1、偏微分方程導出偏微分方程導出偏微分方程的導出-運輸方程1.運輸方程 （石油管道運輸、南水北調）偏微分方程導出偏微分方程的導出-運輸方程偏微分方程導出偏微分方程的導出-運輸方程運輸方程 ut+cux=0 水平管道內有一種流體（比如，水）以恒定速度c流動 水中含有某物質（如，污染物），以u（x, t）記其含量 方程意義：污染物含量的變化率ut正比于其梯度ux偏微分方程導出偏微分方程的導出-運輸方程 0 b u(x, t) c ch b+ch污染物在t時刻、區間0,b內的總量 M=0bu(x, t) dx =chb+chu(x, t) dx對b求導可得 u(b, t)=u(b+ch, t+h)對h求

2、導，并令h=0,可得 0=cux+ut偏微分方程導出偏微分方程的導出-運輸方程高維運輸方程0ubut偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程2. 弦振動方程（小提琴、吉他、二胡）偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程 u(x, t) 0 l T(x1, t) ux 1 T(x0, t) x0 x1 偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程物理假設：柔軟、均勻、細小彈性弦作微小橫振動柔軟 張力方向指向弦的切線方向均勻 弦的線密度為常數 細小 重力忽略不計微小橫振動 u, ux很小偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程物理定律：牛頓第二定律 F=ma縱向 橫向 dxuxxttxxx10102x

3、u1Tu0u1T102xxx偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程數學簡化 泰勒展開式微分可得2x2u211u1xdxuxxttxxx10102xu1TuttxxuTu）（偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程張力T大小為常數ttxxuTu）（Tcucxxtt,u2偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程弦振動方程的變種空氣阻力 正比于 速度橫向彈性力 正比于 位移系統受外力0, 0u2rruuctxxtt0k, 0u2txxttkuuc),(fu2txucxxtt偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程弦振動方程的其他來源CRL電路 R C L 物理量：電流u(x,t), 電容 C，電阻

4、 R，電感 L，電漏 G 物理定律：Kirchhoff定律偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程CRL電路的方程理想傳輸線：R=G=0 GRuuGLCRCLutttxx)(uttxxCLuu偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程高維振動方程-鼓面（薄膜）的振動偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程物理假設 水平方向沒有運動， Du(x,y,z,t)為豎直方向位移平面區域 D，邊界 物理定律牛頓第二定律DttmadxdyudSnuTF偏微分方程導出偏微分方程的導出-振動方程數學化簡Green公式彈性張力大小為常數dxdydSnuTD）（uTTcuucucyyxxtt),()(u22偏微分方

5、程導出偏微分方程的導出-擴散方程擴散方程油滴、墨漬等在水中擴散 x0 x1管內從x0到x1擴散物質總質量及其變化率10 x),(M(t)xdxtxudxtxudtxxt10),(dM偏微分方程導出偏微分方程的導出-擴散方程物理定律Fick擴散定律 擴散物從濃度高的區域向濃度低的區域擴散，擴散速度正比于濃度的梯度 流入量-流出量dtdM),(),(dM01txkutxkudtxx偏微分方程導出偏微分方程的導出-擴散方程數學簡化對x1求導，得到擴散方程),(),(),(01x10txkutxkudxtxuxxxxxtkuu 偏微分方程導出偏微分方程的導出-擴散方程高維擴散方程 對任意區域D，有等式

6、 由區域的任意性，可得dSunkdxdydzut)(D)(zzyyxxtuuukuku偏微分方程導出偏微分方程的導出-熱傳導方程熱傳導方程 u(x,y,z,t)表示溫度，H(t)表示區域D內的總熱量，c為比熱，為密度熱量的變化率 DudxdydzcH(t)DtdxdydzucdtdH偏微分方程導出偏微分方程的導出-熱傳導方程物理定律-傅里葉熱傳導定律 熱量總是從溫度高的區域流向溫度低的區域，流速正比于溫度的梯度，因此，沿區域D的邊界熱量流出流入量為能量守恒定律dSunk)(Dtdxdydzuc)(dSunk偏微分方程導出偏微分方程的導出-熱傳導方程數學化簡散度定理由區域的任意性，可得微分方程D

7、dxdydzuk)(）（dSunk)()(u22zzyyxxtuuucuc偏微分方程導出偏微分方程的導出-泊松方程波動或擴散的穩態方程 u(x,y,z,t)不依賴于t，則ut=0 u=0靜電場 q偏微分方程導出偏微分方程的導出-薛定諤方程n氫原子的薛定諤波函數方程 m電子質量，e電子電量， 普朗克常數除以2，坐標原點為質子位置，波函數u（x,y,z,t）滿足薛定諤方程ureumuit22221222)(zyxr偏微分方程導出偏微分方程的導出-薛定諤方程物理意義： 在量子力學中，物理量不能夠精確測定，只能以概率形式測定，積分 表示電子出現在區域D內的概率，dxdydzu2D|1|2R3dxdydzu偏微分方程導出偏微分方程的導出-薛定諤方程n 薛定諤波函數方程 被認為是公理，而不是由其他更為簡單定律的推論；它解釋了為什么原子結構是穩定的，不會塌陷；波爾觀察到的