1、例？ 如圖2-1,M的坐標為（1, 4）,APMB=S>A BCM,如存在,B兩點，頂點上海中考數學壓軸題解題策略 寶龍教育中心整理（2017.3）一、面積的存在性問題解題策略專題攻略面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類:第一類，先根據幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗方程的根.第二類，先假設關系存在，再列方程，后根據方程的解驗證假設是否正確.例題解析例？ 如圖1-1,矩形ABCD的頂點C在y軸右側沿拋物線 y= x26x+10 滑動，在滑動過程中 CD/x軸，CD= 1, AB在CD的下方.當點 D在y軸上時， AB落在x軸上.當矩形 ABCD在滑動過程中被 x軸分成兩部分的

2、面積比為 1:4 時，.求點C的坐標.二次函數y= （x+m）2+k的圖象與x軸交于A、AM與y軸相交于點C,在拋物線上是否還存在點 求出點 P的坐標.1 / 16例？ 如圖3-1,點，四邊形PAQB是平行四邊形，當四邊形 PAQB的面積最大時，求點直線y= x+ 1與拋物線y=x2+2x+3交于A、圖2-1B兩點，點P是直線AB上方拋物線上的一 P的坐標.圖3-1速度為每秒1個單位長度；同時點止運動時，點 Q也停止運動，如圖例？ 如圖4-1,在平行四邊形 ABCD中，AB=3, BC= 5, AC± AB, ACD沿AC方向勻速平移得到 PNM,Q從點C出發，沿CB方向勻速移動，速

3、度為每秒 1個單位長度；當 PNM停t,使Saqmc : S四邊形4-2,設移動時間為t秒（0Vt<4）.是否存.在某一時刻abqp= 1 : 4?若存在，求出4的值；若不存在，請說明理由.圖4-2圖4-112 rx相父于點B,4例？如圖5-1,在平面直角坐標系中，點 A的坐標為（0,1）,直線y=2x4與拋物線與y軸交于點D.將4ABD沿直線BD折疊后，點A落在點C處（如圖5-2）,問在拋物線上是否存在點P,使得&pcd= 3Sapab?如果存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由.例？如圖6-1,拋物線y1 25x x經過點E（6, n）,與x軸正半軸父于

4、點A,右點P為拋物線上位于第84象限內的一個動點，以 P、O、A、E為頂點的四邊形的廠面積記作S,則S取何值時，相應的點 P有且只有3個?圖6-11 C例？如圖7-1,點P是第二象限內拋物線 y x2 8上的一個動點，8點D、E的坐標分別為（0, 6）、（一4, 0）.若將“使 PDE的面積為整數”的點記作“好點”，請寫出所有“好點”的個數.例？如圖8-1,在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（a1 3）（其中a>4）,1212射線OA與反比例函數y 上的圖象交于點 巳點B、C分別在函數y 12的圖象上，且AB/x軸，AC/y軸.試說明 ABP的值是否隨a的變化而變化?& ACP

5、圖8-1如圖9-1,已知扇形 AOB的半徑為2,圓心角/ AOB= 90，點C是弧AB上的一個動點,CD)±OA于 D,CE! OB于E,求四邊形 ODCE的面積的最大值.圖9-1例？ 如圖10-1,在4ABC中，ZC= 90° , AC= 6, BC= 8,設直線l與斜邊AB交于點E,與直角邊交于點 F, 設AE= x,是否存在直線l同時平分 ABC的周長和面積？若存在直線 I,求出x的值；若不存在直線I,請說明 理由.圖 10-13 / 16二、平行四邊形的存在性問題解題策略專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算.難點在于

6、尋找分類標準，分類標準尋找的恰當，可以使解的個數不重復不遺漏，也可以使計算又好又快.如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點， 符合條件的有3個點：以已知三個定點為三角形的頂點, 過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產生 3個交點.如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或對角線分為兩種情況.根據平行四邊形的對邊平行且相等，靈活運用坐標平移，可以使得計算過程簡便.根據平行四邊形的中心對稱的性質，靈活運用坐標對稱，可以使得解題簡便.例題解析例？ 如圖1-1,在平面直角坐標系中， 已知拋物線y= -x2-2x+ 3 于A、B兩點(A在B的左側)，與y軸交于點C,頂點為P,如果以點

7、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標.例？線上，點如圖2-1,在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+2x+ 3與x軸交于A、B兩點，點M在這條拋物P在y軸上，如果以點 P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求點 M的坐標.例？上，在平面直角坐標系中求L一點D,使得以O、A、C D為頂點的四邊形是菱形.例？如圖4-1,已知拋物線yC,點E的坐標為(0, 3),點N在拋物線的對稱軸上，點3M在拋物線上，是否存在這樣的點M、N,使得以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點 在，請說明理由.例？如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=ax22ax3a (a<0)與x

