1、八年級數(shù)學(上)期末復(fù)習+例題解析 第一章 三角形全等1、全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。 理解：全等三角形形狀與大小完全相等，與位置無關(guān)；一個三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后得到的三角形，與原三角形仍然全等；三角形全等不因位置發(fā)生變化而改變。2、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。 理解：長邊對長邊，短邊對短邊；最大角對最大角，最小角對最小角；對應(yīng)角的對邊為對應(yīng)邊，對應(yīng)邊對的角為對應(yīng)角。全等三角形的周長相等、面積相等。 全等三角形的對應(yīng)邊上的對應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。3、全等三角形的判定： 邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個

2、三角形全等。角邊角公理(ASA) 有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。4、證明兩個三角形全等的基本思路：已知兩邊：找第三邊（SSS）；找夾角（SAS）；找是否有直角（HL）.已知一邊一角：找一角（AAS或ASA）；找夾邊（SAS）. 已知兩角：找夾邊（ASA）；找其它邊（AAS）.ABCDE例題評析例1 已知：如圖，點D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，求證：AB=ACBCDEFA例2 已知

3、：如圖，A、C、F、D在同一直線上，AFDC，ABDE，BCEF，求證：ABCDEFBCDEFA例3已知：BECD，BEDE，BCDA，求證：BECDEA； DFBC例4如圖，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于點O.求證：(1) ABCAED； (2) OBOE .例5 如圖，在正方形ABCD中，E為DC邊上的點，連接BE，將BCE繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DCF，連接EF，若BEC=60°，求EFD的度數(shù).例6如圖，將長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B的位置，AB與CD交于點E.（1）試找出一個三角形與AED全等，并加以證明

4、.（2）若AB=8，D E=3，P為線段AC上的任意一點，PGAE于G，PHEC于H， PG+PH的值會變化嗎？若變化，請說明理由； 若不變化，請求出這個值。例7已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是 ， QE與QF的數(shù)量關(guān)系是 ； （2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明； （3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明復(fù)習作業(yè)：解答題1.（1）

5、如下圖，等邊ABC內(nèi)有一點P若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則APB=_。分析：由于PA，PB不在一個三角形中，為了解決本題我們可以將ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到ACP處，此時ACP_這樣，就可以利用全等三角形知識，將三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個三角形中從而求出APB的度數(shù)。（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如右圖，ABC中，CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點且EAF=45°，求證：EF2=BE2+FC2 。2.如圖所示，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，ABCBAD求證：（1）OA=OB；（2）ABCD3.如圖所示

6、，ABCADE，且CAD=10°，B=D=25°，EAB=120°，求DFB和DGB的度數(shù)4.如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC.求證：（1）EC=BF；（2）ECBF.5.已知：如圖，AB=AE,1=2,B=E.求證：BC=ED.6.如圖所示，在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD，CE相交于F.求證：AF平分BAC.7.ABC中，ACB90°，ACBC6，M點在邊AC上，且CM2，過M點作AC的垂線交AB邊于E點.動點P從點A出發(fā)沿AC邊向M點運動，速度為每秒1個單位，當動點P到達M點時，運動停止.連接EP，E

7、C.在此過程中， 當t為何值時，EPC的面積為10？ 將EPC沿CP翻折后，點E的對應(yīng)點為F點，當t為何值時，PFEC？8.在ABC中，ABC90°，分別以邊AB、BC、CA向ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，連接GD，AG，BD. 如圖1，求證：AGBD. 如圖2，試說明：SABCSCDG.（提示：正方形的四條邊相等，四個角均為直角） 圖1 圖2第二章 軸對稱1、 軸對稱圖形相對一個圖形的對稱而言；軸對稱是關(guān)于直線對稱的兩個圖形而言。2、 軸對稱的性質(zhì)： 軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一

