1、第二章第二章 行列式行列式 (determinant ) 2.1 行列式的定義行列式的定義 2.2 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 2.3 行列式的應(yīng)用行列式的應(yīng)用2.1 行列式的定義行列式的定義 一、二階、三階行列式的定義一、二階、三階行列式的定義 二、二、代數(shù)余子式與代數(shù)余子式與 階行列式的定義階行列式的定義n一、一階、二階、三階行列式的定義二階行列式：二階行列式：2112221122211211aaaaaaaa 3363312 如，如，一階行列式：一階行列式：1111aa 3355 ，行列式行列式如，如，11a12a22a21a主主對(duì)角線對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線2211aa .2112aa 二二

2、階階行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算例例1 用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa 得得兩式相減消去兩式相減消去,2x)2()1(.,22221211212111bxaxabxaxa;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.21122211211211

3、2aaaaabbax 由方程組的四個(gè)系數(shù)確定由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.若記若記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa對(duì)于二元線性方程組對(duì)于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式,2221211ababD .2211112babaD 二二元元線性方程組的解線性方程組的解為為,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.2221121122111122aaaababaDDx 則則當(dāng)當(dāng)系數(shù)行列式系數(shù)行列式時(shí)，時(shí)，0 D .2975,10462121xxxx求解二元線性方程組求解二元線

4、性方程組解解7546 D)20(42 , 062 7294101 D,186 2951062 D,124 DDx11 , 362186 DDx22 . 262124 三階行列式：三階行列式：312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2-43-122-4-21D 計(jì)算三階行列式計(jì)算三階行列式按按對(duì)角線法則，有對(duì)角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 14 定義定義 (1)在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的所在的第

5、第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列階行列式叫做元素式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1 )2(叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM

6、1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .個(gè)個(gè)代代數(shù)數(shù)余余子子式式對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著一一個(gè)個(gè)余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個(gè)個(gè)元元素素分分別別A1111aa 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 111212122212nnnnnnaaaaaaDdet AAaaa11()a A定義定義2.12.1 (1) (1)一階矩陣一階矩陣 的行列式定義為的行列式定義為(2) (2) 階矩陣階矩陣(2)n n A A的行列式記作的行列式記作二、二、 n 階行列式的定義階行列式的定義nnAaAaAa11

7、12121111 1122,1,2,iiiiininDa Aa Aa A in1122,1,2,jjjjnjnja Aa Aa Ajn 它的任一行它的任一行( (列列) )的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和. .定理定理2.12.1 階矩陣階矩陣111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa Ddet AA(2)n n 的行列式的行列式 可表示為可表示為即即(2.7)(2.8)其中其中 為第為第 行各元素的代數(shù)余子式行各元素的代數(shù)余子式. .從而從而（2.72.7）式也稱為行列式按第）式也稱為行列式按第 行展開行展開. .12,iiinA A,A

8、ii12,jjnjAA,A 為第為第 列各元素的代數(shù)余子式列各元素的代數(shù)余子式. .（2.82.8）式）式稱為行列式按第稱為行列式按第 列展開列展開. .jj定理定理2.12.1又稱為行列式按行、按列展開定理又稱為行列式按行、按列展開定理2347200013121004D3473120042 343142 )15(42 例例4例例5 已知四階行列式已知四階行列式D第三列元素依次為第三列元素依次為1,2,0,-1，對(duì)應(yīng)的余子式分別為對(duì)應(yīng)的余子式分別為3,-2,4,5，求，求D的值的值.解：解： 5)1()1(4)1(0)2()1(23)1(143332313 D12 例6 計(jì)算nnnnnaaaaaaD21222111O 解: nnnnnaaaaaaaD3233322211O nnnnaaaaaaaa434443332211O nnaaa2211 nnnnnaaaaaaD022211211 nnaaa2211 同理有同理有n21 n21 特別地特別地例7 計(jì)算斜下斜下三角行列式行列式*012aaaDnn *0)1(1211aaaaDnnnn 1