8、軸交于A、M的坐標；若不存如圖3-1,在平面直角坐標系中，直線 y= x+4與x軸交于點A,與y軸交于點B,點C在直線AB左側)，點D是第四象限內拋物線上的一點，直線 AD與y軸負半軸交于點 C,且CD= 4AC.設P是拋物線的對稱 軸上的一點，點 Q在拋物線上，以點 A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點 P的坐標；若不 能，請說明理由.圖5-17 / 16例？如圖6-1 ,將拋物線ci： y/x24沿x軸翻折，得到拋物線C2.現將拋物線ci向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M,與x軸的交點從左到右依次為 A、B;將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到新

9、拋物線的頂點為 N,與x軸的交點從左到右依次為 D、 E.在平移過程中，是否存在以點 A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時 m的值；若不存在，請說明理由.圖6-1E、G分別在AD> BC上,例？ 如圖7-1,菱形ABCD的邊長為4, / B= 60° , E、H分別是AB、CD的中點,且 AE= CG.(1)求證四邊形 EFGH是平行四邊形；(2)當四邊形EFGH是矩形時，求 AE的長;(3)當四邊形EFGH是菱形時，求 AE的長.圖7-1例？如圖8-1,在平面直角坐標系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點 A(4, 0)、B(0, 3),點C的坐標為(0

10、, m),過點C作CEL AB于點E,點D為x軸正半軸的一動點，且滿足 OD= 2OC,連結DE,以DE、DA為邊作平行四邊 形 DEFA(1)如果平行四邊形 DEFA為矩形，求 m的值；(2)如果平行四邊形 DEFA為菱形，請直接寫出 m的值.圖8-1三、梯形的存在性問題解題策略專題攻略解梯形的存在性問題一般分三步：第一步分類，第二步畫圖，第三步計算.一般是已知三角形的三個頂點，在某個圖象上求第四個點，使得四個點圍成梯形.過三角形的每個頂點畫對邊的平行線，這條直線與圖象的交點就是要探尋的梯形的頂點.因為梯形有一組對邊平行，因此根據同位角或內錯角，一定可以構造一組相等的角，然后根據相似比列方程

11、, 可以使得解題簡便.例題解析例？ 如圖1-1,四邊形 ABCD是直角梯形，AD/BC, / B=90° , AD=24cm, BC= 28cm.點P從點A出發以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以3cm/s的速度向點B運動，其中一個動點到達終點時， 另一個點也隨之停止運動.從運動開始，經過多長時間，四邊形PQCD成為平行四邊形？成為等腰梯形？ 點C關于拋物線對稱軸的對稱點為 B,在拋物線上是否存在點 巳 使彳導以A、B、C、P為頂點的四邊形為梯形? 若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.圖1-1例？ 如圖2-1,在RtABC中，/ C= 90° ,

12、AC= 3, AB= 5.點P從點C出發沿 CA以每秒度向點A勻速運動；同時點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點 B勻速運動.當點止運動，點Q也隨之停止.伴隨著 P、Q的運動，DE保持垂直平分 PQ, DE交BC于點E.設P、1個單位長的速P到達點A時停Q運動的時間是t秒（t>0）,在運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由.例？如圖，已知A、B是雙曲線y雙曲線上是否存在點 D,使彳導以A、 請說明理由.2 , , 一*.，一，,，2上的兩個點，A、B的橫坐標分別為 xC、D為頂點的四邊形是梯形？如果存在,2和一1, BC±x

13、軸，垂足為C.在求出點D的坐標；如果不存在,例？如圖4-1 ,已知拋物線y3 2 -x圖3-13與x軸的交點為A、D （A在D的右側），與y軸的交點為C,設圖4-1例？ 如圖5-1,把兩個全等的 RtAOB和RtA COD分別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB、OD在x軸上.已知點 A(1, 2).拋物線y=ax2+bx+ c經過O、A、C三點.(1)求該拋物線的函數解析式;(2)點P為線段lOC上的一個動點，過點 P作y軸的平行線交拋物線于點 M,交x軸于點N,問是否存在這樣的點P,使得四邊形 ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.圖5-1例？ 如圖6-1,在

14、矩形ABCD中，AB= 3, BC= 4,動點P從點D出發沿DA向終點A運動，同時動點 Q從點A出發沿對角線AC向終點C運動.過點P作PE/DC,交AC于點E,動點P、Q的運動速度都是每秒1個單位長度，當點P運動到點A時，P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為x秒，當x為何值時，四邊形 PQBE為梯形?圖6-1四、線段和差最值的存在性問題解題策略專題攻略兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）.三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）.兩條線段差的最大值問題

15、，一般根據三角形的兩邊之差小于第三邊，當三點共線時，兩條線段差的最大值就是第三邊的長.如圖 3, PA與PB的差的最大值就是 AB,此時點P在AB的延長線上，即 P'.解決線段和差的最值問題，有時候求函數的最值更方便，本講不涉及函數最值問題.圖8-111 / 16例題解析例？如圖1-1,拋物線y=x22x3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,點P是拋物線對稱軸上的一 個動點，如果 PAC的周長最小，求點 P的坐標.圖1-1例？如圖，拋物線y -x2 4x 4與y軸交于點A, B是OA的中點.一個動點 G從點B出發，先經過x軸2上的點M,再經過拋物線對稱軸上的點 N,然后返回到點 A.