8、對對應(yīng)點所連的線段的垂直平分線； 3、線段的垂直平分線：性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等。 判定定理：到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。拓展：三角形三條邊的垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等4、角的角平分線：性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。 判定定理：到角兩個邊距離相等的點在這個角的角平分線上。拓展：三角形三個角的角平分線的交點到三條邊的距離相等。5、等腰三角形： 性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等；（等邊對等角） 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合。（三線合一） 判斷定理：一個三角形的兩個相等的角所對的邊也相等。（

9、等角對等邊）6、等邊三角形：性質(zhì)定理：等邊三角形的三條邊都相等；等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，都等于60°；拓展：等邊三角形每條邊都能運用三線合一這性質(zhì)。判斷定理：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有兩個角是60°的三角形是等邊三角形； 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。7、直角三角形推論： 直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。拓展：直角三角形常用面積法求斜邊上的高。例題評析1、線段的對稱軸有 條，是 2、線段垂直平分線上的點到 的距離相

10、等 3、到 距離相等的點在線段的垂直平分線上 例1：如圖，在ABC中，DE是AC的垂直平分線 (1)若AC6，ABD的周長是13，則ABC的周長是_； (2)若ABC的周長是30，ABD的周長是25，則AC_例2：如圖，在ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、點D.(1)若BC8，則ADE的周長是_；(2) 若BAC=110°，那么EAD_(3) 若EAD=100°，那么BAC_4、角的對稱軸有 條，是 5、角平分線上的點到 的距離相等 又 6、角的內(nèi)部到 距離相等 的點在角的平分線上 又 例3：如圖，在ABC中，C=90°，AD平分BAC. (1)

11、若CD=5，則點D到AB的距離為 .(2) 若BD：DC=3：2，點D到AB的距離為6，則BC的長是 .例4：如圖，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分別為A、B下列結(jié)論中，不一定成立的是 ( ) APA=PB BPO平分APB COA=OB DAB垂直平分OP補充：三角形的三條邊的垂直平分線的交點到 的距離相等三角形的三條角平分線的交點到 的距離相等1. 請你先在圖的BC上找一點P，使點P到AB、AC的距離相等，再在射線AP上找一點Q，使QB=QC2. 如圖，求作點P，使點P同時滿足：PA=PB；到直線m，n的距離相等7、等邊對等角 8、等角對等邊 9、等腰三角形 、 、 重合（三線合

12、一） （有 條對稱軸） 又 又 又 例5：（1）等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為11，則該等腰三角形的周長為 （2）等腰三角形的兩邊長分別為4、5.則該等腰三角形的周長為 （3）已知等腰三角形的一個外角為100°，則這個等腰三角形的頂角為_（4）等腰ABC中，若A=30°，則B= 例6：(1)如圖，在RtABC中，若AB=AC，AD=AE，BAD=40°,則EDC=_(2)如圖，ACB=90°,E、F為AB上的點，AE=AC，BC=BF，則ECF=_ _(3)如圖， AB=AC=DC，且BD=AD，則B=_ _例7：如圖，ABC、ACB的平分線相交于點

13、F，過點F作DEBC，交AB于點D，交AC于點E試說明BDECDE例8：如圖，已知AB=AC，AD=AE求證：BD=CE例9：在ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上（1）求證：BE=CE；（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BFAC，垂足為F，BAC=45°，原題設(shè)其它條件不變求證：AEFBCF10、（1）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三條邊 ，三個角都是 ，每條邊上都有三線合一，有 條對稱軸 （2）等邊三角形的3個判定方法：三條邊都 的三角形是等邊三角形三個角都 的三角形是等邊三角形有一個角是 的 三角形是等邊三角形例10：(1)如圖，在等邊三角形ABC中，

