1、高級計量經濟學第1章 經典回歸模型相關理論相關分析是研究變量間相互關系的最基本方法。相關指兩個或兩個以上變量間相互關系的程度或強度。相關指的是線性相關。1相關的分類：（1）按強度分：完全相關，強相關，弱相關，零相關。（2）按變量個數分：簡單相關（按形式：線性、非線性相關；按符號：正、負、零相關。）復相關，偏相關。2相關的度量：簡單線性相關系數，簡稱相關系數，用 r 表示。r 的統計表達式是r = 其中T，樣本容量；xt，yt變量的觀測值；,變量觀測值的均值。3簡單相關系數的檢驗 查相關系數臨界值表6偏相關系數以3個變量xt, yt, zt,為例（多于3個變量的情形與此相似。），假定控制zt不變

2、，測度xt, yt偏相關關系的偏相關系數定義如下。= 控制zt不變條件下的xt, yt的簡單相關系數。7復相關系數（2）計算yt與的簡單相關系數，則稱是yt與xt1, xt2, , xt k -1的復相關系數。復相關系數與簡單相關系數r的區別是簡單相關系數r的取值范圍是-1，1，復相關系數的取值范圍是0，1。簡單線性回歸模型（熟知各個估計量、統計量，學會分析EViews輸出結果）簡單線性回歸模型如下， yt = b0 + b1 xt + ut 模型包含的經濟意義。邊際系數，彈性系數等。對經濟問題，有時yt對固定的t只能取一個或若干個值。但從建模原理上認為yt，ut是隨機變量。對固定的t，它們的

3、值服從某種分布。假定條件：(1) ut N (0, s 2 ), (2) Cov(ui, uj) = 0, (3) xi是非隨機的。(4) Cov(ui, xi) = 0.1最小二乘估計（OLS）：最小二乘法估計參數的原則是以“殘差平方和最小”。 = = 2最小二乘估計量和的特性：（1）線性特性，（2）無偏性，（3）最小方差性。3OLS回歸直線的性質： (1) 殘差和等于零，å ut = 0 (2) 估計的回歸直線 =+ xt 過（,）點。(3) yt 的擬合值的平均數等于其樣本觀測值的平均數，=。4注意分清4個式子的關系：真實的統計模型，yt = b0 + b1 xt + ut （

4、通常是見不到的。）估計的統計模型， yt =+ xt + （對上式的估計。）真實的回歸直線，E(yt) = b0 + b1 xt （通常是見不到的。）估計的回歸直線，=+ xt （對上式的估計。）= yt - 5yt的分布和的分布（保證正態分布是進行t, F檢驗的基礎。）yt N (b0 + b1 xt, s 2 )。 N (b1, s 2 )。6s 2 的估計：（s 2 是對每一個ut而言，但估計時卻是用整個樣本的殘差計算而得。）= , s.e. = （s.e.越小越好），分母為什么是（T-2）？7擬合優度的測量（評價模型的一個重要指標） R2 = = （回歸平方和）/（總平方和）= SSR

5、/SST=1-= 1- 8回歸參數的顯著性檢驗（用以檢驗相應變量是否為重要解釋變量。）H0：b1 = 0； H1：b1 ¹ 0 t = = = t (T-2)若 | t | > ta (T-2) ，則 b1 ¹ 0； 若 | t | < ta (T-2) ，則 b1 = 0。（EViews輸出結果中相應概率小于0.05回歸系數有顯著性。）9回歸參數的置信區間（給出模型參數真值的可信范圍）- ta (T-2) < b < + ta (T-2)10單方程回歸模型的預測(1) 單個yT+1的點預測。根據估計的回歸函數， =+ xt，得=+ x T+1單個的

