1、小學(xué)幾何模型之蝴蝶模型準(zhǔn)備練習(xí)梯形中的蝴蝶模型梯形的兩個翅膀相等。左=右SaaBC = SBCDSxBCD SabqcSaaob = SCOD例題1如圖：在梯形ABCD中，AD平行于BC,對角線AC和BD相交于點O。已知三角形AOD 與三角形DOC的面枳分別是16平方厘米與24平方厘米，求梯形ABCD的面積。AOB的面積為24cm2BOC 的面積：24 X 244-16=36 (cm2)梯形ABCD的面積：16+24+24+36=100 (cm2)練習(xí)1如圖：在梯形ABCD中，AD平行于BC,對角線AC和BD相交于點O。己知三角形DOC 與三角形BOC的面枳分別是35平方厘米與49平方厘米，求

2、三角形AOD的面積。AOB的面積為35平方厘米AOD 的面積：35X35+49=25 (cm2)例題2如圖：長方形ABCD被一些直線分成了若干部分。已知三角形ADG的面積是7平方厘米, 三角形BCH的面枳是9平方厘米，求四邊形EGFH的面積。連接EF四邊形EGFH的面積：7+9=16 (cm2)練習(xí)2如圖：長方形ABCD被一些直線分成了若干部分。已知三角形ADG的面積是24平方厘米, 三角形BHC的面積是17平方厘米，求四邊形GEHF的面積。AFBDEC 連接EF四邊形EGFH的面積:24+17=41 (cm2)風(fēng)箏模型dS2: S = BO:ODS3： S4 = bo：odS2:S = S3

3、:SAS3SXS3 = S2XS4BC上X下=左、右例題3 如圖：一個不規(guī)則四邊形被兩條對角線分成四個小三角形。 求三角形CDG的面枳。AD金 C CDG 的面積：3X84-4=6 (cm2)己知其中三個小三角形的面積,練習(xí)3如圖：一個不規(guī)則四邊形被兩條對角線分成四個小三角形。己知其中三個小三角形的面積, 求三角形ABG的面枳。1)ABG 的面積：8X64-12=4 (cm2)例題4如圖：四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O。己知三角形ABD的面積是30平方 厘米，三角形ABC的面積是48平方厘米，三角形BCD的面積是50平方厘米，求三角形 BOC的面枳。BOC和AOB是等高模型 面積比

4、為5:3BOC的面積為：484-(5+3)X5=30 (cm2)練習(xí)4如圖：一個園林形狀如四邊形ABCD,現(xiàn)測得三角形BCD的面積是25公頃，三角形ABC 的面積是24公頃，三角形ABD的面枳是15公頃。其中在三角形BOC中有一個面積是5 公頃的湖，求三角形BOC除去湖的部分的面積。OC:OA=25:15=5:3BBOC和AOB是等高模型 面積比為5:3BOC的面積為：244- （5+3）X5=15 （公頃）BOC除去湖的部分的面積: 15-5=10 （公頃） 例題5如圖：四邊形ABCD是邊長為4厘米的正方形，點E是邊BC的中點，CD=4DF,求陰影 部分的面積。ABD FC連接AF、EFB2

5、E2ABF 的面積：4X44-2=8 (cm2)BEF 的面積：2X3+2=3 (cm2)OA:OE=8:3ABE 的面積：4X24-2=4 (cm2)AOB和BOE的面積比為8:3AOB 的面積為:4+ (8+3) X8=32/11 (cm2)練習(xí)5如圖：四邊形ABCD是邊長為8厘米的正方形，點E、F分別是邊BC、CD的中點，求陰 影部分的面積。B連接AF、EFABF 的面積：8X8+2=32 (cm2)BEF 的面積：4X44-2=8 (cm2)OA:OE=4:1ABE 的面積：8X44-2=16 (cm2)AOB和BOE的面積比為4:1AOB 的面積為:16+ (4+1) X 1=16/