14、BDCE，AD與BE相交于點P，則APE=_(2)如圖，正方形ABCD，EAD為等邊三角形，則EBC_ABCD(3)如圖，已知等邊ABC，AC=AD,且ACAD，垂足為A，則BEC_ 例11：如圖，C為線段AE上一動點(點C不與點A、E重合)，在AE的同側(cè)分別作等邊ABC和等邊CDE，AD與BE相交于點O，AD與BC相交于點P，BE與CD相交于點Q，連接PQ下列五個結(jié)論：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60°，其中恒成立的有_(填序號)例12：如圖，ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點E、A在直線DC的同側(cè)，連接AE求證：A

15、EBC11、直角三角形斜邊上的中線等于 又 12、用等積法求直角三角形斜邊上的高SABC= = 13、直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于 又 例12：(1)在RtABC中，C=90°，CD是斜邊AB的中線，且CD=4 cm，則AB=_(2)在RtABC中，C=90°，B=30°，AB=8，則AC=_(3)在RtABC中，C=90°，AC=8，BC=6，則AB邊上的高CD= 例13：如圖，在ABC中，BD、CE是高，G、F分別是BC、DE的中點，連接GF，求證： GFDE例14：如圖，已知：三角形ABC中，A90°，ABAC，D為

16、BC的中點， E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且BEAF，求證：DEF為等腰直角三角形相關(guān)練習：1如圖，在ABC中，BC=8 cm，BP、CP分別是ABC和ACB的平分線，且PDAB，PEAC，求PDE的周長2如圖，在邊長為2等邊ABC中， AD是BC邊上的中線，E、F是AD的三等分點，則圖中陰影部分的面積是_cm23如圖，在ABC中，CD與C，分別是ABC的內(nèi)角、外角平分線，DF/BC交AC于點E試說明(1) DCF為直角三角形；(2)DE=EF4如圖，ABC是等腰三角形，B=C，AD是底邊BC上的高，DEAB交AC于點E試找出圖中除ABC外的等腰三角形，并說明你的理由5.如圖，AD是ABC的

17、角平分線，點E在AB上，且AE=AC，EFBC交AC于點F求證：EC平分DEF6如圖，AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且BCDC BE與DF相等嗎？請說明理由7如圖，C為線段AB上任意一點（不與A、B重合），在AB的同側(cè)分別作ACD和BCE，CACD，CBCE，ACD與BCE都是銳角，且ACDBCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接PC試說明： (1) ACEDCB (2) PC平分APB8如圖，等邊ABC中，D是AC的中點，延長BC到點E，使CE=CD，AB=10cm( l ）求BE的長； ( 2 ）試說明BD=ED9畫圖、證明：如圖，AOB=

18、90°，點C、D分別在OA、OB上（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作AOB的平分線OP；作線段CD的垂直平分線EF，分別與CD、OP相交于E、F；連接OE、CF、DF（2）在所畫圖中，線段OE與CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由 求證：CDF為等腰直角三角形10.如圖，已知點D為等腰直角ABC內(nèi)一點，CADCBD15°，E為AD延長線上的一點，且CECA（1）求證：DE平分BDC；（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證： ME=BD11.如圖，設(shè)BAC=（0°90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB，A

19、C上.從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第一根小棒，且A1A2=AA1 .(1)小棒能無限擺下去嗎？答： .(填“能”或“不能”)(2)若已經(jīng)擺放了3根小棒，則1 =_，2 =_，3=_；（用含的式子表示）(3)若只能擺放4根小棒，求的范圍.12如圖1，點P、Q分別是等邊ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M（1）求證：ABQCAP；（2）當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動

20、，直線AQ、CP交點為M，則QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)13如圖，在ABC中，ABAC，點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BECD，BDCF (1)試說明DEDF(2)若A40°，求EDF的度數(shù)14如圖，ABC中，AB=AC，BAC=54°，BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則OEC為 _15如圖，在ABC中，ABAC5，BC6，點M為BC的中點，MNAC于點N，則MN等于 16如圖，P為AOB的平分線OC上任意一點，PMOA于M，PNOB于N，連接MN交OP