6、區間預測是± ta(T-2) s () = ± ta(T-2) E(yT+1)的區間預測是± ta(T-2) s (E() = ± ta(T-2) （單個的預測區間比E(yT+1)的預測區間多ut的一個標準差。）1.3 多元線性回歸與最小二乘估計1假定條件、最小二乘估計量和高斯馬爾可夫定理yt = b0 +b1xt1 + b2xt2 + bk- 1xt k -1 + ut , 對經濟問題的實際意義：yt與xt j存在線性關系，xt j, j = 0, 1, , k - 1, 是yt的重要解釋變量。ut代表眾多影響yt變化的微小因素。使yt的變化偏離了E(

7、 yt) = b0 + b1xt1 + b2xt2 + bk- 1xt k -1 決定的k維空間平面。 當給定一個樣本（yt , xt1, xt2 , xt k -1）, t = 1, 2, , T, 時，上述模型表示為 Y = X b + u , 假定 E(u) = 0, Var (u) = s 2I.假定 E(X 'u) = 0.假定 rk(X 'X) = rk(X) = k .假定 解釋變量是非隨機的，且當T 時T 1X 'X Q , 其中Q是一個有限值的非退化矩陣。最小二乘法 (OLS) 公式： = (X 'X)-1 X 'Y 估計的回歸模型：

8、Y = X+ 的方差協方差矩陣： Var() = E(b) (b)'= s 2 (X 'X)-12. 殘差的方差 s2 = '/ (T - k) , s.e. = s3的估計的方差協方差矩陣是 () = s2 (X 'X)-1 4. 調整的多重確定系數 = 1 - = 1- (1- R2) 5. OLS估計量的分布 因為u N (0, s 2I )， Y N (Xb, s 2I )，所以 N ( b, s 2 (X 'X)-1 ) 6. F檢驗 （只進行一次，檢驗回歸方程的顯著性）H0: b1= b2 = = bk-1 = 0; H1: bj不全為零F

9、= = F(k-1,T-k)若 F £ Fa (k-1,T-k) , 接受H0若 F > Fa (k-1,T-k) , 拒絕H0（EViews輸出結果中相應概率小于0.05回歸方程有顯著性。）7t檢驗 （進行k - 1次，檢驗每個回歸系數的顯著性）H 0：bj = 0, (j = 1, 2, , k-1), H 1：bj ¹ 0t = = t(T-k) 判別規則：若½ t ½£ ta(T-k) 接受H 0；若½ t ½> ta(T-k) 拒絕H 0。（EViews輸出結果中相應概率小于0.05回歸系數有顯著性。）

10、8預測相對誤差h =非線性回歸模型的線性化處理（經驗越豐富，線性化效果越好。）非線性回歸模型分為兩類：一類是不可以線性化的非線性模型，如yt = a0 e a1x + ut，可采用極大似然估計等方法估計參數。一類是可以線性化的非線性模型。線性化后可采用OLS法估計參數。所有評價方法都與第1章介紹的內容相同。這里主要介紹可線性化的非線性模型。主要包括： 指數模型， 對數模型， 冪函數， 雙曲線函數， 多項式方程（趨勢面分析）， 邏輯曲線 (logistic) 模型， 龔伯斯（Gompertz）曲線。補充材料4：虛擬變量定性變量作解釋變量1 截距移動 設模型，yt = b0 + b1 xt + b

11、2D + ut ,其中yt，xt為定量變量；D為虛擬變量。D = 0 或1。注意：若定性變量含有m個類別，最多只能引入m-1個虛擬變量（導致多重共線性）。2 斜率變化 當需要考慮影響斜率，即回歸系數變化時，可建立如下模型： yt = b0 + b1 xt + b2 D + b3 xt D + ut ,其中xt為定量變量；D為定性變量。D = 0 或1。通過檢驗 b3是否為零，可判斷模型斜率是否發生變化。1.5.5 異方差異方差通常有三種表現形式，（1）遞增型，（2）遞減型，（3）復雜型異方差。(1) 時間序列數據和截面數據中都有可能存在異方差。 (2) 經濟時間序列中的異方差常為遞增型異方差。