6、5 (cm2)例題6如圖：在三角形ABC中，NACB是直角。已知AC = CD = 8厘米，BC=12厘米，點M是 邊AB的中點，求三角形AMN的面積。連接 MD, SAABC=8X 124-2=48 (cm2)SAACM=SABCM=484-2=24 (cm2)CD:BD=2:1 SACDM=24-r (2+1) X2=16 (cm2)AN:ND=3:2SAABD=48-r (2+1) Xl=16 (cm2)SAAMD=164-2=8 (cm2)SAAMN=84-(3+2)X3=24/5 (cm2)練習(xí)6如圖：在直角三角形ABC中，點M、D分別是邊AB、BC的中點。己知AC和DC等長, 且都

7、是6厘米，求陰影部分的面枳。連接 MD, SAABC=6X 6X 24-2=36 (cm2)SAACM=SABCM=364-2=18 (cm2) SACDM=18-2=9 (cm2) AN:ND=2:1SAACD=6X64-2=18 (cm2)SACDN=184-(2+1) Xl=6 (cm2)例題7如圖：平行四邊形ABCD的兩條對角線AC和BD相交于點O。己知三角形CEF、三角形 OEF、三角形ODF和三角形BOE的面積分別是3平方厘米、5平方厘米、5平方厘米和7 平方厘米，求三角形GCE的面積。SABCD=7+5+3+5=20 (cm2)SAOBC=SAOCD=204-2=10 (cm2)

8、SAOEC=10-7=3 (cm2)SAOCF=10-5=5 (cm2)EG:GF=3:5SAGCE=3-r (3+5) X3= 9/8 (cm2)課后作業(yè)1、如圖：在梯形ABCD中，己知三個小三角形的面枳，那么三角形COD的面積為（ 平方厘米。答案：62、求下面長方形中不規(guī)則四邊形GEHF的面積，可以連接點（）和點（）將其分割成兩個三角形，這樣可以構(gòu)成（）組蝴蝶模型，它們分別在梯形（）中和梯形（）中。答案：E F 2 ABEF CDFE3、如圖：四邊形ABCD被分割成四個已知面枳的小三角形。根據(jù)圖中所標(biāo)出的面積可知： SA AOD:SA AOB= （） ： （） , SA COD:SA BO

9、C=（）：（）,由此可得出關(guān)于不規(guī)則四邊形的一個結(jié)論：SA AOD:SA AOB = SA COD:SA BOCo答案：4： 86 ： 124、如圖：已知在四邊形ABCD中，三角形ACD的面枳是24平方厘米，三角形ABD的面積是27平方厘米，三角形ABC的面積是30平方厘米，那么OB:OD=（）:（括號中填具體的數(shù)。）答案：5:4C5、在下面的圖形中，我們（）（填“可以"或壞可以“）構(gòu)造蝴蝶模型。如果可以，那么我們要怎么樣添加輔助線呢，請在圖中畫出來。答案：可以6、在下圖的三角形ABC中可以構(gòu)造出蝴蝶模型嗎？如果可以，請作出輔助線；如果不可 以，請說明理由。7、如圖：在一塊梯形花圃中

10、，梅花的種植面積是15平方米，君子蘭的種植面積是25平方 米。這塊梯形花圃的面積是多少平方米？ACOD的面積為15平方米AOD 的面積：15X154-25=9 (m2) 梯形ABCD的面積： 15+154-9+25=64 (m2) 8、如圖：在長方形中，甲、乙兩個小三角形的面積分別是8平方厘米和13平方厘米。不 規(guī)則四邊形丙的面積是多少平方厘米？四邊形丙的面積：8+13=21 (cm2)9、如圖：不規(guī)則四邊形ABCD被分成了四個小三角形。己知三個小三角形的面積，求三角 形BOC的面枳。BOC 的面積：6X84-3=1610、如圖：在四邊形ABCD中，三角形ACD的面積是16平方厘米，三角形BC

