1、第十四章 整式的乘除與因式分解1、教學內容及地位本章屬于課程標準中的 “數與代數”領域，其核心知識是：整式的乘除運算和因式分解。這些知識是在學習了有理數的運算、列代數式、整式加減和解一元一次方程及不等式的基礎引入的。也是進一步學習分式和根式運算、一元二次方程以及函數等知識的基礎，同時又是學習物理、化學等學科及其他科學技術不可缺少的數學工具，因此，本章在初中學段占有重要地位。2、本章教學內容在學習上各部分知識之間的聯系如下：從上面可以看出，本章內容的突出的特點是：內容聯系緊密、以運算為主。全章緊緊圍繞整式的乘除運算，分層遞進，層層深入。在整式的乘除中，單項式的乘除是關鍵，這是因為其他乘除都要轉化

2、為單項式除法。實際上，單項式的乘除進行的是冪的運算與有理數的運算，因此冪的運算是學好整式乘除的基礎。3、教學目標課程標準目標人教材具體目標目標1：了解整數指數冪的意義和基本性質，會進行簡單的整式乘法運算（其中的多項式相乘僅指一次式相乘）目標1：掌握正整數冪的乘、除運算性質，能用代數式和文字語言正確地表述這些性質，并能運用它們熟練地進行計算.掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行計算.目標2：會推導乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(a+b)2=a2+2ab+b2，了解公式的幾何背景，并能進行簡單計算.目標2：會推導乘法公式（平方

3、差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算.目標3：會用提公因式法、公式法（直接用公式不超過二次）分解因式（指數是正整數）.目標3：理解因式的意義并感受分解因式與整式乘法是相反方向的變形，掌握提公因式法和運用公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解分解因式的一般步驟，能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解.目標4：掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算.目標解析:解析每個目標目標1中課標對整式乘法運算的要求其中的多項式相乘僅指一次式相乘，是對多項式與多項式相乘的難度作一個要求。目標2中對乘法公式

4、的要求不僅是能利用公式進行（簡單）的乘法運算，更要引起老師們注意的是，目標要求會“推導”乘法公式，因此在教學中要從代數、幾何多個角度出發推導公式。目標3中，課標要求：會用提公因式法、公式法（直接用公式不超過二次）分解因式（指數是正整數）。首先初中階段對分解因式只要求掌握兩種方法，而對于分組分解法和十字相乘法則不做要求；其次，直接用公式不超過二次，如把多項式a8-1分解因式則是超課標了；最后，多項式中的字母指數僅限于正整數的情況，不考慮指數是負數，分數或字母的情況。而在學習過程中比克標的要求要高一些，通過教學我們要讓學生理解因式分解的意義，了解因式分解與整式乘法的互逆關系，從中體會事物之間相互轉

5、化的辨證思想。通過學生的自主探索，發現和掌握因式分解的基本方法提公因式法和公式法（數學書P172選學部分中提到了“十字相乘法”），滲透特殊到一般，逆向思維，換元等思想，培養學生認真觀察、深入分析問題的良好習慣和能力。通過因式分解的應用與實踐，發展學生的數學思維能力，使他們獲得一些研究問題、解決問題的經驗與方法。顯然教材比課標中的目標高很多，建議老師們根據自己學生的情況進行分層目標要求。2 課標總目標與人教材具體目標整體要求偏低,建議從兩個方面把握：課標是由國家教育部制訂的，教材的版本可以不同，但課標是同一個，從中考角度講，中考內容一定不能超出課標要求的范圍，因此應以課標為準繩把握教學目標。課標

6、是國家對義務教育階段數學課程的基本規范和要求，它只規定了學生在相應學段應該達到的最低、最基本的要求，因此又要根據學生的具體情況和教材編寫的特點，提出不同層次的教學目標。4.本章教學重點、難點本章教學重點是整式的乘除運算和因式分解的兩種基本方法，教學難點乘法公式的靈活應用，熟練掌握因式分解的兩種方法和變形技巧。5.課時安排本章教學時間約11課時，具體分配如下（僅供參考）：14.1整式的乘法 4課時14.2乘法公式 2課時14.3因式分解 3課時數學活動小結 2課時6、教學要求基本要求-會識別、能計算：u 經歷冪的運算性質、整式的乘法法則、乘法公式的探索過程，能夠進行簡單的整式乘法運算（特別是利用

