1、第一章 量子理論基礎(chǔ)11 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長與溫度T成反比，即T=b（常量）；并近似計算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解 根據(jù)普朗克的黑體輻射公式， （1）以及 ， （2）， （3）有這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于與+d之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是取何值時，取得極大值，因此，就得要求 對的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的的值，記作。但要注意的是，還需要驗證對的二階導(dǎo)數(shù)在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具體如下： 如果令x= ，則上述方程為這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過驗證，此解是平庸的；另外的一個解可

2、以通過逐步近似法或者數(shù)值計算法獲得：x=4.97，經(jīng)過驗證，此解正是所要求的，這樣則有把x以及三個物理常量代入到上式便知14 利用玻爾索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運(yùn)動的電子軌道的可能半徑。已知外磁場H=10T，玻爾磁子，試計算運(yùn)能的量子化間隔E，并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動能量相比較。解 玻爾索末菲的量子化條件為其中q是微觀粒子的一個廣義坐標(biāo)，p是與之相對應(yīng)的廣義動量，回路積分是沿運(yùn)動軌道積一圈，n是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為，于是有這樣，便有這里的正負(fù)號分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動和沿著負(fù)方向運(yùn)動，一正一負(fù)正好表示

3、一個來回，運(yùn)動了一圈。此外，根據(jù)可解出 這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾索末菲的量子化條件，有 為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；這樣，便有 這時，令上式左邊的積分為A，此外再構(gòu)造一個積分這樣，便有 （1）這里 =2，這樣，就有 （2）根據(jù)式（1）和（2），便有這樣，便有 其中最后，對此解作一點討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。（2）當(dāng)電子在均勻磁場中作圓周運(yùn)動時，有 這時，玻爾索末菲的量子化條件就為 又因為動能耐，所以，有其中，是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且具體到本題，有根據(jù)動能與溫度的關(guān)系式以及可知，當(dāng)

4、溫度T=4K時，當(dāng)溫度T=100K時，顯然，兩種情況下的熱運(yùn)動所對應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。2.2 由下列定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度： 從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點) 傳播的球面波。 解：在球坐標(biāo)中 同向。表示向外傳播的球面波。 可見，反向。表示向內(nèi)(即向原點) 傳播的球面波。補(bǔ)充：設(shè)，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化？ 波函數(shù)不能按方式歸一化。 其相對位置幾率分布函數(shù)為 表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。2.3 一粒子在一維勢場 中運(yùn)動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。解：無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S方程 在各區(qū)域的具體形式為 ： ： ：由于(1)

5、、(3)方程中，由于，要等式成立，必須 即粒子不能運(yùn)動到勢阱以外的地方去。 方程(2)可變?yōu)?令，得 其解為 根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A，B，由連續(xù)性條件，得 由歸一化條件 得 由 可見E是量子化的。對應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 2.4. 證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是 證： （2.6-14） 由歸一化，得 歸一化常數(shù) #2.5 求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。 解： 令，得 由的表達(dá)式可知，時，。顯然不是最大幾率的位置。 可見是所求幾率最大的位置。 #3.2.氫原子處在基態(tài)，求： (1)r的平均值； (2)勢能的平均值； (3)最可幾半徑； (4)動能的平均值； (5)動

6、量的幾率分布函數(shù)。 解：(1) (3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為 令 當(dāng)為幾率最小位置 是最可幾半徑。 (4) (5) 動量幾率分布函數(shù) 3.5 一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為I，它的能量的經(jīng)典表示式是，L為角動量，求與此對應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：(1) 轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動：(2) 轉(zhuǎn)子繞一固定點轉(zhuǎn)動：解：(1)設(shè)該固定軸沿Z軸方向，則有 哈米頓算符 其本征方程為 (無關(guān)，屬定態(tài)問題) 令 ，則 取其解為 (可正可負(fù)可為零)由波函數(shù)的單值性，應(yīng)有 即 m= 0，±1，±2，轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為 (m= 0，±1，±2，)可見能量只能取一系

7、列分立值，構(gòu)成分立譜。 定態(tài)波函數(shù)為 A為歸一化常數(shù)，由歸一化條件 轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為 綜上所述，除m=0外，能級是二重簡并的。 (2)取固定點為坐標(biāo)原點，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為 無關(guān)，屬定態(tài)問題，其本征方程為 (式中設(shè)為的本征函數(shù)，為其本征值) 令 ，則有 此即為角動量的本征方程，其本征值為 其波函數(shù)為球諧函數(shù) 轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為 可見，能量是分立的，且是重簡并的。3.9.設(shè)氫原子處于狀態(tài) 求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。 解：在此能量中，氫原子能量有確定值 角動量平方有確定值為 角動量Z分量的可能值為 其相應(yīng)的幾率分別為 ， 其平均值為 3.10一粒子在硬壁球形空腔中運(yùn)動，勢能為 求粒子的能級和定態(tài)函數(shù)。 解：據(jù)題意，在的區(qū)域，所以粒子不可能運(yùn)動到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數(shù) () 由于在的區(qū)域內(nèi)，。只求角動量為零的情況，即，這時在各個方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布