11、D的面積是 20平方厘米，三角形ABC的面積是24平方厘米，求三角形BOC的面積。OB:OD=24:16=3:2ABOC和ACOD是等高模型 面積比為3:2BOC的面積為：20+(3+2)X3=12 (cm2) 11、如圖：四邊形ABCD是邊長為6厘米的正方形，點E是邊BC上靠近點C的三等分點, 點F為邊CD的中點。求三角形AOD的面積。連接AF、EFADE 的面積：6X6+2=18 (cm2)DEF 的面積：3X24-2=3 (cm2)OA:OF=6:1ADF 的面積：6X3+2=9 (cm2)AOD flJADOF的面積比為6:1AOD 的面積為:9+(6+1) X6=54/7 (cm2)

12、 12、如圖：在直角三角形ABC中，點D為BC邊的中點，點E為AC邊上靠近點A的三等 分點。已知AB和BD的長分別是12厘米和10厘米，求三角形AOE的面積。連接 DE, SAABC=12X 10X24-2=120 (cm2)SAABD=SAACD= 120-r2=60 (cm2) E為AC上三等分點 SAABE=120-r3=40 (cm2) SAADE=604-3=20 (cm2) BO:OE=60:20=3:1SAAOE=404- (3+0 Xl=10 (cm2) 13、如圖：平行四邊形ABCD的面積是3平方厘米，點M是邊AD的中點。求陰影部分的 面積。ABM的面積:BCM的面積=1:2

13、AG:GC=1:2AABG的面積:ZkABC的面積=1:3陰影部分面積：平行四邊形的面積=1:3陰影部分面積：34-3X1=1 (cm2)小學(xué)幾何模型之沙漏模型課前引入：相似三角形（1）認(rèn)識相似三角形形狀相同，大小相似（三個角對應(yīng)相等）（2）相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)高，對應(yīng)邊）的比等于相似比ZA=ZDZB=ZE ABC和 DEF相似相似比=盛ZC=ZF沙漏模型如圖：三角形AOB和三角形COD組成沙漏模型。判定方法：一組平行線，一組交叉線。AO BO AB OF-CO - CO - OE（其中OF和OE分別是兩個三角形的高）如果AO:OD=1:3,那么BO:OC= ( 1:3 ), AB:CD

14、= ( 1:3 ) , OE:OF= ( 3:1 )。例題1AB = 16厘米，AD=10厘米，BE=4厘米，求FC的長。如圖：在平行四邊形ABCD中,BC=AD=10 厘米CD=AB=16 厘米CF:BF=CD:BE=4:1FC 的長：10+（4+1） X4=8 （厘米） 練習(xí)1AE和DE的長度相同，求DFAB=CD=14 厘米DE=AE=14+2=16 （厘米）DF:FE=CD:BE=7:1DF 的長：164-（7+1） X7=14 （厘米）沙漏模型三角形AOB和三角形COD的面積之間有什么關(guān)系？如果AB:CD=1:3,那么三角形AOB和三角形COD的面積比是多少?OB:OC=OF:OE=

15、AB:CD=1:3Saaob：Scod=1:9例題2如圖：在正方形ABCD中，CE = 2DEo己知正方形ABCD的面積是96平方厘米，求陰影 部分的面積。如圖：在平行四邊形ABCD中，CD=14厘米，BE=2厘米, 的長。ABD 的面積為 96+2=48 (cm2)假設(shè)SaDEF為1份，那么SABF為9份，SaADF為3份 陰影部分面積：484-(9+3)Xl=4 (cm2)練習(xí)2如圖：在長方形ABCD中，點E是邊DC的三等分點。已知三角形DQE的面積是1平方 厘米，求長方形ABCD的面積。三等分點DE:AB=1:3ABQ的面積為9cm2ADQ的面積為3cm2ABD的面積為9+3=12(cm