21、于點D則PMPN；MONO；OPMN；MDND其中正確的有 17如圖所示，等邊三角形ABC的邊長是6，點P在邊AB上，點Q在BC的延長線上，且APCQ，設(shè)PQ與AC相交于點D(1)當DQC30°時，求AP的長(2)作PEAC于E，求證：DEAECD18如圖，在ABC中，已知BABC， B120°，AB的垂直平分線DE交AC于點D (1)求A的度數(shù)；(2)若AC6cm，求AD的長度19.若直角三角形斜邊上的高和中線分別為10 cm、12 cm，則它的面積為_cm220.如圖，某市把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，ACB=90oAC=80 mBC=60 m(1)若入口E

22、在邊AB上，且與A、B距離相等，求從人口E到出口C的最短路線的長；(2)若線段CD是一條水渠，且點D在AB邊上，已知水渠造價約為10元m，則點D在距點A多遠處，此水渠的造價最低?最低造價是多少?第三章 勾股定理勾：直角三角形較短的直角邊 股：直角三角形較長的直角邊 弦：斜邊1、勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2。2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。 常見勾股數(shù)：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15；&#

23、160;5,12,13。 4、簡單運用：勾股定理常用于求邊長、周長、面積；理解：已知直角三角形的兩邊求第三邊，并能求出周長、面積。     用于證明線段平方關(guān)系的問題。 利用勾股定理，作出長為的線段勾股定理的逆定理常用于判斷三角形的形狀；理解：確定最大邊（不妨設(shè)為c）； 若c2a2b2，則ABC是以C為直角的三角形； 若a2b2c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；  若a2b2c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）難點：運用勾股定理立方程解決問題。例題評析1、勾股定理：在直角三角形中，

24、兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方 例1：（1）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7 cm，正方形A、B、C的面積分別是8 cm2、10 cm2、14 cm2，則正方形D的面積是_cm2（2）如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積為為7，2號、3號兩個正方形的面積和為4，則a，b，c三個方形的面積和為 （3）如圖，陰影部分是以直角三角形的三邊為直徑的半圓，兩個小半圓的面積和為100則大的半圓面積是_例2：(1)在RtABC中，A90°，B45°，AB3，則AC_BC_(2)在RtABC中，B90°，C30°，A

25、B3，則AC_BC_.(3)在RtABC中，C90°，AC:AB=3:4，AB25，則AC_BC_.(4).在RtABC中, AB6，AC8，則BC= .例3：（1）如圖，已知AB13，BC14，AC15，ADBC于D，求AD長（2）已知ABC中，AB13， AC15，ADBC，且AD=12，求BC的長.例4：（1）在RtABC中，A90°，B45°，BC6, 求AC和BC （2）在RtABC中，B90°，C30°，BC3，求AB和AC（3）若直角三角形中，一斜邊比一直角邊大2，且另一直角邊長為6，求斜邊的長（4）等腰三角形ABC的面積為12，

26、底上的高AD為4，求它的腰長（5）等腰三角形的周長是20 cm，底邊上的高是6 cm，求它的面積.例5：（1）在ABC中，C90°，AB6，BC8，DE垂直平分AB，求BE的長.（2）在ABC中，C90°，AB6，BC8，AE平分CAE，EDAB,求BE的長.（3）如圖，折疊長方形紙片ABCD，是點D落在 邊BC上的點F處，折痕為AE，AB=CD=6， AD=BC=10，試求EC的長度.2、勾股定理的逆定理：一個三角形中，如果兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個三角形是直角三角形 例1：每個小正方形的邊長為1.(1)求ABC的面積 (2)判斷ABC的形狀 例2：如圖，

