1、淺談如何解決排列組合問(wèn)題摘要：排列與組合是在高中數(shù)學(xué)課程里面是重要內(nèi)容之一。解題前必須認(rèn)真審題,明確是屬于排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，或者屬于排列與組合的混合問(wèn)題，其次要抓住問(wèn)題 的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答，還要考慮“是有序”的還是“無(wú)序的”。 排列組合問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用帝常廣泛，并且在實(shí)際中的解題方法也是比較復(fù)雜的，如何提高 學(xué)生解決排列組合問(wèn)題的能力呢？我認(rèn)為除了必須領(lǐng)會(huì)加，乘原理，熟悉幾類(lèi)典型例題 外，還應(yīng)讓學(xué)生掌握幾種必要的解題方法和原則。下面就通過(guò)一些實(shí)例來(lái)介紹實(shí)際應(yīng)用 中的解題技巧。關(guān)鍵詞：排列、組合一、特殊元素和特殊位置優(yōu)先法位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常

2、用也是最基本的方法，若以元素 分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿(mǎn)足特殊位置的 要求，再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其 它條件。例1.由0, 1, 2, 3, 4, 5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解：由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求咂享占這2個(gè)螃.先排末位共有c；然后排首位共有C：最后排其它位置共有A：J|'由分步計(jì)數(shù)原理得288C：A；C；二、相令B元素捆綁法要求某幾?元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題，即將需要相鄰的元 素合并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意

3、合并元素內(nèi)部也必須排列0 例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素, 再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有 =480種不同的排法。三、不相鄰問(wèn)題插空法對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題,可以用插入法.即先排好沒(méi)有限制 條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可。例3. 一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目的出 場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有犬種，第二步將4舞蹈

4、插入第一步排 好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法，由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的 不同順序共有用4：種四、定序問(wèn)題倍縮空位插入法對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先將這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列, 然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例4. 7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解：（倍縮法）對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn) 行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法 種數(shù)是：（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位 置甲乙丙共有_種坐法，則共有4；種方法。一思考:可以先讓甲

5、乙丙就坐嗎？一（插入法）先排甲乙丙三個(gè)人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有 方法五、重排問(wèn)題求塞法允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一 安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為小 種。例1把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有工種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到 車(chē)間也有7種分依此類(lèi)推，由分步計(jì)數(shù)原理共有76種不同的排法六、環(huán)排問(wèn)題線(xiàn)排法一般地m個(gè)不同元素作圓形排列，共有（ml）!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè) 元素作圓形排列共有La：。n例6. 8人圍桌

6、而坐，共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從 此位置把圓形展成直線(xiàn)其余7人共有（8-1）!種排法即7!七、多排問(wèn)題直排法。一般地，元素分成多排的排列問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.例7.8人排成前后兩排，每排4人淇中甲乙在前排，內(nèi)在后排,共有多少排法解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有種，再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有苗種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有父種，則共有種9浮9甘9甘用甘'_ir®_八、排列組合混合問(wèn)題先選后排法解決排列組合混合問(wèn)題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.例8.有

7、5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有C；種方法.再把4個(gè)元素（包含一個(gè)復(fù) 合元素）裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有4：種方法丁低據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有 九、示藁窗問(wèn)題先整體后局部法小集團(tuán)排列問(wèn)題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。例9.用1, 2, 3,4, 5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1, 5在兩個(gè)奇數(shù)之間, 這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把I , 5, 2, 4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)共有8種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有 A述種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有述癡輻去.十、蒜知同問(wèn)題隔板法將n個(gè)相同的元素分成m份

8、（n, m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊 隔板，插入n個(gè)元素排成一排的nl個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為最了。例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個(gè)空隙。在9 個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)班級(jí)，每一 種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有C；種分法。有些排列組合問(wèn)題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷，可以先求出它 的反面，再?gòu)恼w中淘汰。例11.從0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù), 不同的取