12、金融時間序列中的異方差常表現為復雜型異方差，有自回歸條件異方差（ARCH，GARCH）模型處理此問題。 1. 異方差的后果用OLS法求出的仍具有無偏性，但不具有有效性和漸近有效性。 2. 定性分析異方差 (1) 經濟變量規模差別很大時容易出現異方差。如個人收入與支出關系，投入與產出關系。(2) 利用散點圖做初步判斷。(3) 利用殘差圖做初步判斷。 3. 定量檢驗異方差(1) White檢驗以二元回歸模型為例，yt = b0 +b1 xt1 +b2 xt2 + ut (5.9)首先對上式進行OLS回歸，求殘差。做如下輔助回歸式，= a0 +a1 xt1 +a2 xt2 + a3 xt12 +a4

13、 xt22 + a5 xt1 xt2 + vt (5.10)即用對原回歸式中的各解釋變量、解釋變量的平方項、交叉積項進行OLS回歸。注意，上式中要保留常數項。求輔助回歸式(5.10)的可決系數R2。White檢驗的零假設和備擇假設是 H0: (5.9)式中的ut不存在異方差， H1: (5.9)式中的ut存在異方差在不存在異方差假設條件下統計量 T R 2 c 2(5) (5.11)其中T表示樣本容量，R2是輔助回歸式(5.10)的OLS估計式的可決系數。自由度5表示輔助回歸式(5.10)中解釋變量項數（注意，不計算常數項）。T R 2屬于LM統計量。判別規則是若 T R 2 £ c

14、2a (5)，接受H0 （ut 具有同方差）若 T R 2 > c2a (5)，拒絕H0 （ut 具有異方差） (2) Goldfeld-Quandt 檢驗（只適用于檢驗遞增型異方差） H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有遞增型異方差。 F = = ，（k為模型中被估參數個數）在H0成立條件下，F F( n2 - k, n1 - k) 判別規則如下，若 F £ Fa (n2 - k, n1 - k) , 接受H0 （ut 具有同方差）若 F > Fa (n2 - k, n1 - k) , 拒絕H0 （ut 具有遞增型異方差）注意： 當摸型含有多個解釋變量時，應以

15、每一個解釋變量為基準檢驗異方差。 此法只適用于遞增型異方差。 對于截面樣本，計算F統計量之前，必須先把數據按解釋變量的值從小到大排序。 4. 消除異方差的方法 （1）直接假定異方差形式是Var(ut) = (k xt)2。（因為Var(ut) = E(ut)2，相當于認為 | = k xt）如原模型為 yt = b0 + b1 xt + ut 用xt同除上式兩側得 yt / xt = / xt + ut / xt , 此時Var(ut/ xt) = k 2。將參數代入原模型。 （2）對數據取自然對數消除異方差。1.5.6 自相關1. 非自相關假定 Cov(ui, uj ) = E(ui uj)

16、 = 0, (i, j Î T, i ¹ j),自相關又稱序列相關。這里主要是指回歸模型中隨機誤差項ut與其滯后項的相關關系。所研究的自相關的主要形式是一階線性自回歸形式。 ut = a1 ut -1 + vt對于總體參數有相關系數 r = a1。經濟變量中的自相關一般表現為正自相關。2. 自相關的來源 (1) 模型的數學形式不妥。 (2) 經濟變量的慣性。 (3) 回歸模型中略去了帶有自相關的重要解釋變量。2. 自相關的后果(1) 只要假定條件Cov(X ' u) = 0 成立，回歸系數 仍具有無偏性。(2) 喪失有效性。(3) 有可能低估誤差項ut的方差。3.