27、在四邊形ABCD中，AB3 cm，AD4 cm，BC13 cm，CD12 cm，A90°，求四邊形ABCD的面積 例3：如圖，在ABC中，CD是AB邊上的高，AD9，BD1，CD3試問：ABC是直角三角形嗎？為什么？例4：如圖，在ABC中，AB=17 cm，BC=16 cm，BC邊上的中線AD=15 cm，求AC 3、勾股數(shù)： 常見勾股數(shù)有：3、；5、；6、； 9、；例：下列命題中，是假命題的是( ) A在ABC中，若BCA，則ABC是直角三角形 B在ABC中，若a2(bc) (bc)，則ABC是直角三角形C在ABC中，若A：B：C3：4：5，則ABC是直角三角形 D在ABC中，若a

28、：b：c5：4：3，則ABC是直角三角形4、補充：長方體盒子內(nèi)最長的線段 ； 長方體盒子外小蟲爬行的最短路線 ； 圓柱體盒子內(nèi)最長的線段 圓柱體盒子外小蟲爬行的最短路線 例2：底面周長為12，高為8的圓柱體上有一只小螞蟻要從點A爬到點B，則螞蟻爬行的最短距離是( ) A10 B8 C5 D4例3：某開發(fā)區(qū)有一空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計劃在空地上種草皮，經(jīng)測量，B90°，AB3m，BC4 m，AD12 m，CD13 m，若每種植1平方米草皮需要100元，問總共需要投入多少元？5、勾股定理的應(yīng)用例1：（1）一輪船以16 n mi1eh的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12 n

29、 mi1eh的速度同時從港口出發(fā)向東南方向航行，那么離開港口A2h后，兩船相距 （2）一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端5 m，消防車的云梯最大升長為13 m，則云梯可以達到該建筑物的最大高度是 （3）一棵樹在離地面9m處斷裂，樹的頂部落在離底部12 m處，樹折斷之前有_m例2：如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為7m，梯子的頂端B到地面的距離為24 m，現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到A'，使梯子的底端A'到墻根O的距離等于15 m同時梯子的頂端B下降至B'，那BB'等于 ( )A3m B4 m C5 m D6 m課后

30、練習1：如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形(涂上陰影)。 (1)在圖中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)； (2)在圖、圖中，分別畫兩個不全等的直角三角形，使它們的三邊長都是無理數(shù)2：中華人民共和國道路交通管理條例規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米時一輛“小汽車”在一條城市街道上直道行駛，如圖某一時刻剛好行駛到路對面“車速檢測儀A”正前方50米C處，過了6秒后，測得“小汽車”位置B與“車速檢測儀A”之間的距離為130米，這輛“小汽車”超速了嗎？請說明理由3：如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30

31、°，點A處有一所中學，AP160米，假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否回受到噪聲的影響？說明理由如果受影響，已知拖拉機的速度為18千米時，那么學校受影響的時間為多少秒？4：如圖，A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC1 km，BD3 km，CD3 km現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費用為20 000元千米，請你在河CD邊上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費用？第四章 實數(shù)1、平方根：定義：一般地，如果x2=a(a0)，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（

32、或二次方根）。表示方法：正數(shù)a的平方根記做“”，讀作“正、負根號a”。性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。 2、開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。3、算術(shù)平方根：定義：一般地，如果x2=a(a0)，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是0。 表示方法：記作“”，讀作“根號a”。性質(zhì)：一個正數(shù)只有一個算術(shù)平方根；零的算術(shù)平方根是零；負數(shù)沒有算術(shù)平方根。 注意的雙重非負性：4、立方根：定義：一般地，如果x3=a那么這個數(shù)x就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：記作“”，讀作“三次根號a”。性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根

33、；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。注意：，這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。5、開立方：求一個數(shù)a的立方根的運算，叫做開立方。6、實數(shù)定義與分類：無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。理解：常見類型有三類：開方開不盡的數(shù)：如,等； 有特定意義的數(shù)：如圓周率，或化簡后含有的數(shù)，如+8等；有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)：如0.1010010001等；(注意省略號)實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。實數(shù)的分類：按定義來分 按符號性質(zhì)來分 整數(shù)(含0) 正有理數(shù) 有理數(shù) 分數(shù) 正實數(shù) 正無理數(shù)實數(shù) 實數(shù) 0 無理數(shù) 負實數(shù) 負有理數(shù) 負無理數(shù)7、實數(shù)比較大小法：理解：正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)