16、如果動點G走過的路程最短，請找出點 M、N的位 置，并求最短路程.例？如圖3-1,拋物線y4x2 8x 2與y軸交于點A,頂點為B.點P是x軸上的一個動點，求線段 PA93與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應的點P的坐標.圖3-1例？ 如圖4-1,菱形ABCD中，AB = 2, / A=120°,點P、Q、K分別為線段 BC、CD、BD上的任意一點, 求PK+QK的最小值.例？圖4-1如圖 5-1,菱形 ABCD中，/ A=60° ,AB=3, OA、0B的半徑分別為2和1, P、E、F分別是邊 CDOB和。A上的動點，求 PE+ PF的最小值.

17、例？ 如圖6-1,已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a+1,0),求a為何 值時，四邊形 ABEF周長最小？請說明 理由.例？ 如圖7-1, ABC中，/ ACB= 90° , AC= 2, BC= 1.點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，當點 A 在x軸上運動時，點 C也隨之在y軸上運動在整個運動過程中，求點B到原點的最大距離.圖7-1例？ 如圖8-1,已知A( 2,0)、B(4, 0)、D( 5,3點).設F為線段BD上一點(不含端點)，連結AF, 一動點M從點A出發，沿線段 AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到 D后停

18、止.當點F的坐標是多少時，點 M在整個運動過程中用時最少？例？ 如圖9-1,在 RtA ABC中，/ C= 90° , AC= 6, BC= 8.點E是BC邊上的點，連結 AE,過點E作AE 的垂線交AB邊于點F,求AF的最小值.圖9-1例？如圖10-1,已知點尸是拋物線y 1x2上的一個點，點 D、E的坐標分別為(0,1)、(1,2),連結PD PE, 4求PD+ PE的最小值.圖 10-1五、相切的存在性問題解題策略專題攻略一、圓與圓的位置關系問題，一般無法先畫出比較準確的圖形.解這類問題，一般分三步走，第一步先羅列三要素：R r、d,第二.步分類列方程，第三步解方程并驗根.第一

19、步在羅列三要素 R r、d的過程中，確定的要素羅列出來以后， 不確定的要素要用含有 x的式子表示.第 二步分類列方程，就是指外切與內切兩種情況.二、直線與圓的位置關系問題，一般也無法先畫出比較準確的圖形.解這類問題，一般也分三步走，第一步先羅列兩要素：R和d,第二步列方程，第三步解方程并驗根.第一步.在羅列兩要素 R和d的過程中，確定的要素羅列出來以后， 不確定的要素要用含有 x的式子表示.第 二步列方程，就是根據直線與圓相切時d=R列方程.例題解析例？如圖1-1,已知拋物線y=x21與x軸相交于A、B兩點.什么范圍內取值時,當。P與兩坐標軸都(1)有一半徑為r的。P,且圓心P在拋物線上運動，

20、 相切時，求半徑r的值；(2)半徑為1的。P在拋物線上，當點 P的縱坐標在 OP與y軸相離、相交？圖1-1例？ 如圖2-1, ABC中，BC= AC=5, AB=8, CD為AB邊上的高.如圖 2-1, A在原點處，點 B在y軸的 正半軸上，點C在第一象限.若 A從原點出發，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動，則點 B隨之沿y軸下 滑，并帶動 ABC在平面上滑動.如圖 2-2,設運動的時間為t秒，當B到達原點時停止運動.當以點 C為圓心、CA為半徑的圓與坐標軸相切時，求 t的值.圖2-1圖2-2例？ 如圖3-1, A( 5,0), B(3,0), C(0, 3),四邊形OADC是矩形.點P從

21、點Q(4,0)出發，沿x軸向左以每 秒1個單位.長的速度運動，以PC為半徑的。P隨點P的運動而變化，當。P與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直 線)相切時，求運動時間 t的值.y口7 c圖 3 -1 a B P |。一Q例？ 如圖4-1,已知拋物線y=mx2+bx+c(m>0)經過A(1,0)、B( 3,0)兩點，頂點為P,與y軸交于點D. O C的直徑為A、B,當m為何值時，直線 PD與。C相切？17 / 16例？ 如圖 5-1,在梯形 ABCD中，/ ABC= 90° , AD/ BC, AB= 8, BC= 18, sin BCD f ,點 P從點 B開 5始沿BC邊向終點

