1、第一章 函 數irichlet，1805年1859年）給出了函數的現代定義。在數學的龐大家族中，主要以函數為研究對象的數學分支有“微積分學”、“實變函數論”、“復變函數論”等；而函數思想方法作為一種基本的數學觀念已滲透到數學、自然科學、經濟科學和管理科學等各個領域。函數是近代數學的基本概念之一，是微積分學研究的對象。高等數學就是以函數為主要研究對象的一門數學課程；其中極限是貫穿高等數學始終的一個重要概念，它是這門課程的基本推理工具；連續則是函數的一個重要性態，連續函數是高等數學研究的主要對象。基本內容：基本概念：映射與函數概念；函數的圖象與幾何特性（有界性、單調性、周期性、奇偶性）；基本初等函

2、數、初等函數、復合函數、分段函數以及反函數概念。基本運算：函數的定義域；函數的四則運算及其復合運算；函數的圖形變換等。基本理論：對應法則。具體應用：函數在具體問題中的應用。本章重點：函數的概念，基本初等函數及定義域、圖象、簡單性質等課標導航1掌握數集的定義及表示法，并能用鄰域表示實數。2掌握實數絕對值的定義與簡單性質，并能用不等式和絕對值表示實數的范圍。3掌握函數的概念，重點是定義域、對應法則、值域環節。4理解并能熟記基本初等函數的定義、定義域、解析式、值域、圖象和性質。5搞清楚復合函數的概念、復合與分解。側重于分解。6了解分段函數的概念、反函數概念。7領會初等函數的概念，把握函數的特性。一、

3、知識梳理與鏈接（一）基本概念1實數、絕對值、集合 實數人們的實踐活動總是要與數打交道，它是數學中最重要基本的對象。數可歸納為【注】在高等數學中，所遇到的數基本上是實數。 絕對值絕對值是表示數在數軸上的對應點到原點的距離，函數的定義域或區間范圍及其鄰域等往往用絕對值表示。數的絕對值定義為 鄰域【定義】以點為中心的任何開區間稱為點的鄰域，記為設是任一正數，則開區間就是點的一個鄰域，這個鄰域稱為點的鄰域，記作 ，即 其中：點稱為這個鄰域的中心，稱為這個鄰域的半徑。由于相當于，因此因為表示點與點間的距離，所以表示：與點距離小于的一切點的全體。點的鄰域去掉中心后，稱為點的去心鄰域，記作 ，即 這里是表示

4、集合集合是數學上一個最基本的概念，數學的每一個分支都離不開它。按照某一法則規定的研究對象的全體稱為集合，集合里的各個對象稱為這個集合的元素。元素是構成集合的事物或對象，集合是一個基本的數學工具，應用越來越廣泛。集合的種類很多，常用到的有以元素多少的分類 全集：研究的所有事物全體構成的集合，記為或 【注意】全集是相對的，在一定條件下是，在另一條件下則不是空集：不包括任何元素的集合。記為或子集：若的元素都是集的元素（，則），稱為的子集，記為2映射【定義】設、是兩個非空集合，如果存在一個對應法則，使得對中每個元素，按法則，在中有唯一的元素與之對應，則稱為從到的映射，記作3函數的定義【定義】設數集，則

5、稱映射：為定義在的函數，通常簡記為 ，其中稱為自變量，稱為因變量，稱為定義域，記作，即【定義】設有兩個變量和，若按照某種對應規則或規律，變量在數集中每取一個值，變量就有一個確定的值與之對應，則稱變量是變量的函數，通常簡記為 ，其中稱為自變量，稱為因變量，稱為定義域，記作，即.4.顯函數、隱函數、復合函數、參數方程所確定的函數、反函數、分段函數給定的函數基本上是用公式表示的，因為這種表示法便于理論上的分析研究，而用公式表示的函數尤以顯函數、隱函數、復合函數、參數方程所確定的函數、分段函數為多見。顯函數：形如 ， 的給定的函數，則稱為的顯函數。隱函數：若自變量為的函數是由方程 確定的，則稱為的隱函

