1、研究生現(xiàn)代控制理論及其應(yīng)用課程小論文一級(jí)倒立擺的建模與控制分析學(xué)院：機(jī)械工程學(xué)院班級(jí)：機(jī)研131姓名：尹潤豐2014 年 6 月 2 日目錄1. 問題描述及狀態(tài)空間表達(dá)式建立 -0-問題描述 -0-狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 -0-直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型 -0-直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程 -1-2. 應(yīng)用MATLA分析系統(tǒng)性能 -2 -直線一級(jí)倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 -2-系統(tǒng)可控性分析 -2-系統(tǒng)可觀測性分析 -2-3. 應(yīng)用 matlab 進(jìn)行綜合設(shè)計(jì) - 3 -狀態(tài)反饋原理 -3-全維狀態(tài)反饋觀測器和simulink 仿真 -3 -4. 應(yīng)用 Matlab 進(jìn)行系統(tǒng)最優(yōu)控制設(shè)計(jì) - 5

2、-5. 總結(jié) -6 -1.問題描述及狀態(tài)空間表達(dá)式建立問題描述倒立擺是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域、多種技術(shù)的有機(jī)結(jié) 合，其被控系統(tǒng)本身又是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定、 高階次、多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)， 可以作為一個(gè)典型的控制對(duì)象對(duì)其進(jìn)行研究。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一 種比較理想的實(shí)驗(yàn)手段，為自動(dòng)控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和科研構(gòu)建一個(gè)良好的實(shí)驗(yàn) 平臺(tái)，以用來檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法的典型方案，促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新思 想的發(fā)展。下對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，它就是一個(gè)典型的 運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。 下面采用其

3、中的牛頓一歐拉方法建立直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。狀態(tài)空間表達(dá)式的建立直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型圖 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)本文中倒立擺系統(tǒng)描述中涉及的符號(hào)、物理意義及相關(guān)數(shù)值如表所示表1,1直線一級(jí)倒立攜系統(tǒng)參數(shù)符號(hào)意義實(shí)際數(shù)值M小車質(zhì)最1.096kg挖桿質(zhì)量0.109kgf小軍摩擦力0N/uVsecI投桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度025in1探科慣量0,00223kg *m*iu圖是系統(tǒng)中小車的受力分析圖。其中，Nff口吻小車與擺桿相互作用力的水平和垂直 方向的分量。圖系統(tǒng)中小車的受力分析圖圖是系統(tǒng)中擺桿的受力分析圖。Fs是擺桿受到的水平方向的干擾力，F(xiàn)h是擺桿受到的垂直方向的干擾力，合力是垂直方向

4、夾角為a的干擾力Fg0圖擺桿受力分析圖分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：設(shè)擺桿受到與垂直方向夾角為a 的干擾力Fg,可分解為水平方向、垂直方向的干擾 力，所產(chǎn)生的力矩可以等效為在擺桿頂端的水平干擾力 FS垂直干擾力Fh產(chǎn)生的力 矩。對(duì)擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：即：對(duì)圖擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程：即P mg Fg cosml sin ml 2 cos1 6力矩平衡方程如下：代入可口 N,得到方程：設(shè)，（小是擺桿桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度），代入上式。假設(shè)小<<1,則可進(jìn)行近似處理：r -12由于：I ml3方程化為：令：F

5、f Fg sin cos ，則1 9可化為：1 10即是化簡后的直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)微分方程。帶入實(shí)際數(shù)據(jù)后，微分方程為:當(dāng)忽略了 Ff時(shí)，系統(tǒng)的微分方程如式（1-12）所示忽略干擾力后，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是單輸入二輸出的四階系統(tǒng)，考慮干擾力后，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是二輸入二輸出的四階系統(tǒng)。其內(nèi)部的4個(gè)狀態(tài)量分別是小車的位移x、小車的速度x、擺桿的角度8、擺桿的角速度。系統(tǒng)輸出的觀測量為小車的位移x、擺桿的角度8。其控制量為小車的加速度將微分方程（1-12）化為關(guān)于加速度輸入量和角度輸出量的傳遞函數(shù)：直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)驗(yàn)所使用的直線一級(jí)倒立擺系系統(tǒng)是加速度x作為百統(tǒng)的即喚入 所以根據(jù)式

6、（1-建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：FhFg cos整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)方程：將實(shí)際參數(shù)代入得到一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：2.應(yīng)用MATLA吩析系統(tǒng)性能直線一級(jí)倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析構(gòu)建如圖所示閉環(huán)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為()、 ():圖 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由于有實(shí)部為正的極點(diǎn)，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，必須設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定。可以通過MATLAB Simulink中對(duì)其進(jìn)行仿真，判斷其穩(wěn)定性。構(gòu)建圖所示系統(tǒng)的仿真程序el,加入1m/s2的階躍信號(hào)由上圖也能清楚的知道一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)可控性分析系統(tǒng)的可控性可根據(jù)秩判據(jù)進(jìn)行可控性判斷。線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分 必 要 條 件 是 ： r