7、乘法公式進行計算）.掌握三個對象以內的數字指數的冪的運算，如：掌握可轉化為冪的運算的數字簡單問題，如：掌握三個以內單項式的乘法運算，如：掌握一個單項式與一個二項式的乘法運算，如：掌握兩個一次二項式的乘法運算（特別是應用乘法公式的），如：u 經歷整式除法法則的探索過程，會進行簡單的整式除法運算.u 理解因式分解的意義，感受分解因式與整式乘法是相反方向的變形.u 掌握因式分解的方法提取公因式法和公式法（直接使用公式不超過兩次）.并能熟練地運用這些方法進行簡單的因式分解略高要求-會運用性質解決相關問題u 能靈活地運用三個冪的運算性質進行計算，并能弄清各性質之間以及它們與合并同類項之間的區別與聯系u

8、能根據運算性質、法則進行整式的加、減、乘、除、乘方較簡單的混合運算.u 能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算.如：415×0.2515=（4×0.25）15=；（利用乘法交換律和結合律，逆用積的乘方性質簡化運算）98×102=（100-2）×（100+2）=； 1022=（100+2）2=.（利用乘法公式將數的運算簡化）u 能綜合運用兩個乘法公式進行計算，并把公式推廣到三個數的情況.如：P155例5：運用乘法公式進行計算： (1)(x+2y-3)(x-2y+3)； (2)(a+b+c) 2u 體會代數與幾何圖形之間的聯系，能用幾何圖形解釋代數恒等式，從中

9、體會數學的整體性.如平方差公式和完全平方公式.較高要求-知識的靈活應用u 能夠逆用冪的運算性質進行簡化計算.如：若2m=a , 32n = b，則23m+10n = . （用a、b的代數式表示）u 會逆用乘法公式解決問題.如：若4y2 +my +9是一完全平方式，求m值.如：已知x-y=-10，求的值.（可以整體代入）u 能夠綜合應用本章的知識適當進行等式的恒等變形. 如：已知a+b=5，ab=3，求a2 +b2的值. 如：已知x+5y=6 , 求 x2+5xy+30y 的值. （利用因式分解，兩次整體代入）如：在(x2+ax+b)(2x2-3x-1)的積中，x3項的系數是-5，x2項的系數是

10、-6，求a，b的值.（求待定系數的值）u 知道在實數范圍內分解因式. 11.（無特別說明都是指在有理數范圍內分解因式）7、教學建議把握教學要求，重視 “過程”的教學為減輕學生負擔，培養學生的創新精神和實踐能力，新的課程標準中對于那些對后續學習意義不大、學得很早但用得很晚，以及過繁過難的內容進行了刪減或降低要求。教學中要注意準確把握教學要求，避免將刪掉或降低難度的內容重新揀回。本章整式乘除的運算性質、除法運算性質、乘法公式的得出過程，一般都是從數的運算，歸納得到式的運算性質，是一個由特殊到一般，從具體到抽象的歸納過程。在性質和公式發生過程的教學中，要重視上述歸納的過程教學，使學生在這個過程中理解

11、和掌握性質和公式。應是學生在理解的基礎上加以記憶，在運用的基礎上予以鞏固。改變教學方式，加強學生的自主活動教材中安排了大量的“探究”和“思考”欄目，以“觀察歸納-類比概括”為主要線索呈現運算法則的探索過程。在探索活動中體會整式運算的規律，教學中應注重學生對算理的理解，能夠合理安排運算順序，尋找簡捷的運算途徑，有意識地培養學生的推理能力和表達能力。在本章教學中，可以通過設置合理的問題情境，引導學生觀察、思考、探究和歸納；通過設置恰當數量和難度的符號運算，促進學生對算理的理解和基本運算技能的掌握；通過“探究”欄目，讓學生體驗獲得結論的過程，獲得成功的喜悅和信心；通過“思考”欄目可以拓展思維空間，促

12、進數學思考，加深對問題的認識。在學習活動中要充分信任學生，努力發揮他們的主觀能動性，讓他們通過觀察、思考、探究、討論、歸納，主動地進行學習。勤于思考，善于思考，是學好數學的先決條件。滲透思想方法，注意數學知識間的內在聯系本章主要涉及的數學思想方法有：轉化思想、數形結合思想、類比思想、分類討論思想、一般到特殊再到一般的基本數學思想等。“轉化思想”的使用在本章中極為突出。例如多項式的乘除法都是先轉化為單項式的乘除，再轉化為有理數的乘除與同底數冪的乘除法。由此可以看出，在整式的乘除法的學習中，只有打好基礎，才能夠熟練地進行后面的運算；只有在熟練運用轉化方法的前提下，才能夠順利地取得較好的效果。在教學