6、數。參數方程所確定的函數：設為參變量，若自變量為的函數是由方程組 確定的，則稱為由參數方程所確定的的函數。復合函數：設函數的定義域，函數的定義域，值域，而且，那么經過中間變量而成為的函數，這種函數稱為由與復合而成的復合函數。記作 分段函數：在不同的定義區間內用不同的解析式表示的函數，稱為分段函數。反函數：設函數的定義域，值域，如果對于任意，存在唯一，使，則有反函數，且與相反的對應法則稱為的反函數，記作 習慣上記作5幾個常用的函數常函數：形如的函數，其中為常數，稱為常函數。絕對值函數：形如的函數，稱為絕對值函數。符號函數：函數，稱為符號函數取整函數：函數（設為任一實數，不超過的最大整數稱為的整數

7、部分，記作）稱為取整函數6基本初等函數【定義】冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數這五大類函數統稱為基本初等函數。7初等函數【定義】由基本初等函數經過有限次的四則運算及有限次復合而成的函數，且能用一個解析式表示的函數稱為初等函數。（二）性質、法則、公式1.實數的基本性質有序性：任意兩個實數，之間有且僅有三種關系之一成立.；.；.稠密性：任意兩個實數，不論相差多么小，在它們之間一定存在著另外無限多個有理數（或無理數）。連續性：全體實數與數軸上的全體點之間有著一一對應關系。因此實數充滿整個數軸而沒有空隙，實數可以用數軸上的點來表示。正因為這個原因，常把點和實數混同使用，不加以區別。2.

8、集合的運算有：并、交、差和補；并和交都滿足交換律、結合律；并對交或交對并具有分配律。3.函數的四則運算設函數，的定義域分別為，且， 則和（差）：積：商：4函數的特性函數的有界性給定函數，且，如果存在一個正數集，對于所有，有 成立，則稱函數在上有界。否則，稱函數在上無界【注意】在上有界的函數的圖形，在上的那一條曲線必介于兩條平行于軸的直線之間。函數的單調性給定函數，且，如果對于任意，有，則稱函數在內是單調增加（或單調減小）.一般地，函數在內是單調增加（或單調減小）時，它的圖形沿著軸的正向是一條不降（或不升）的曲線。【性質】兩個單調增加（減少）函數之和是單調增加（減少）函數；兩個正單調增加（減少）

9、函數的乘積是單調增加（減少）函數；函數是單調增加的充分必要條件是是單調減少函數；函數（）是單調增加的充分必要條件是是單調減少函數；單調增加（減少）函數的反函數存在，且也是單調增加（減少）函數；若及都是單調增加，則也是單調增加；若及都是單調減少，則也是單調增加.函數的奇偶性設函數的定義域關于原點對稱，如果對于任意一個有恒成立，稱函數為偶函數；如果對于任意一個有恒成立，稱函數為奇函數.函數的周期性給定函數，定義域，如果存在一個正數，對于所有，有 其中：，則稱為函數為在上的周期函數。滿足上述關系的稱為函數的周期，通常我們所說周期函數是指最小的正周期。單值性與多值性對于定義域內每一個值，只確定一個值的

10、函數就是單值性，否則就是多值性。二、友情提醒與內容強化解讀我們所采用的函數定義是前兩世紀由俄羅斯偉大數學家羅巴契夫斯基（，17931856）及德國數學家狄利克雷（Dirichlet，18051859）引入的，且很快獲得數學界的普遍承認。1絕對值不等式實質上是以點為中心，長度為的開區間，即點的鄰域；對一個量進行估量時，也常是以絕對值不等式的形式出現的。2集合通常是研究某些具有共同特性的事物組成的集體，是個原始的概念，不加以定義的。它是表示具有某種屬性的事物的全體，或是一些確定對象的全體。即明確范圍，確定了對象的全體。3理解映射時，必須把握構成映射具備的三要素：集合，即定義域；集合，即值域；對應法

11、則，使對每個，有唯一確定的與之對應。 對每個，元素的像是唯一；而每個，元素的原像不一定是唯一的；映射的值域是的一個子集，即，不一定4掌握函數時必須深刻領會在函數定義中，對每個，對應法則，總有唯一的確定值與之對應，這個值稱為函數在處的函數值，記為，即，因變量與自變量之間的這種依賴關系，通常稱為函數關系。記號和的含義是有區別的：前者表示自變量和因變量之間的對應法則，而后者表示與自變量對應的函數值，但為了敘述方便，習慣上常用記號“，”或“，”來表示定義在上的函數，這時應理解為由它所確定的函數函數是從實數集到實數集的映射，其值域總在內，因此構成函數的要素是：定義域及對應法則.如果兩個函數的定義域相同，