22、C以每秒3個單位的速度移動，點Q從點D開始沿DA邊向終點A以每秒2個單位的速度移動， 設運動時間為t秒.如果。P的半徑為6, OQ的半徑為4,在移動的過程中，試探索：t為何值時。P與。Q外離、外切、相交？例？如圖 6-1, RtABC中，/ ACB= 90°圖5-1,AC= 4厘米，BC= 3厘米，O。為 ABC的內切圓.(1)求。的半徑；(2)動點P從點B沿BA向點A以每秒1厘米的速度勻速運動，以P為圓心，PB為半徑作圓.設點 P運動的時間為t秒，若。P與。相切，求t的值.圖6-1例？如圖7-1,已知直線l: y 4x 4與x軸、y軸分別交于點A、B,。的半徑為1,點C是y軸正半軸

23、3上的一點，如果。C既與。相切，也與直線l相切，求圓心 C的坐標.圖7-1例？ 如圖8-1,已知在等腰 ABC中，AB=AC= 5, BC= 6,點D為BC邊上一動點（不與點 B重合），過點D作射線DE交AB于點E, Z BDEE= /A,以點D為圓心，DC BD= x.（1）當。D與邊AB相切時，求 x的值；r（2）如果。E是以E為圓心，AE的長為半徑的圓，當 的值.的長為半徑作。D.設0D與。E相切時，求x圖8-1例？ 如圖9-1, 一個RtDEF的直角邊 DE落在AB上，點D與點B重合，過A點作射線 AC與斜邊EF平行,已知AB= 12, DE= 4, DF= 3.如圖9-2,點P從A點

24、出發，沿射線 AC方向以每秒2個單位的速度運動，Q為AP 的中點.同時RtDEF沿著BA方向以每秒1個單位的速度運動，當點 D運動到點A時，兩個運動都停止.在運 動過程中，是否存在以點Q為圓心的圓與 RtDEF的兩條直角邊所在直線都相切？若存在，求運動時間t,若不存在，說明理由.六、相似三角形的存在性問題解題策略專題攻略相似三角形的判定定理有 3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應角相等的條件， 因此探求兩個三角形 相似的動態問題，一般情況下首先尋找一組對應角相等.判定定理2是最常用的解題依據，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗，如例題 1、2、3、4.應用判定定理

25、1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應角相等，如例題6.應用判定定理3解題不多見，如例題 5,根據三邊對應成比例列連比式解方程（組）例題解析例？如圖1-1,拋物線y 1x2-x4與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），與，y軸交于點C.動直線，82(a>0)經過點A和x軸正半軸上的EF (EFF/x軸)從點C開始，以每秒1個單位的速度沿y軸負方向平移，且分別交 y軸、線段BC于E F兩點， 動點P同時從點B出發，在線段 OB上以每秒2個單位的速度向原點 O運動.是否存在t,使得 BPF與4ABC 相似.若存在，試求出 t的值；若不存在，請說明理由.例？求點C的坐標.點 B,

26、 A0= B0= 2, /AOB= 120° .(2)(3)求這條拋物線的解析式；連結OM,求/ AOM的大小；如果點 C在x軸上，且 ABC與AOM相似,圖2-1例？如圖3-1,拋物線y=ax2+bx 3與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點，與y軸交于點D,頂點為C.(1)求此拋物線的解析式；(2)在x軸下方的拋物線上是否存在點M,過M作MNx軸于點N,使以A、M、N為頂點的三角形與BCD相似？若存在，求出點 M的坐標；若不存在，請說明理由.例？如圖4-1,在平面直角坐標系中，A(8.,0),直線CP與y軸交于點F,如果 ACP與4BPF相似,B(0,6),點C在x軸上，BC

27、平分/ OBA.點P在直線 AB上, 求直線CP的解析式.例？如圖5-1,二次函數y=x2+3x的圖象經過點 A(1,a),線段AD平行于-x軸，交拋物線于點 D.在y軸上 取一點C(0, 2),直線AC交拋物線于點 B,連結OA、OB、OD、BD.求坐標平面內使4 EOD4AOB的點E的坐標；圖5-1例？ 如圖6-1,在 ABC中，AB=AC= 4盤,BC= 8.。A的半徑為2,動點P從點B出發沿BC方向以每 秒1個單位的速度向點 C運動.延長BA交。A于點D,連結AP交。A于點E,連結DE并延長交BC于點F.設 點P運動的時間為t秒，當 ABPA FBD相似時，求t的值.七、直角三角形的存在性問題解題策略專題攻略解直角三角形的存在性問題，一