7、ank(B ABAn 1B) n ， 其 中 n 為 系 統(tǒng) 矩 陣 A 的 階 次 ，M (B ABAn 1B) 為系統(tǒng)的可控性矩陣。matlab 程序及運(yùn)行結(jié)果如下：> > A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;> > B=0;1;0;3;> > T=ctrb(A,B);> > rank(T)ans =4由于rank( Ic) =4，可見該系統(tǒng)是完全可控的。系統(tǒng)可觀測性分析系統(tǒng)的可控性可根據(jù)秩判據(jù)進(jìn)行可控性判斷。線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：CCArank N rankn 或 rank (CT ATCT

8、(AT )2CT(AT)n 1CT ) n其中n為系數(shù)矩陣A的階次。matlab 程序及運(yùn)行結(jié)果如下：> > A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;> > C=1 0 0 0;0 0 1 0;> > T0=obsv(A,C);rank(T0)ans =4由于rank( T0) =4，故該系統(tǒng)是可觀測的。3. 應(yīng)用 matlab 進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋原理設(shè)n維線性定常系統(tǒng)：其中x,u,y分別是n維、p維、q維向量；A R Ch別是n*n維，n*p維，n*q維實(shí)數(shù)矩 陣。狀態(tài)反饋系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)x的線性函數(shù)：其中，v為p參考輸入向

9、量，K為p*n維實(shí)反饋增益矩陣。加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示：圖 系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖則系統(tǒng)狀態(tài)反饋的動(dòng)態(tài)方程為：全維狀態(tài)反饋觀測器和simulink 仿真狀態(tài)反饋的的實(shí)現(xiàn)是利用狀態(tài)反饋使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于所希望的極點(diǎn)位置。而狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充分必要條件是被控系統(tǒng)可控。直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是可控的。設(shè)系統(tǒng)期望極點(diǎn)為1234 = 234 3i 4 3i ， 則系統(tǒng)期望特征多項(xiàng)式為：列寫狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：令兩個(gè)特征多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則可解出K陣。由matlab求出狀態(tài)反饋矩陣K,編程如下：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;>>

10、 B=0;1;0;3;>> K=acker(A,B,-2 -3 -4+3i -4-3i)K =系統(tǒng)加入S2的階躍輸入，在構(gòu)成的狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器控制下，MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)的階躍響應(yīng)仿真，編程如下：A=0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 00;B1=0103;C=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1;D1=0 0 0 0'dt=;ieof=801;for i=1:ieof;U(:,i)=;T(i)=i*dt;end;%離散化op=-2% 期望極點(diǎn)-3-4+3i-4-3i;K=place(A,B1,op)Ak0=(A-B1*K);Bk0=B1;Ck0

11、=C;Dk0=D1;lqrop=eig(Ak0);x=0 0 0 0'dt=;%離散時(shí)dA,dB=c2d(Ak0,Bk0,dt);% 經(jīng)離散化得到離散狀態(tài)方程Ak1=(A-B1*K);Bk1=B1;Ck1=C;Dk1=D1;sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);Y,X=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),grid;legend('Cart','VCart','single','Vs');圖 極點(diǎn)配置為-2 -3 -4+3i -4-3i 時(shí)的全狀態(tài)反饋仿真圖橫軸時(shí)間單位秒，從圖中可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定。4

12、. 應(yīng)用 Matlab 進(jìn)行系統(tǒng)最優(yōu)控制設(shè)計(jì)最優(yōu)控制問題就是尋找一個(gè)控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng)能最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。對(duì)于線性連續(xù)系統(tǒng)，提出二次型目標(biāo)函數(shù)：其中，R(t)正定，S及Q 半正定，且設(shè)它們?yōu)閷?duì)稱矩陣，to，tf固定。當(dāng)tf趨近無窮時(shí)，在yx(t)情況下，該問題即為無限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問題。此時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差 項(xiàng)趨于零，在此題目中假設(shè)二次型最優(yōu)控制性能指標(biāo)為：500000其中： QR=1030000050000010Matlab 編程如下：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;D=0 0 0 0;Q=500 0 0 0;0 30 0 0;0 0 50 0;0 0 0 10;R=1;>> K,P,e=lqr(A,B,Q,R) K =在 simulink 下進(jìn)行仿真模型的建立，如圖：圖LQR仿真模型將 K 輸入后，進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖：圖 LQR 仿真結(jié)果由圖可見，在二次型最優(yōu)控制下系統(tǒng)穩(wěn)定性得到明顯改善。5. 總結(jié)通過對(duì)一級(jí)倒立擺的分析可知，在開環(huán)情況下，倒立擺的平衡系統(tǒng)是不穩(wěn)定的的；通過秩判據(jù)可知，其系統(tǒng)是可控可觀測的；通過狀態(tài)反饋對(duì)極點(diǎn)進(jìn)行配置后，使極點(diǎn)都位于虛軸左側(cè)，則