12、對應法則也相同，那么這兩個函數就是相同的，否則就是不同。表示函數的方式沒有任何限制，因此，不要認為函數就是式子。式子只是表示函數的一種主要形式，表示函數還可以用圖形、列表、語句等其它形式。理解函數時必須細心搞清楚函數的定義域。要注意和不同，前者是函數的記號，表示一個變量，后者是函數值，表示一個數。建立一個函數時最重要的問題是尋找變量之間的對應法則，但解決這個問題沒有一個統一的方法，必須對具體問題具體分析，分析問題中的數量關系。5學習函數定義之后，絕不能認為：“有兩個變量，一個變，另一個也變，兩個變量就成函數關系”。這種說法很不確切。我們知道，函數關系是反映物質運動過程中兩個變量的相互聯系及其依

13、從關系。定義中告訴我們：自變量在什么范圍內（定義域上）取值；因變量按怎樣的法則（對應規律）被確定；值域.這是確定兩個變量是否成函數關系的三要素。很明顯，定義域和對應規律確定了，函數的值域也就確定了。因此，定義域與對應規律是確定函數的必不可少的要素。只有當這兩點完全確定，我們才稱兩個變量成函數關系，更清楚地說變量是自變量的函數。否則我們就會得出許多荒唐可笑的結論：如拖拉機的耗油量與你的飯量成函數關系。因耗油量、飯量是兩個變量，一個會變，另一個也會變。這顯然是不對的，因為兩變量之間沒有確定的對應規律。比如在下列函數中，中是的函數，不是.；.這時因對中每一值，都有一個值與之對應，所以是的函數；因中，

14、雖表面上不含，但不論取什么實數，總有確定的值5與之對應；因為對于，有無窮多個值與之對應，所以不是；是的函數。這類函數是分段函數。它是由幾個解析式子表示的一個函數；不是的函數，因對任何值，在實數范圍內無值與之對應。6要明確判斷兩個函數是否相同的根據，是函數定義的兩個要素：定義域與對應規律。如果兩個函數的定義域和對應規律都相同（函數的值域也必相同）。那么這兩個函數就是相同的。兩者有一不同，就是不同的函數。比如下列各對函數中，是同一函數；也是同一函數；不是同一函數；不是同一函數。因定義域、值域及對應規律都相同；與是表示同一函數，因對應規律同為,函數的定義域（或存在域）也相同。例如與是表示同一個函數。

15、由此可知一個函數由定義域與對應規律完全確定，而與用什么字母表示無關，這點應特別注意。因對應規律不同，事實上；因定義域不同，.7函數法除解析法、圖示法及表格法外，還有其它表示法，如用語句來表達一個函數。例如：“是不超過的最大整數”。則也表示是的函數，通常記為.如：；等。又例如：“設是有理數時，的值是1；是無理數時，的值是0”。這句話也確定了是的函數。記為，這個函數叫做狄利克雷函數。以上這兩個函數以后將經常用到。8設由函數所確定的反函數為，若再將中與位置對調得函數，那么是的反函數。與是表示同一個函數，是的反函數，所以也是的反函數，與在坐標系下是同一個圖形，而與是橫坐標與縱坐標位置互換，即點換成，因

16、此兩者圖形對稱于直線，故與的圖形對稱于直線.9設在其定義域內有界。即對一切有成立，所以對，也有成立,即在的一部分（子集）上也有界。又若在其定義域內無界，但在的子集上不一定無界，因為有界與否，是與所在區間緊密聯系在一起的。例如：函數.在整個定義域（(+,0)及(0,+)）上無界，但在子集上卻有界。事實上，對一切有界成立。但是在另一子集上函數卻又無界。10函數與函數的復合函數通常記為，即，它與復合映射一樣，與能構成復合函數的條件是：函數在上的值域必須含在函數的定義域內，即.否則不能構成復合函數。不是任意兩個函數都可以復合而成復合函數的。例如，這兩個函數，只有當（即角的終邊在第一、二象限內），函數的

