S(HL) t (ha1a) t (ha)nT(h)n(ha)S(Ha)S(HaN1kkkaSSA)S(HN1ktSka1a) t (ueA)S(HL) t (hk因此，因此，N1kN1knTSknTSka)n(u)e (A)n(ueA)nT(h)n(hkknnZ)n(h)n(hZ)Z(H0nN1kkn1TSA)ze (kN1k0nn1TSk)ze (AkN1k1TSkZe1Ak3、幾點結論、幾點結論（1）S平面的單極點平面的單極點 變為變為Z平面單極點平面單極點 就可求得就可求得H（Z）。）。（2

30、）Ha(s) 與與H（Z）的系數相同，均為）的系數相同，均為（3）AF是穩定的，是穩定的，DF也是穩定的。也是穩定的。（4）S平面的極點與平面的極點與Z平面的極點一一對應，但兩平面的極點一一對應，但兩平面并不一一對應。平面并不一一對應。例如，零點就沒有這種對應關系。例如，零點就沒有這種對應關系。4、修正的、修正的H（Z）由于由于DF的頻響與的頻響與T成反比，當成反比，當T很小時，很小時，DF的增益的增益過高，這樣很不好，為此做如下修正：過高，這樣很不好，為此做如下修正：kSSTSkeZkA)nT(Th)n(haN1k1TSkZe1TA)Z(Hkkaaj),Tj (H)kT2jTj (H)e (

31、H例例6-3 AF的系統函數為的系統函數為 ，試用沖激響應不變法，設計試用沖激響應不變法，設計IIRDF，T=1解：解： 設設T=1，3S11S1)S(HaT31T1eZ1TeZ1T)Z(H42311311T3111eZ)ee (Z1)ee (ZeZ11eZ11)Z(H08315679. 0e ,049789068. 0e ,367879441. 0e431211Z01831. 0Z4177. 01Z3181. 0)Z(H通常，信號大都為時限的，據信號理論可知，時限信號變換到頻域， 將變成非帶限信號，系統也遵循這一原則。這樣當用沖激響應不變法設計DF時，不可避免的產生混疊失真。為了克服混疊失真

32、，可采用雙線性變換法。這種方法的基本思想是，先將 S 平面中非帶限的所設計的系統函數變換到 S1平面，并使其為帶限的，然后再轉換到Z平面。一、變換原理一、變換原理 在S平面與Z平面的映射關系中,我們知道，S平面中一條寬為 （如 到 ）的橫帶就可以變換到整個Z平面.因此，可先將整個S平面壓縮到一個中介的 平面的一條橫帶里，再通過 將此橫帶變換到整個Z平面上。這樣就使S平面和Z平面是一一映射關系。如下圖所示：1ST2TTTSeZ1$6.5 $6.5 雙線性變換法雙線性變換法S平面S1平面Z平面 時，將由 經過0變到 由上圖可知，將 S平面進行壓縮，實際上，就是將其 軸壓縮到 平面的 軸上的 到 的

33、范圍內。這可通過正切變換實現：1Sj1jTT)2(1TtgC 其中C為任意常數。由上式可知，當 由 經過0變到1TT通過歐拉公式，可得：CeeeejTjTjTjTj22221111 上式表示兩個線性函數之比，稱雙線性變換雙線性變換將上式關系延拓到整個S和 平面，則有：1SCeeSTSTS1111借助于 平面和Z平面的映射關系： ，可以得到：1STSeZ1111111ZZCZZCSSCSCZ1,111111Czzzzs1,11Cssz1,1111CeesTsTsZS 二、 S平面與Z平面的映射關系由于jCjCSCSCZ可得：2222)()(CCZ（1）當 時， ；這就是說，S平面的 軸映射Z平面

34、的單位圓上。01Zj（2）當 時，上式的分母大于分子，則有 ；這表明S左半平面映射到Z平面的單位圓內。兩者均是穩定的。01Z三、 變換常數C的選擇 由于 ，所以只有當 很小（一般）， 和 之間才存在線性關系，即：)2(1TtgCT13 . 01T12/1TC1.如果使AF和DF在低頻處有較確切的對應關系，則選擇 1這時有 ，即:2/11TCTC22.如果使DF的某一穩定頻率（如 ）與AF的一特定頻c嚴格相對應，則有)2()2(1ccctgCTtgCTcc1率即2ccctgC1121111ZZTZZCSSTSTSCSCZ22四、雙線性變換的特點四、雙線性變換的特點1、S平面的虛軸（ ）映射到Z平