16、2)長方形ABCD的面積為12X 2=24 (cm2)金字塔模型如圖：三角形ADE和三角形ABC組成金字塔模型。判定方法：大三角形內(nèi)有一組平行線。z x AD AE DE AM(I )二-=AB- AL BC AN(其中和4N分別為兩個三角形的高)(2)5-0械二。：8 =彳0：/*例題3如圖：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行，并且AD=DF=FB,求三角形ADE、 四邊形DEGF和四邊形FGCB之間的面積比。AD:AF:AB=1:2:3SAADE:SAAFG:SAABC=1:4:9假設(shè)ADE的面積為1份，那么AAFG的面積為4份，ABC的面積為9份四邊形DEGF的面積為4-1=3

17、（份）四邊形FGCB的面積為9-4=5 （份）SAADE:S 四邊形 DEGF:S 四邊形 FGCB=1:3:5練習(xí)3如圖：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行。已知AD=3厘米，DF=2厘米，F(xiàn)B=1 厘米，求三角形ADE、三角形AFG和三角形ABC之間的面積比。AD:AF:AB=3: (3+2) :(3+2+1) =3:5:6SAADE:SAAFG:SAABC=9:25:36例題4如圖：四邊形MBNF是一個邊長為2厘米的正方形，將邊BM延長1厘米至點A,將邊BN 延長3厘米至點C,連接點A、C,割出如圖所示的陰影部分，AC與MF、NF分別交于點 E、Qo求陰影部分的面積。ME:BC=

18、AM:AB=1: (1+2) =1:3ME 的長度：(2+3) -r3Xl=5/3 (cm)EF 的長度：2- 5/3= 1/3 (cm)QN:AB=NC:BC=3: (3+2) =3:5QN 的長度：(1+2)4-5X3=9/5 (cm)FQ 的長度：2- 9/5= 1/5 (cm)陰影部分的面積：1/3X1/54-2= 1/30 (cm2)練習(xí)4如圖：正方形BDEF和直角三角形ABC重疊在一起，已知AF:FB=1:3, BD:DC = 3:4, AC 與EF、ED分別交于點G、Ho求三角形EGH與正方形BDEF的面積比。假設(shè)BF和BD的長度均為3,那么AF的長度為1, CD的長度為4FG:

19、BC=AF:AB=1: (1+3)=1:4FG 的長度：(3+4) 4-4X 1=7/4GE 的長度：3 - 7/4= 5/4HD:AB=DC:BC=4: (4+3) =4:7HD 的長度：(1+3) 4-7X4=16/7HE 的長度：3- 16/7= 5/7EGH 的面積：5/4X5/74-2=25/56正方形BDEF的面積為3X3=9AEGH與正方形BDEF的面積比為25/56:9=25:504例題5如圖：在三角形ABC中，MN平行于BC。已知三角形MNP的面積是8平方厘米，三角形 BPC的面積是18平方厘米，并且AM的長是4厘米，求BM的長。SAMNP:SABPC=8:18=4:9MN:

20、BC=2:3AM:AB=2:3AB的長度：44-2X3=6 (厘米)BM的長度：6-4=2 (厘米)練習(xí)5AM=2厘米，BM=3厘米，三角形MNP的面如圖：在三角形ABC中，MN平行于BC, 積是4平方厘米，求三角形BPC的面積。MN:BC=AM:AB=2:（2+3）=2:5SAMNP:SABPC=4:25BPC的面積：44-4X25=25 （平方厘米）例題6如圖：一張鐵皮形如銳角三角形ABC,邊BC長120厘米，高AD長80厘米。現(xiàn)將這張鐵 皮加工成一個正方形零件，使正方形的一邊在邊BC上，其余兩個頂點分別在邊AB、AC 上，求這個正方形零件的邊長。PN和AD的交點設(shè)為點O,設(shè)正方形邊長為x

21、厘米,那么AO為（80-x）厘米。（80x） :80=x:12080x=9600120x200x=9600x=48正方形零件的邊長為48厘米。練習(xí)6如圖：在三角形ABC中，AM=2厘米，BM=4厘米，BC=9厘米，求正方形MNQP的面 枳。MN:BC=AM:AB=2:（2+4） =1:3MN的長度：94-3X1=3 （厘米）正方形MNQP的面積：3X3=9 （平方厘米）例題7如圖：在長方形ABCD中，點F是AB邊的中點，AD邊的長是AE長的4倍。已知三角形 ADF的面枳是44平方厘米，求三角形DEG的面積。DE:AD=3:4SADHE:SAADF=9:16SADHE=4416X9= 99/4