17、值域,作為函數的定義域，才能有意義。一般地，函數的值域，包含在函數的定義域之中，即，復合才有意義，這也是復合的必要條件，否則，復合就無意義，如在本例中，當時，就無意義。如此，兩個函數復合的條件應該重視了。11分段函數是用幾個式子來表示一個（不是幾個）函數，不僅與函數定義并不矛盾，而且有現實意義，自然科學和工程技術中，經常遇到分段函數的情形，它不是初等函數。12領會函數的奇偶性的要點是定義域關于原點對稱是討論函數的奇偶性的必要（先決）條件，若定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數。偶函數的圖形關于軸對稱。因為為偶函數，則，所以點在圖形上，那么關于軸對稱的點也在圖形上；奇函數的圖形關于原點對稱

18、。因為為奇函數，則，所以點在圖形上，那么關于原點對稱的點也在圖形上；兩個奇（偶）函數的代數和是奇（偶）函數；兩個奇（偶）函數的乘積是偶函數；奇函數與偶函數的乘積是奇函數；若及都是奇函數，則也是奇函數；若是偶函數，是奇函數或偶函數，則也是偶函數；若是偶函數，且，則是偶函數。學了函數特性之后，不能認為函數就分為兩類：奇函數與偶函數，仔細鉆研教材，領會到函數中有這樣特性的兩類函數，但并非只有奇函數或偶函數。還有既不是奇函數也不是偶函數的，例如：線性函數,(為非零常數)，不僅如此，還有既是奇函數又是偶函數的，且這樣的函數只有一個.13掌握周期函數時必須注意以為周期的周期函數的圖形特點是在軸上每隔長度，

19、重復出現這一周期內的圖形。并非每個周期函數都有最小正周期，如：狄利克雷（Dirichlet）函數，這一周期函數，任何正有理數都是它的周期，因為不存在最小的正有理數，所以它沒有最小正周期。具有相同周期的兩個周期函數之和及積仍是周期為的周期函數，但當是兩個已知周期函數的最小周期時，在作和及積之后，可以不再是新周期函數的最小周期了。例如：都是以為周期的周期函數，但沒有最小周期；都是以為周期的周期函數，但以為周期的周期函數三、典型例題分析瀏覽及解題方法技能技巧解讀要把函數概念掌握好，并用它來解決一些問題，關鍵在于抓住自變量與因變量的對應關系和函數定義域這兩個要素，對分段函數比較生疏，也必須予以注意。例

20、1 求函數的定義域。解： 當時，無意義，的定義域為.又 時,無意義，定義域為.綜上 的定義域為，即(1,+ ).例2 求函數的定義域和值域。解： 由于在實數范圍內，負數是沒有平方根的，所以，有,即，值域為0,1.【小結】在微積分中，我們都在實數范圍內進行討論，求函數的定義域，就是在實數范圍內求出能使函數有對應值的自變量的全體；無理函數中遇到偶次方根時，定義域是被開方式為非負數的實數集合；在分式函數中，要除去使分母為0的那些值；在對數函數中，要除去使真數部分小于等于0的那些值；如果所給定的函數為基本初等函數經過四則運算后而得到的，則定義域為整個基本初等函數的定義域的交集。如在例1中例3 求函數的

21、定義域。解 要使 ，必須，即當時，即使不屬于實數范圍，因時，因而也可認為是有定義的。由上所述，函數的定義域為以及例4 設函數，計算、.解 0<2,1<2, 計算時要分兩種情形：當時，；當時，【注意】函數的定義域說明自變量在哪個范圍內取值時，函數關系的解析表達式才能成立。通常若該表達式后面不加注明，就把定義域理解為能使表達式有意義的那些自變量的全體，在這種意義下，定義域也叫做函數的存在域。例5 自變量跑過區間，問函數跑過怎么樣的集合。解 時，；又當時，；故知y跑過集合 .例6 若自變量的諸值組成一等差級數，求證：1°對于線性函數，函數值也組成一等差級數；2°對于指數函數，函數值組成一等比級數。 圖11【證明】 因組成等差級數，則證1°：，此即也組成等差級數。再證2°： 而 此即組成等比級數。例7證明函數分別在區間與上有界。【分析】欲證函數在某一區間上有界，只須找到一個，使得對于一切，有成立：或者找到兩個數（其中），使得對于一切，有成立。分別稱為在上的下界與上界。證明：上單增。,注意到,于是有 圖12.這就證明了在，1上有界，2lg與0分別是它的下界與上界。對于，顯然0是的下界，因。為了