13、中，還要注意代數與幾何之間的內在聯系。數形結合，實際上就是抽象與直觀的結合。在以運算為主的“整式的乘除”一章中，抽象的運算公式、性質和法則借助于圖形，就可以直觀地反映它們的含義，揭示它們的本質，便于學生理解，增強記憶效果。比如教材在介紹單乘多、多乘多、平方差公式、完全平方公式時，都是先通過計算，得出用符號語言表達的法則，然后用文字語言加以概括和總結，最后用圖形語言給出直觀解釋，將文字、符號、圖形這三種數學語言的有機結合，有利于學生理解和掌握知識，提高學生學習數學的興趣，培養學生的數學交流能力。8、具體教學建議第一部分 對章前引言內容應給予一定重視一般地，章節前面的引言內容是一章的主線，是本章主

14、要內容的經典濃縮，教學中，我們要給予一定重視。第十五章“整式”以實際背景“長方形綠地”切入，引出數學問題“整式運算和因式分解”，即本章的核心知識，進而指出只有學習了本章知識，才能解決前面提到的實際問題，體現出“知識來源于生活，最后又應用于生活”的一般認識規律。第二部分 冪的乘除運算性質需要解決的問題：· 如何得到正整數指數冪的運算法則？（了解前后知識間的聯系，了解學科中局部與整體的關系，重視法則的探索過程）· 怎樣避免散、亂的練習，達到緊湊、高效的學習？（設計典型的例題，通過探索，達到一題多用，如：102×103，可以通過變底數、變指數、變項數、變符號、變問題情境

15、、變思維方式訓練；或進行編題活動）· 對字母指數冪的問題如何處理和掌握？（簡單的字母指數問題應涉及）· 對形如的式子，如何處理？（對，可以通過探究，得到一般規律）· 如何淡化記憶，強調經歷，更有效地與學生固有知識結構相銜接？（教材不用黑體字，于前有別，注意體會，通過補充一定量的口答題、辨析題，組織學生交流、討論，加強對冪性質的掌握）· 需要不需要補充？補充多少？（補充一些應用類問題，如：已知，求的值） 建議一：冪的意義要復習到位關于底數、指數、冪的概念，尤其是冪的意義是學習冪的四個運算性質的基礎，而這些概念是在有理數的乘法中學習的，儲存知識的時間過長，學

16、生可能遺忘。因此，在講解之前，冪的意義一定要復習到位。復習：an 表示的意義是什么？其中a、n、an分 別叫做什么? n個a= ana·a· ·a冪的意義：底數冪指數數an 建議二：同底數冪相乘要分析到位根據乘方的意義可以知道:12個103個1015個10問題1： 1012×103 =(10××10) × (10×10 ×10) = (10×10××10) =1015 問題2：a12×a3= 問題3：am×an= 給出冪的性質運算一般的推導過程，目的是讓學

17、生感受到推導的意義和必要性。因為學生以前所經歷的得出規律的過程，基本上用歸納的方法，他們對推導的意義和必要性會感到困惑。要向學生說明，前面的歸納過程幫助我們發現規律，但不能說明規律對所有情況都正確，所以要給出一般的推理說明。在這過程中，底數和指數都應當用字母表示，只有這樣的推導過程才具有一般意義。冪的性質運算是本章學習的起點，也是后續整式乘除運算學習的基礎，它的掌握程度直接關系到本章是否能較順利的學習。am×an=am+n 這個性質在數學上是非常重要的，它體現了冪函數的本質特征。教學中要通過大量的特例讓學生感受一般，鼓勵學生用自己的語言描述在同底數冪運算過程中底數、指數發生了怎樣的變