17、自相關檢驗介紹三種判別與檢驗方法。(1) 圖示法，（2）DW（Durbin-Watson）檢驗法，(3) 回歸檢驗法。（4）LM檢驗（亦稱BG檢驗）法 =+ +b0 +b1x1 t +b2 x2 t + + b k 1 x k-1 t + vt (6.20)上式中的是（6.18）式中ut的估計值。估計上式，并計算可決系數R2。構造LM統計量， LM = T R2 (6.21)其中T表示（6.18）式的樣本容量。R2為（6.20）式的可決系數。在零假設成立條件下，LM統計量近似服從 c2(n) 分布。其中n為（6.19）式中自回歸階數。如果零假設成立，LM統計量的值將很小，小于臨界值。判別規則是

18、，若LM = T R2 £ c2(n)，接受H0；若LM = T R2 > c2(n)，拒絕H0；4. 自相關的解決方法廣義差分變換法。用新變量估計參數值，然后代入原模型。5. 自相關系數的估計用DW統計量估計r，r = 1- DW/2。多重共線性1非多重共線性假定rk (X 'X ) = rk (X ) = k .解釋變量不是完全線性相關的或接近完全線性相關的。 | rxi xj | ¹1, | rxi xj | 不近似等于1。因為解釋變量間存在一定程度的線性關系是實際中常遇到的情形，所以我們關心的不是有無多重共線性，而是多重共線性的程度。 2多重共線性的經

19、濟解釋 （1）經濟變量在時間上有共同變化的趨勢。（2）解釋變量與其滯后變量同作解釋變量。 3多重共線性的后果（1） 當 | rxi xj | = 1，X為降秩矩陣，則 (X 'X) -1不存在，= (X 'X)-1 X 'Y 不可計算。 （2）若 | rxi xj | ¹1，即使 | rxi xj | ®1，仍具有無偏性。（3）當 | rxi xj | ®1時，X 'X接近降秩矩陣，即 | X 'X | ®0，Var() = s 2 (X 'X)-1變得很大。所以喪失有效性。 4多重共線性的檢驗 （1）初步

20、觀察。當模型的擬合優度（R 2）很高，F值很高，而每個回歸參數估計值的方差Var(bj) 又非常大（即t值很低）時，說明解釋變量間可能存在多重共線性。 （2）Klein判別法。計算多重可決系數R2及解釋變量間的簡單相關系數rxi xj。若有某個| rxi xj | > R2，則xi，xj間的多重共線性是有害的。 5多重共線性的克服方法5.1 直接合并解釋變量 5.2 利用已知信息合并解釋變量 5.3 增加樣本容量或重新抽取樣本 5.4 合并截面數據與時間序列數據5.5逐步回歸法1 突變檢驗（break point test, Chow檢驗）兩個樣本分別用n1和n2表示，并定義T = n1

21、 + n2。則所用統計量定義為 F = = F(k, T-2 k) H0: aj = bj , j = 1, , k-1 H1: aj, bj,不全對應相等檢驗規則是 若F > Fa (k,T-2k) 拒絕H0（回歸系數有顯著性變化） 若F < Fa (k,T-2k) 接受H0（回歸系數無顯著性變化）2回歸系數的穩定性檢驗（Chow檢驗）首先對同一形式模型（含k個被估參數）用樣本T和樣本T+ n分別進行回歸，則所用統計量定義為 F = F(n, T- k) H0: bj = bj' , （j = 1, , k-1） H1: bj與bj' , （j = 1, , k-

22、1），不全對應相等檢驗規則是 若F > Fa ( n, T- k) 拒絕H0（回歸系數有顯著性變化） 若F < Fa ( n, T- k) 接受H0（回歸系數無顯著性變化）第2章 時間序列模型時間序列模型不同于經濟計量模型的兩個特點是： 這種建模方法不以經濟理論為依據，而是依據變量自身的變化規律，本身的外推機制描述時間序列的變化。 明確考慮時間序列的非平穩性。如果時間序列非平穩，建立模型之前應先通過差分把它變換成平穩的時間序列，再考慮建模問題。2.1隨機過程概念隨機變量組成的一個有序序列稱作隨機過程。表示為 xt。兩種基本的隨機過程（1） 白噪聲過程 對于隨機過程 xt , t&#