34、；數(shù)軸比較：數(shù)軸上的兩個點所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；絕對值比較法：兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。平方法：a、b是兩負實數(shù)，若a2b2，則ab。8、實數(shù)的運算：六種運算：加、減、乘、除、乘方、開方實數(shù)的運算順序：先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。實數(shù)的運算律：加法交換律、加法結(jié)合律 、乘法交換律、乘法結(jié)合律 、乘法對加法的分配律。9、近似數(shù)：由于實際中常常不需要用精確的數(shù)描述一個量，甚至在更多情況下不可能得到精確的數(shù)，用以描述所研究的量，這樣的數(shù)就叫近似數(shù)。 取近似值的方法四舍五入法。10、科學記數(shù)法： 把一個數(shù)記為（其中1a1,n是整數(shù)

35、)的形式，就叫科學計數(shù)法。11、實數(shù)和數(shù)軸： 每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示；反過來，數(shù)軸上每一個點都表示一個實數(shù)。實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系。例題評析1、a的平方根是 ，（其中a ）2、平方根的性質(zhì)： 正數(shù)有 個平方根，它們 0有有 個平方根，是 負數(shù) （ 的平方根是它本身）3、a的算術(shù)平方根是 ，（其中a ） （ 的算術(shù)平方根是它本身）4、公式： ，（其中a ） ，（其中a ）5、a的立方根是 ，（其中a ） （ 的立方根是它本身）6、公式： ，（其中a ） ，（其中a ）例1：（1）169的平方根是_，196的算術(shù)平方根是_，125的立方根是_； （2）的平方根是_，

36、的平方根是_，的立方根是_例2：化簡： _，_，_，=_，_例3：如果一個正數(shù)的平方根是a3與2a15，求這個正數(shù)例4：已知2a1的平方根是±3，3ab1的立平方根是3，求a2b的平方根例5：（1）若0，則xy_（2）已知， 則x_，y_例6：求下列各式中的x(1) 4x2-322 (2) (4x1)2289 (3) (4) 例7：(1) (2)(3) （4）例8：已知數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示，化簡7、 和 統(tǒng)稱為實數(shù).實數(shù)與 一一對應(yīng). 無理數(shù)的三種形式：（1） （2） （3） 例1：把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)，4，-，3.1415，0.6，0， ， ，(1)有理數(shù)集合： (

37、2)無理數(shù)集合： (3)正實數(shù)集合： (4)負實數(shù)集合： 例2：在數(shù)軸上找出表示的點.例3：（1）指出下列各數(shù)在哪兩個相鄰整數(shù)之間 << ； <3+< ； <2< ； <7< ；（2）的整數(shù)部分是 ，小數(shù)部分是 .（3）滿足的整數(shù)是 （4）絕對值小于的整數(shù)是 例4：（1）的倒數(shù)是_，相反數(shù)是_，絕對值是_（2）2的相反數(shù)是_，絕對值是_的相反數(shù)是_ _，絕對值是_（3） ， ， ， .例5：比較下列各組數(shù)的大小：（1） （2） （3） 2CA0B例6：如圖，數(shù)軸上表示1，的對應(yīng)點分別為A、B，點B關(guān)于點A的對稱點為C，則點C表示的實數(shù)為 （ ）A

38、1 B1 C2 D2例7：計算：(1)；(2)；(3)8、近似數(shù)例1: 小明的體重約為51.51 kg，若精確到10 kg，其結(jié)果為_；若精確到1 kg，其結(jié)果為_；若精確到0.1 kg，其結(jié)果為_例2：近似數(shù)1.8×10精確到 例3：近似數(shù)3.0的準確數(shù)a的取值范圍是_ _ _相關(guān)練習：1、已知下列各數(shù)：13，0，一4，(一3)2，一，314，其中有平方根的數(shù)的個數(shù)是 ( ) A2個 B3個 C4個 D5個2、如果，那么(a67)3的值為 ( ) A64 B一27 C一343 D3433、下列說法中不正確的是（ ）.A.10的平方根是± B.2是4的一個平方根C.的平方根