18、化？反復體會冪運算的意義。建議三：教學設計要遵循知識形成的特點教材中冪的運算這部分知識設計特點是：特例計算建立猜想符號表示一般證明形成法則。建議在學生得出法則后有意識的引導學生對學習方法以及探究過程的回顧。建議四：重視算理，類比記憶冪的四個運算性質的記法：實數有三級運算:一級運算(加、減運算)，二級運算(乘、除法運算)以及三級運算(乘方、開方運算)。冪的運算性質有這樣的規律，其運算往往歸結到它的指數的運算，其指數的運算恰好比冪的運算相應“降一級”，如：同底數冪的乘法運算（am·an=am+n），其結果指數運算降一級，成為加法運算；冪的乘方運算（(am)n=amn），其結果指數降為乘法

19、運算；冪的除法運算（am÷an=am-n）,其結果指數降為減法運算。引用學生的話來表述：位置低的底數乘法、乘方運算上升到位置高的指數運算時，運算級別相應地降為加法和乘法；在類比乘法對加法的分配律，可以把積的乘方看成是乘方對乘法的分配律。第三部分 整式的乘法需要解決的問題· 怎樣從已有知識結構出發，引導學生實踐、探索與討論，發現與上節關系？（可以利用幾何圖形的面積表示來引入，如多項式乘以多項式。充分利用教材中的“討論”，給出長和寬求面積，好求，但給出代數式，說出幾何背景及其他不同的實際意義，則對學生能力培養非常重要）· 字母指數的整式乘法要不要涉及？（簡單的字母指數

20、的整式乘法可以涉及，如 ：）· 怎樣利用幾何圖形解釋整式乘法，提高學生綜合能力？（結合“討論”，對一些簡單的整式乘法，探索其幾何圖形意義） · 如何培養學生“整體”觀念？（在多項式與多項式相乘中，應充分結合導圖中的問題來理解，把其中的一個因式 (m+n)看作一個整體，再利用乘法分配律來理解 (m+n)與(a+b)相乘的結果，從而滲透整體觀念 ）· 需要不需要補充？補充多少？（應重視知識的形成過程，重視法則的理解和應用，補充應用代數式恒等變形的問題，如：已知中不含x2項，求b的值.） 建議一：重視引入的設計設計問題情境：兩個整式相乘，參與運算的整式有幾種情況？根據整

21、式的概念和運算律，兩個整式相乘有三種情況：單×單，單×多，多×多； 新知 舊知多×多 單×多 單×單 同底數冪相乘 整式加減（化簡） 易 繁 易滲透分類討論思想，讓學生有條理的對整式運算的幾種情況分析歸類，做到不重不漏，滲透轉化思想，再次體會“新知轉化為舊知”，“化易為繁，化繁為易”的轉化思想.建議二：重視轉化思想的滲透單項式的乘法是單項式乘以多項式和多項式乘以多項式的基礎，無論是單項式乘多項式還是多項式乘多項式，都必須轉化為單項式的乘法來計算，因此學好單項式的乘法是學好本單元的一個關鍵。初學時一定要讓學生明白其算理，體會乘法適合交換

22、律、結合律和同底數冪的運算性質在其中起了關鍵的作用。教學中要重視學生對算理的理解，使學生體會重要的數學思想方法轉化，而不必要求學生背誦法則。第四部分 乘法公式需要解決的問題· 本節與上節的關系是什么？（本節是上一節整式乘法的一些特例。不同的是，給了幾個乘法公式的幾何背景材料，幫助學生加深對乘法公式的理解和記憶）· 如何利用幾何背景材料，加深對公式的理解和記憶？· 如何更好地體會數形結合的數學思想方法？（讓學生通過利用式子表示圖形面積的運算而體會數形結合的數學思想）· 掌握哪些應用？（利用恒等式變形解決的一些應用問題，如：已知兩正方形邊長之和為36，面積之

23、差為72，求這兩個正方形的邊長）乘法公式應用非常廣泛，一方面可以簡化計算，另一方面也是以后學習因式分解等內容的重要基礎。乘法公式也是本章的重點之一，教學時要注意引導學生仔細觀察分析公式的結構特征，掌握公式的實質，讓學生在欣賞數學結構美的同時，體會數學公式的優越性。建議一 ：從不同角度推導、驗證兩個公式（1）從代數角度 由多項式的乘法法則推導得出。（2）從幾何角度 代數恒等式幾何背景教學，是對數形知識的綜合應用，是數形結合思想的典型滲透，在這里利用面積來驗證乘法公式，即用“形”解決“數”的問題。baabba圖1圖2代數恒等式幾何背景教學，是對數形知識的綜合應用. 練習一：用圖1可以說明 ：(a+

