1、波利亞解題案例分析n 例題：給定正四棱臺的高，上底的一條邊長和下底的一條邊長，求正四棱臺的體積(學生已學過棱柱、棱錐的體積)n 波利亞解題：一、弄清問題（理解題目的未知和已知條件）本題的已知條件有哪些？ 本題的未知是什么？正四棱臺的高；上底邊長； ？ 正四棱臺的體積下底邊長2、 擬定計劃（找到已知條件和未知之間的聯(lián)系）1）怎樣才能求得？由于我們已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺的幾何結構（棱臺的定義）告訴我們，棱臺是“用一個平行于底面的平面去截棱錐”，從一個大棱錐中截去一個小棱錐所生成的如果知道了相應兩棱錐的體積和，我們就能求出棱臺的體積。這樣我們就引入兩個新的符號和，同時也找到了、三個量之

2、間的聯(lián)系，這就把求轉化為求和 2） 怎樣才能求得和？據(jù)棱錐的體積公式（），底面積可由已知條件直接求得，關鍵是如何求出兩個棱錐的高。并且，一旦求出小棱錐的高，大棱錐的高也就求出，為我們再次引入了一個新符號，于是根據(jù)棱錐的體積公式就有，這樣，問題就由求和轉化為了求。3） 怎樣才能求得？為了使未知數(shù)與已知數(shù)、聯(lián)系起來，建立起一個等量關系我們調動處理立體幾何問題的基本經(jīng)驗，進行“平面化”的思考用一個通過高線以及底面一邊上中點（如下圖藍色線條所示）的平面去截兩個棱錐，在這個截面上有兩個相似三角形能把、聯(lián)系起來（轉化為平面幾何問題），由三角形相似的性質得： 這就將一個幾何問題最終轉化為代數(shù)方程的求解解上述

3、方程，便可由、表示，至此，我們已在與已知數(shù)、之間建立起了一個不中斷的聯(lián)絡網(wǎng)，解題思路全部溝通3、 實現(xiàn)計劃（利用找到的聯(lián)系進行解題）作輔助線，由相似三角形的性質可得，解得。所以兩椎體的體積分別為有：，所以棱臺的體積：。 4、 回顧（1） 正面檢驗每一步，推理是有效的，演算是準確的。再作特殊性檢驗，令，由可得正四棱錐體的體積公式；令，由可得正四棱柱體的體積公式。這既反映了新知識與原有知識的相容性，又顯示出棱臺體積公式的一般性；這既溝通了三類幾何體極限狀態(tài)間的知識聯(lián)系，又可增進三個體積公式的聯(lián)系記憶。（2）回顧這個解題過程可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉有用的信息(如圖所示，有棱臺、共5條信

4、息)，同時又要及時提取記憶網(wǎng)絡中的有關信息(如回想：棱臺的定義、棱錐的體積公式、相似三角形的性質定理、反映幾何結構的運算、調動求解立體幾何問題的經(jīng)驗積累等不下6條信息)，并相應將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合這當中，起調控作用的關鍵是如何去構思出一個成功的計劃（包括解題策略）。由這一案例，每一個解題者還可以根據(jù)自己的知識經(jīng)驗各自進一步領悟關于如何制定計劃的普遍建議或模式。（3）在解題方法上，這個案例是分析法的一次成功應用，從結論出發(fā)由后往前找成立的充分條件。為了求，我們只需求、（由棱臺體積到棱錐體積的轉化由未知到已知，化歸）；為了求、，我們只需求（由體積計算到線段計算的轉化由復雜到簡單，降維

5、）；為了求，我們只需建立關于的方程(由幾何到代數(shù)的轉化數(shù)形結合)；最后，解方程求，解題的思路就暢通了，在當初各自孤立而空曠的畫面上，形成了一個聯(lián)接未知與已知間的不中斷網(wǎng)絡，書寫只不過是循相反次序將網(wǎng)絡圖作一敘述。這個過程顯示了分析與綜合的關系，“分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行；分析是制定一個計劃，綜合是執(zhí)行這個計劃”。（4） 在思維策略上，這個案例是“三層次解決”的一次成功應用。首先是一般性解決(策略水平上的解決)，把轉化為、的求解（），就明確了解題的總體方向；其次是功能性解決（方法水平的解決），發(fā)揮組合與分解、相似形、解方程等方法的解題功能；最后是特殊性解決（技能水平的解決）

6、，比如按照棱臺的幾何結構作圖、添輔助線找出相似三角形、求出方程的解、具體演算體積公式等，是對推理步驟和運算細節(jié)作實際完成。（5） 在心理機制上，這個案例呈現(xiàn)出“激活擴散”的基本過程。首先在正四棱臺（條件）求體積（結論）的啟引下，激活了記憶網(wǎng)絡中棱臺的幾何結構和棱錐的體積公式；然后，沿著體積計算的接線向外擴散，依次激活截面知識、相似三角形知識、解方程知識，直到條件與結論之間的網(wǎng)絡溝通這種“擴散激活”的觀點，正是數(shù)學證明思維中心理過程的一種解釋。（6） 在立體幾何學科方法上，這是“組合與分解”的一次成功應用。首先把棱臺補充（組合）為棱錐，然后再把棱錐截成（分解）棱臺并作出截面，這種做法在求棱錐體積

7、時曾經(jīng)用過（先組合成一個棱柱、再分解為三個棱錐），它又一次向我們展示“能割善補”是解決立體幾何問題的一個訣竅，而“平面化”的思考則是溝通立體幾何與平面幾何聯(lián)系的一座重要橋梁。這些都可以用于求解其他立體幾何問題，并且作為一般化的思想（化歸、降維）還可以用于其他學科。（7） “你能否用別的方法導出這個結果?”在信念上我們應該永遠而堅定地做出肯定的回答，操作上未實現(xiàn)只是能力問題或暫時現(xiàn)象。（8）“你能不能把這一結果或方法用于其他問題?”能，至少我們可以由正四棱臺體積公式一般化為棱臺體積公式（方法是一樣的）。注意到：，可一般化猜想棱臺的體積公式為：附錄波利亞解題程序表弄清問題第一、你必須弄清問題 未知

8、是什么？已知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 畫張圖，引入適當?shù)姆柊褩l件的各個部分分開你能否把它們寫下來？擬定計劃第二、找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題你應該最終得出一個求解的計劃你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關，且早已解決的問題你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了