39、是的算術(shù)平方根是0.14、若有意義，則x的取值范圍是 ( ) Ax Bx1 Cx1 Dx或x15、如果和是一個數(shù)的平方根，則6、已知a是小于3+的整數(shù)，且，那么a的所有可能的取值是_7、已知5+的小數(shù)部分是a，5一的小數(shù)部分是b，求(a+b)2008的值8、設(shè)m是的整數(shù)部分，n是的小數(shù)部分，試求2mn的值9、已知實數(shù)x,y滿足，求x一8y的立方根10、3x9的平方根是0，則x= ；5+2y的立方根是3，則y= 11、當0a1時，化簡= 12、寫出一個3到4之間的無理數(shù)_13、比較下列實數(shù)的大小：_14、已知+=0，則以a、b、c為三邊的三角形形狀是.15、按要求取近似數(shù)：（1）68.5（精確到

40、10） ； （2）0.43萬（精確到千位） ；（3）0.05097（精確到萬分位） ； （4）367 000 000 (精確到千萬位) .16、若a、b為實數(shù)，且，求。17、求x的值：； ； 18、下圖的正方形網(wǎng)格，每個正方形頂點叫格點，請在圖中畫一個面積為10的正方形19、地球七大洲的總面積約是149480000，如對這個數(shù)據(jù)精確到百萬可表示為_20、中華人民共和國2004年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報發(fā)布的數(shù)據(jù)，2004年我國因洪澇和干旱造成的直接經(jīng)濟損失達97500000000元，用科學記數(shù)法表示這一數(shù)據(jù)為_元（精確到億）。21、在實數(shù)-，|-2，0.808008中，無理數(shù)個數(shù)為( )（A

41、）2 （B）3 （C）4 （D）522、在所給的數(shù)：，0570585 885 888 588 885(相鄰兩個5之間的8的個數(shù)逐次增加1)中，無理數(shù)的個數(shù)是 ( ) A2 B3 C4 D5第五章 平面直角坐標系1、 在平面內(nèi)，確定物體的位置一般需要兩個數(shù)據(jù)。2、平面直角坐標系及有關(guān)概念：平面直角坐標系：定義：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，組成平面直角坐標系。其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統(tǒng)稱坐標軸。它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。象限：為了便于描述坐標平面內(nèi)點的位置，把

42、坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點（坐標軸上的點），不屬于任何一個象限。點的坐標的概念：對于平面內(nèi)任意一點P,過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數(shù)對（a，b）叫做點P的坐標。點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當ab時，(a，b)和(b，a)是兩個不同點的坐標。平面內(nèi)點的與有序?qū)崝?shù)對(坐標)是一一對應(yīng)的關(guān)系。不同位置的點的坐標的特征:各象限內(nèi)點的坐標的特征：點P(x

43、,y)在第一象限：x>0,y>0； 點P(x,y)在第二象限：x<0,y>0；點P(x,y)在第三象限：x<0,y<0； 點P(x,y)在第四象限：x>0,y<0。坐標軸上的點的特征：點P(x,y)在x軸上：y=0，x為任意實數(shù)；點P(x,y)在y軸上：x=0，y為任意實數(shù)。點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上：即是原點坐標為（0，0）。兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征：點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上：x與y相等；點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線（直線y=-x）上：x與y互為相反數(shù)。和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征：位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同；位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。關(guān)于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征：點P與點p關(guān)于x軸對稱：橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點為P（x，-y）點P與點p關(guān)于y軸對稱：縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)，即點P（x，y）關(guān)于y