24、b)2 a2+b2練習二：用圖2可得等式：(a+b)2=(a-b)2+ . 建議二：重視公式的應用（1）感受公式的結構特點設計游戲 （ +）（ -）=2-2 （±）2=2±2+2例如給出(a+b-c-d)(a-b-c+d)，講清規則：把兩個因式中完全相同的項分別填入上面的方框中，把互為相反數的項填到圓形框中，這既能讓學生認清公式的本質特征又能體會其中字母的廣泛含義.（2）理解字母的廣泛含義 一般地，公式中的字母可以表示具體的數，也可以表示單項式或多項式等。在這個過程中“整體思想”的滲透是運用公式的難點。（3）公式的靈活應用 一題多變，一題多想正用、逆用、變形用練習 1、已知

25、x-y=3 ，xy=2 , 求x2y2、（xy）2的值.2、如果二次三項式x2-6x+m2是一個完全平方式，求 m的值.第五部分 整式除法建議：提倡算法多樣化由于乘除法互為逆運算，整式除法的運算可以轉化為整式的乘法來進行，因此整式乘法是整式除法的基礎。對于“整式的除法”這一單元來說，同底數冪的除法是單項式除以單項式的依據，而單項式除以單項式又是多項式除以單項式的基礎，因此學好單項式的除法是學好本單元內容的關鍵。整式的除法是以后學習公式及分式方程等的基礎，事實上，單項式除以單項式就是分式的約分，多項式除以單項式的法則就是用作為分母的單項式去除作為分子的多項式中的每一項。教學中要提倡算法多樣化，讓

26、學生說明每一步的理由，并鼓勵學生間的交流。對于多項式除以單項式，要鼓勵學生利用已經學習過的內容獨立地解決問題。第六部分 因式分解因式分解需要解決的問題：· 因式分解與整式乘法的關系？（因式分解與整式乘法是互逆變形，這是本章的理論基礎,教學時要緊緊抓住這一關鍵.同時也要讓學生準確區分因式分解與多項式乘法,防止學生出現在進行因式分解過程中,半路又做乘法的錯誤）· 如何解決課時少內容多的矛盾? （要善于使用類比、對比的方法認識概念，即找出新、舊知識的共同點與差異，這樣學生可以較快的掌握新知識；在學習新知識之前先復習相關的舊知識，為學習新知掃清障礙；為了激發學生的求知欲望，提高學生

27、的學習興趣和學習積極性,可以提出一些需要運用新知識解決的問題；備課時要對自己的教學內容的呈現方式進行統籌安排.哪些是必需要板書的,哪些適合用課件,哪些應該讓學生親自動手操作,哪些又應該印發成練習下發給學生,要做到心中有數）· 需要不需要補充？補充多少？（對后續的學習有直接影響的）· 掌握哪些應用？建議一：由淺入深、循序漸進地講授知識基礎知識要落實到位,不要急于拔高.教學時要根據教材的層次,先易后難,對于技巧性很強的因式分解的題目要少講,嚴格控制題目的難度，教學中不要隨意擴充，從用的角度學習分解因式. 建議二：準確把握因式分解定義在講解因式分解的概念時，把握兩個注意點，每講一

28、個注意點，都要配以相應的題目加以鞏固，形成圖文并茂。注意1：因式分解與整式乘法是相反方向的恒等變形，因式分解的結果必須轉化為積的形式。練習：判斷下列等式從左到右哪個是因式分解，哪個是整式乘法？（1）x21= (x+1)(x1)因式分解整式乘法 （2）(x+1)(x1) =x21總結：x21 (x+1)(x1)注意2：因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止。建議三：注重變式教學例 分解因式： x24x+4變式1：x2+44x 分析：讓學生進一步掌握公式的特征.變式2：2x2y8xy+8y 分析：先提取公因式，再用公式法.變式3：x (x4)+4 分析：先退一步進行乘法運算,再用公式分解因式.變式4：(a+b)24(a+b)+4 分析：滲透整體思想.變式5：x48x2+16 分析：連續用兩次公式(編制題目時,注意控制難度，連續用公式不能超過兩次).變式6： x24x+3 分析：用到拆項、分組分解法以及整體思想的滲透.提供幾個典型錯例，供老師參考和學生分析（1）分解因式m29n2=(m+9n)(m9n) 診斷：不明白“誰”相當于平方差公式中的b，