35、面的單位圓上。這是因為 時，不管常數C為何值， 均為1j0Z2、穩定的AF，經雙線性變換后所得DF也一定是穩定的，這是因為穩定的AF，其極點必全部位于S的左半平面上，經雙線性變換后，這些極點全部落在單位圓內。3、其突出的優點是避免了頻響的混疊失真。說明如下：將 代入雙線性變換公式，且 則jeZTC22222cossin2112tgTjjTeeTSjj22tgTjj即亦即)2(21Ttg 從 時，則 從 ；這就是說，S平面的正虛軸被映射到Z平面的單位圓的上半部00 從 時，則 從 ；這就是說，S平面的負虛軸被映射到Z平面的單位圓的下半部00也就是說，從S平面到Z平面，頻率軸是單位變換關系，而且當

36、時，為折疊頻率，所以不會有高于折疊頻率的分量，因此不會產生混疊失真。)2(2tgT變換關系近似于線性，隨著 的增加， 表現出嚴重 非線性 。因此，DF的幅頻響應 相對于AF的幅頻響應會產生畸變。只有能容忍或補償這種失真時，雙線性變換法才是實用的。4.頻率的非線性失真從 的關系曲線可以看出，在零頻附近， 與 之間的)( f)2(2tgT五、五、 基于雙線性變換法的基于雙線性變換法的IIR設計方法設計方法1、直接代入法、直接代入法 只需將 代入AF系統函數 就可得到DF的系統函數 ，即)1/()1 (11ZZCS)(SHa)(ZH)1/()1(11)()(ZZcsaSHZH2.間接代入法間接代入法

37、先將 AF的系統函數分解成級聯或并聯形式，然后在對每一個子系統函數進行雙線性變換。例如miSHZHZHZHZHZHSHSHSHSHZZcsaiimamaaa,.,2 , 1,)()()().()()()().()()()1/()1 (212111并聯形式與上述類似例：利用雙線性變換法設計巴特沃斯型數字低通濾波器例：利用雙線性變換法設計巴特沃斯型數字低通濾波器設計濾波器的幅度響應與相位響應$6.6 $6.6 設計設計IIRIIR數字濾波器的頻率變換數字濾波器的頻率變換法法進行頻率變換的兩種方法： v這種簡化方法與直接第一種相比，省去了中間環節，設計過程簡單。第一種方法的簡化形式：第一種方法的簡化

38、形式： 一、從一、從S域到域到Z域的頻率變換法域的頻率變換法v1、從歸一化模擬低通濾波器原型到數字高通濾波器的頻率變換法變換關系：變換關系：2、從歸一化模擬低通濾波器原型到數字帶通濾波器的頻率變換法、從歸一化模擬低通濾波器原型到數字帶通濾波器的頻率變換法 s l s u l u 0 帶通幅度響應中心頻率低通幅度響應 c s b00數字帶通到模擬低通的映射關系00) 1 (00sezjjsz1, 0) 2 (模擬低通與數字帶通的頻率變換曲線模擬低通與數字帶通的頻率變換曲線數字濾波器阻帶通帶阻帶阻帶通帶模擬濾波器阻帶模擬低通濾波器與數字帶通濾波器的頻率變換關系模擬低通濾波器與數字帶通濾波器的頻率變

39、換關系直接由歸一化模擬低通原型求數字濾波器的頻率變換公式表直接由歸一化模擬低通原型求數字濾波器的頻率變換公式表見表見表6-8二、數字域頻率變換法數字域頻率變換法 v在已知數字低通濾波器時，通過在Z域內的數字頻域變換得到所需類型的數字濾波器 則：v（1）為滿足一定的頻率響應要求，z域的頻率必須變換成Z域的頻率，也就是說平面的單位圓必須映射到Z平面的單位圓上；v（2）為保證因果穩定的系統變換到因果穩定的系統，要求單位圓內部映射到Z的單位圓內部。v（3）由于是的有理函數，要求變換函數必須是的有理函數。由低通數字濾波器變換成各種類型數字濾波器的公式和參數見：表6-9$6.7 數字陷波器設計數字陷波器設

40、計 v也被稱為點阻濾波器一種特殊的帶阻濾波器，其阻帶在理想情況下只有一個頻率點主要用于消除某個特殊的頻率干擾在各種測量量器和數據采采系統中用于消除除電干擾的工頻陷波器一般為IIR濾波器v設計方法雙線性變換進行設計零極點累試的方法1陷波器的頻率特性陷波器的頻率特性2.利用雙線性變換設計數字陷波器利用雙線性變換設計數字陷波器 已知二階模擬陷波器的傳輸函數為：202202)(BssssH則二階數字陷波器的傳輸函數為1 ()1 (2)1 ()1 ()1 (2)1 (| )()(11zBzBzzsHzHzzs可改寫成： 其中： 0cos)2/tan(1)2/tan(1BWBW3零極點累試的設計方法零極點累試的設計方法（1）基本方法IIR系統函數：由于零極點的共軛成對，考慮二階： 二階系統的零極點分布：IIR數字濾波器設計總結數字濾波器設計總結v一、IIR數字濾波器設計