9、法有多少種？解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中 有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有C；,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有以，和為偶數(shù)的取法共有再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的雙凝有。；德+。；-9十二、平均分組問(wèn)題除法平均分成的組，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后要一定要除以為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。例12. 6本不同的書(shū)平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？解：分三步取書(shū)得種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象，不妨記6本書(shū)為 ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB, CD, EF),則中 還有(

10、AB, EF, CD), (CD, AB, EF), (CD, EF, AB) (EF, CD, AB), (EF, AB, CD)共有耳種取法，而這 些分法僅是(AB, CD, EF) 一種分法,故共有A：種分法。十三.、合理分類(lèi)與分步法解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò) 程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò) 程的始終。例13.在一次演唱會(huì)上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱 歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn) 進(jìn)

11、行研究只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有種，只會(huì)唱的5人中只有 1人選上唱歌人員種，只會(huì)唱的5人中只有2y連上唱歌人員有種， 由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有+C：C；種。十四、構(gòu)造模型法一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型,如占位填空模型，排隊(duì) 模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決。例14.馬路上有編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān) 掉相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法有多少種？ 解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞克燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不完的燈有或 種 十五、實(shí)際操作窮舉法一對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)

12、題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算,往往利用窮舉法或畫(huà)出 樹(shù)狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果。例15.設(shè)有編號(hào)1, 2, 3, 4, 5的五個(gè)球和編號(hào)1, 2, 3, 4, 5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五 個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多 少投法解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際 操作法，如果剩下3, 4, 5號(hào)球，3, 4, 5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4, 5號(hào)球有只 有1種裝法，同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4, 5號(hào)球有也只有1種裝法，由分步計(jì)數(shù)原 理有2種3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒十六.、分解與合成法分解與合成法是排列組合問(wèn)題的一種最基本

13、的解題策略，把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾 個(gè)小問(wèn)題逐一解決,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu)，用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題 合成,從而得到問(wèn)題的答案，每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題方法。例16. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除？分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2X3X5 X 7 X11X13依題 意可知偶因數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因數(shù)為：十七、化歸法處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè) 簡(jiǎn)要的問(wèn)題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來(lái)的問(wèn)題。例17. 25人排成5X5方陣,現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同

14、一行也不在同一列，不同的選 法有多少種？解：將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成3X3方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同 一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃 掉，如此繼續(xù)下去.從3X3方隊(duì)中選3人的方法有種。再?gòu)?義5方陣選出3X3 方陣便可解決問(wèn)題.從5X5方隊(duì)中選取3行3列有便可選法所以從5X5方陣選不在同 一行也不在同一列的3人有選法。()0。十八、數(shù)字排序問(wèn)題查字典法數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的 個(gè)數(shù),根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。例18.由0, 1, 2, 3, 4, 5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)

15、有重復(fù)的比324105大的數(shù)？解：N = 2A；+2A：+A；+A；+A： =297十九、樹(shù)圖法對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，樹(shù)圖會(huì)收到意想不到的 結(jié)果。例19. 3人相互傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳求后,球仍回到中的手中，則不同的傳球方式有 N = 10二十、復(fù)雜分類(lèi)問(wèn)題表格法一些復(fù)雜的分類(lèi)選取題，要滿(mǎn)足的條件比較多，無(wú)從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況, 用表格法，則分類(lèi)明確，能保證題中須滿(mǎn)足的條件，能達(dá)到好的效果。例20.有紅、黃、蘭色的球各5只，分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個(gè)字母，現(xiàn)從中取5只，要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法紅111223黃123121321211取法C0c©二十一、住店法解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類(lèi)元素：一類(lèi)元素可以重復(fù)，另一類(lèi)不能 重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接 求解例21.七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù) 有.分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍 看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得7$種.總結(jié)排列與組合是在高中數(shù)學(xué)課程里面是重要內(nèi)容之一。