23、206;T , 如果E(xt) = 0, Var (xt) = s 2 < ¥ , tÎT; Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) Î T , k ¹ 0 , 則稱xt為白噪聲過程。（2） 隨機游走過程對于下面的表達式 xt = xt -1 + ut ( 2.3)如果ut 為白噪聲過程，則稱xt為隨機游走過程。隨機游走過程的均值為零，方差為無限大。 2.2時間序列模型的分類 1自回歸過程, AR(p)如果一個線性過程可表達為 xt = f 1xt-1 + f 2 xt-2 + + f p xt-p + ut , (2.4)用

24、AR(p)表示。2 平均過程, MA(q)如果一個線性隨機過程可用下式表達xt = ut + q 1 ut 1 +q 2 ut -2 + + q q ut q = (1 + q 1L + q 2 L2 + +q q Lq) ut = Q(L) ut其中q 1, q 2, , q q是回歸參數，ut為白噪聲過程。上式稱為q階移動平均過程，記為MA(q)。自回歸與移動平均過程的關系： 一個平穩的AR(p)過程可以轉換為一個無限階的移動平均過程，一個可逆的MA(p)過程可轉換成一個無限階的自回歸過程， 對于AR(p)過程只需考慮平穩性問題。不必考慮可逆性問題。對于MA(q)過程，只需考慮可逆性問題，

25、不必考慮平穩性問題。3自回歸移動平均過程由自回歸和移動平均兩部分共同構成的隨機過程稱為自回歸移動平均過程， xt = f 1xt-1 + f 2xt-2 +f p xt-p + ut +q 1ut-1 + q 2 ut-2 + .+ q q ut-q (2.16)記為ARMA(p, q)。ARMA(p, q) 過程的平穩性只依賴于其自回歸部分，即F (z) = 0的全部根取值在單位圓之外（絕對值大于1）。其可逆性則只依賴于移動平均部分，即Q (z) = 0的根取值應在單位圓之外。4單整自回歸移動平均過程隨機過程yt 經過d 次差分之后可變換為一個以F (L)為p階自回歸算子，Q (L)為q階移

26、動平均算子的平穩、可逆的隨機過程， F (L)Dd yt = Q (L) ut 則稱yt 為（p, d, q）階單整(單積)自回歸移動平均過程，記為AR1MA (p, d, q)。這種取名的目的是與以后各章中的稱謂相一致。AR1MA過程也稱為綜合自回歸移動平均過程。2.3 自相關函數以滯后期k為變量的自相關系數列 rk, k = 0, 1, , K （理論的）稱為自相關函數。MA(q) 過程的自相關函數具有截尾特征。相關圖 rk = gk /g0, k = 0, 1, , K （估計的）是對自相關函數的估計。相關圖是識別MA過程階數和ARMA過程中MA分量階數的一個重要方法。2.4 偏自相關函

27、數用 fkj 表示k階自回歸式中第j個回歸系數，則k階自回歸模型表示為 xt = fk 1 xt-1 + fk 2 xt-2 + + fkk xt-k + ut其中 fkk 是最后一個回歸系數。若把fkk看作是滯后期k的函數，則稱 fkk, k = 1, 2 (2.45)為偏自相關函數。AR過程和ARMA過程中AR分量的偏自相關函數具有截尾特性 偏相關圖, k = 1, 2 ，是對偏自相關函數的估計。偏相關圖是識別AR過程和ARMA過程中AR分量階數的一個重要方法。2.5 時間序列模型的建立與預測建立時間序列模型三步驟。（1）模型的識別，（2）模型參數的估計，（3）診斷與檢驗。(1) 模型的識別在對經濟時間序列進行分析之前，首先應對樣本數據取對數，目的是消除數據中可能存在的異方差。用單位根檢驗或相關圖判斷隨機過程是否平穩。防止過度差分。（時間序列的波動幅度變大，即樣本的極差變大。）學會按表2.3識別參數p，q。(2) 模型參數的估計學會用EViews估計模型參數，寫出表達式，分析EViews估計結果。(3) 診斷與檢驗檢驗模型參數的估計值是否具有顯著