22、（平方厘米）EH:AF=DE:AD=3:4EH:CD=3:8HG:DG=3:8SAEHG:SADEG=3:8DEG的面積：99/4+（3+8） X8=18 （平方厘米）課后作業(yè)1、如圖：AB平行于CD,三角形AOB和三角形COD構(gòu)成沙漏模型。己知AO:OD= 1:2, 那么同樣比為1:2的線段還有哪幾組？CD答案：2 組：BO:OCAB:CD2、如圖：在正方形ABCD中，點E為邊CD上的三等分點，AE與BD相交于點F,可知 三角形（）和三角形（）組成沙漏模型。AD答案：DEF ABF3、如圖：在三角形ABC中，DE和BC平行，如果DE:BC = 2:3,那么ADE:Sz ABC =()：()o

23、4、如圖：MN平行于BC, MP平行于AD, NQ平行于AD0已知圖中所標(biāo)示的線段長度, 那么 BM:AB= () : () , MN:BC=():()。5、如圖：在三角形ABC中，MN平行于BC, BN, CM相交于點P,請寫出圖中的沙漏模 型和金字塔模型。答案：沙漏模型：三角形MNP和三角形BPC 金字塔模型：三角形AMN和三角形ABC6、如圖：在長方形ABCD中，點E為AD邊上的四等分點，點F為AB邊的中點，圖中 （）（填“有”或“沒有”）沙漏模型。若利用三角形CDG來構(gòu)造沙漏模型,請畫出輔助線。答案：沒有。7、如圖：在長方形中，甲、乙兩個小三角形的面積分別是8平方厘米和13平方厘米。不

24、 規(guī)則四邊形丙的面積是多少平方厘米？AB=CD=20-6=14 (厘米)DF:FB=DE:AB=20:14=10:7BF 的長:10+ (10+7)X7= 70/17 (厘米)8、如圖：在正方形ABCD中，點E是CD邊的中點，對角線BD與AE相交于點F。已知 三角形DEF的面枳是1平方厘米，求陰影部分的面積。DE:AB=1:2EF:AF=1:2ABF的面積為4cm2ADF的面積為2cm2ABD 的面積為 4+2=6 (cm2)正方形ABCD的面積為6X2=12 (cm2)陰影部分面積為12421=5 (cm2)9、如圖：在三角形ABC中，DE, FG, BC互相平行，并且AD=4厘米，DF=3

25、厘米，BF =1厘米，求三角形ADE、四邊形DEGF和四邊形FGCB之間的面積比。AD:AF:AB=4:（4+3）:（4+3+1） =4:7:8SAADE:SAAFG:SAABC=16:49:64假設(shè)4ADE的面積為16份，那么4AFG的面積為49份，ABC的面積為64份四邊形DEGF的面積為49-16=33 （份）四邊形FGCB的面積為64-49=15 （份）SAADE:S 四邊形 DEGF:S 四邊形 FGCB=16:33:1510、如圖：長方形BDEF和直角三角形ABC重疊在一起。已知AF=1厘米，F(xiàn)B = 3厘米, BD=4厘米，CD = 3厘米，求三角形EGH的面積。FG:BC=AF:AB=1: (1+3)=1:4FG 的長度：(4+3) +4X 1= 7/4 (cm)GE 的長度：4- 7/4 = 9/4 (cm)HD:AB=CD:BC=3: (3+4) =3:7HD 的長度：(1+3) 4-7X3= 12/7 (cm)HE 的長度：3 12/7 = 9/7 (cm)EGH 的面積：9/4X 12/74-2=27/14 (cm2) 11、如圖：在三角形ABC中，已知MP, AD, NQ互相平行，點M為邊AB上靠近點A的 三等分點，AN=2厘米