1、精選優質文檔-傾情為你奉上安徽大學20112012學年第一學期 常微分方程 （A卷）考試試題參考答案及評分標準一、 選擇題（每小題5分，共20分）（1） (a)；（2） (d)；（3） (d)；（4）(b)；二、請判斷下面各題是否正確，并簡述理由（每小題5分，共15分）（1）正確 2分事實上，在上滿足局部-條件，因此方程滿足初始條件的解存在且唯一 .5分（2）正確 2分事實上，作變換，則原方程可化為4分然后用常數變易法知可解 5分（3）錯誤 2分事實上，二階線性方程與一類特殊的線性微分方程組矛盾.5分三、計算題（每小題10分，共50分）（1）解：方程變形為，令， 則， 5分 可得，求解得，7分

2、由初始條件知，。 10分（2）解：方程可寫為兩邊關于求導數，得到當時，計算因此5分上式兩邊乘以并積分之，得到7分得到方程的通解為9分當時，由方程可以直接得到也是方程的解.10分（3）解：作極坐標2分5分將原式兩邊關于求導數，得7分其通解為9分由初始條件求得特解為10分（4）解：對應的齊次線性微分方程為其通解為當時，求得有一特解為，于是其有由初始條件代入，有特解為。5分當時，求得的特解為，于是有，由條件在時連續可微，故滿足，因此有。于是有特解為10分（5）解：計算，得到2分當時，計算，得到；當時，計算，得到5分則基解矩陣為7分利用公式，計算得10分四、應用題（10分）（1）解：設時刻雨滴的體積為

3、，表面積為，半徑為，由題意知5分而，將其帶入上式有,即,積分之有由于，則10分五、綜合題（第1小題3分，第2小題2分，共5分）解：（1）對方程兩邊求導數，有，對原方程，設，即有，因此有 3分（2）這是二階常系數齊線性微分方程，通解為。而原方程為一階方程，代入原方程可得解為 2分安徽大學20 11 20 12 學年第 一 學期 常微分方程 （B卷）考試試題參考答案及評分標準二、 選擇題（每小題5分，共20分）1(d) ；2.(c) ；3. (b) ；4. (c) 二、請判斷下面各題是否正確，并簡述理由（每小題5分，共15分）（1）正確 2分 事實上，在點附近連續，則由解的存在唯一性知結論成立 5

4、分（2）正確 2分 事實上，直接用積分因子代人5分（3）錯誤 2分 事實上，反證，假設結論成立.不妨設它為一個線性微分方程組的解矩陣，計算，而線性無關，矛盾. 5分三、計算題（每小題10分，共50分）（1）解：依據定義域知，設，原方程等價的微分方程為，其對應的齊線性微分方程為其通解為 5分設原方程有如下形式特解7分代入原方程有，即通解為10分（2）解：令，則有 5分其特解為 7分整理得 9分有特解 10分（3）解：由積分與路徑無關的條件，得到5分解得8分由初始條件求得特解為10分（4）解：(a)直接代入驗證 3分(b)求另一線性無關解易有基本解組5分利用常數變易法，設原方程有解，則滿足7分解得8分所以通解為10分（5）解：，可交換，所以5分 利用公式，計算得 10分四、應用題（10分）解：設時刻細菌數的表達式為，則由題意知，這是齊次線性微分方程，其通解為由初始條件得，特解有5分依條件，代入，得，于是 。 10分五、綜合題（第1小題3分，第2小題2分，共5分）解：（1）對方程兩邊求導數，