1、摘要：矩量法是將連續方程離散為代數方程組的方法，此方法對于求解微分方程和積分方程均適用，本文以半波振子天線為例，系統的闡述了半波振子天線的海倫積分方程的建立，利用矩量法求解海倫積分方程而得半波振子天線上的電流分布，并進一步根據電流肺部，求解半波振子天線的方向圖。關鍵字：半波振子天線；海倫積分方程；矩量法1 引言電磁輻射和散射問題的分析方法一般可以分為兩大類，即解析方法和數值方法，而實際中只有極少數集合形狀特別的電磁問題才能通過解析方法求解，大部分只能用數值方法獲得近似解。矩量法則是求解微分方程和積分方程的一種重要的數值分析方法，它從函數空間和線性算子的觀點來處理問題，具有計算效率高、處理靈活、

2、快速而精準、不限定物體幾何形狀、理論基礎較健全等諸多優點，因而在電磁場數值計算方面得到了廣泛的應用。同時，由于線天線在實際中應用廣泛，而且是分析其它天線的基礎。在矩量法分析過程中，有多種不同的積分方程可供選擇，如雙位積分方程、Hallen積分方程、Pocklington積分方程、Schelkunoff積分方程、響應積分方程等等，而前3種應用最為廣泛，因此本文采用Hallen積分方程對半波振子天線進行深入的數值分析，并用matlab編程仿真。2 矩量法的基本原理2.1 矩量法的概念矩量法是將一個算子方程化為矩陣方程，然后求解該矩陣方程的方法。在歷史上把采用基函數和檢驗函數離散化的積分方程的數值方

3、法稱為矩量法。矩量法是一種基于泛函分析理論的積分形式的數值方法，這種方法具有計算結果準確且誤差小、處理過程靈活、分析目標不限定物體幾何形狀和理論基礎健壯等優點。如果非齊次方程為 （2-1） 式中是線性算子，為已知函數，為未知函數。令： （2-2）式中是系數。被稱為展開函數或基函數。用算子的線性便可以得到: （2-3）規定了一個適當的內積<，>，那么在的值域內定義一個權函數或檢驗函數的集合，并對每個取式(2-3)的內積，則（2-4）式中1，2，3。此方程組可以寫成如下的矩陣形式 （2-5）式中（2-6） （2-7）如果矩陣是非奇異性的，于是可寫成： （2-8）2.2基函數和權函數的選

4、擇 矩量法求解算子方程的關鍵問題是基函數和權函數的選擇。在特定的問題中,主要任務是選擇基函數和權函數,它們必須是線性無關的?；瘮悼梢苑譃檎蚧头钟蚧?權函數一般有點匹配法,伽略金法,最小二乘法等。應用矩量法需注意:誤差分析;方程收斂性;積分奇異點處理等。下面分別介紹基函數和權函數的選擇：本文的基函數選擇的是正弦函數，選取這樣的基函數是考慮到它可以滿足細導體末端電流為零的邊界條件。文中用點匹配法選擇權函數。下面將簡要介紹點匹配法。若選取狄拉克函數為權函數，即令 （2-9）式中，狄拉克函數的定義為（2-10）由于，因而矩量法方程(2-6)( 2-7)相應矩陣元素的計算結果為（2-11） （2-

5、12）由此表明和的計算歸結為只需計算所在點處的對應值，因此稱這種方法為點匹配法。3 半波振子天線的矩量法求解假設半波振子天線放在Z軸線上，原點位于中點。如下圖所示：圖1半波振子天線示意圖圖1為的半波振子天下，可做如下假設：（1）電流沿導線軸流動，體電流密度可以用線電流I來近似，體電流密度用線電荷密度近似；（2）忽略天線端面的周向電流徑向電流；（3）天線上電流僅為長度變量的函數，即當半波振子天線上在加上饋電信號時，或在接收電場作用時，其上將產生電流，其電流分布按基函數展開，在此，我們將選用正弦函數作為基函數。 通過以上假設可以知道，半波振子天線的矢量磁位，而 （3-1）其中為格林函數，通過麥克勞

6、林級數展開，舍棄高次項，這樣其穩定度也較高。的表達式為： （3-2）為波數。于是z分量的電場表達式為： （3-3）由邊界條件可知：（由邊界條件可知，在導體表面切向電場為零），其中為電源所產生的場，令，為電壓，為狄拉克函數，將上述條件和（3-1），（3-2）式代入（3-3）于是便得到： （3-4）對上式進行求解為： （3-5）公式中B為常數，為自由空間的波阻抗。該方程為半波振子天線的海倫積分方程（Hallen）。海倫積分方程簡單變型為： （3-6）選擇分布電流展開表達式： （3-7） （3-8）為待定系數，這里為簡單起見，只取到N=2。將（3-7）式代入（3-6）式，并整理，可得： （3-9）式

7、中 ， ， 式中為天線的一般長度，為導體半徑，為導體表面上場點的坐標，為導體表面上源點的坐標，在軸線上。（3-9）式中有三個未知量，C，因此應選三個加權函數作為三個方程式。課題中我們求解的是=/4，為波長，為了求半波振子天線上電流分布，采用點配法，權函數選擇狄拉克函數，即，其中m=1,2N，其中選擇的點為：變換，可以選擇的值為=0，=/8，=/4，即以這三點為觀察點，分別對分成99段的天線進行觀察。運用選擇的的值對每一對（3-9）式兩邊求內積，這樣可以將（3-9）式轉變成矩陣的形式 (4)根據的取值，等號右邊的內積計算如下：并根據函數的特性，上式可化簡為 (5)式中其中除了，三個未知量，其余各

8、個元素都可以通過計算機編程來求解，然后再求解出，這樣根據公式（2）就可以求得天線上的電流分布。4應用舉例這里采用半波振子天線為例：波長為，長度為。把天線分成99（奇數）段，基函數采用三角函數，權函數采用函數。其他條件為，則半波振子部分電流值，電流分布和方向圖分別如圖所示：圖2 部分分段點的電流值圖3 電流分布示意圖圖4 E面方向性圖圖5 H面方向性圖圖6 電流分布計算數據比較本文用的基函數是正弦函數，與基函數為狄拉克函數的程序相比，推算過程有其特殊之處，故不能用普通方法驗證。但通過圖3與圖6相比可以看出，其電流分布，并與king的三項理論及Mack實驗數據曲線比較基本符合，仿真結果正確且較好。

9、附錄：程序如下所示：clear all;close all;clf;tic; % 計時N=99;% 分段數e0=8.854e-012;u0=4*pi*10(-7);c=3e+008;w=2*pi*c;%光速,角頻率lamda=1; % 波長measurement =7.022*(10)(-3); % 物體電尺寸v0=1; % 電壓常數point=3; % 待求點數range=1/4; % 求解的天線歸一化長度D=(N-1)/2+1;% D指中間段k=(2*pi)/lamda; % 波數a=measurement*lamda; % 導體半徑l=range*lamda; % 天線長度len= l

10、/N;% 將線分成奇數段,注意首末兩端的電流為0step=l/(point-1); % 點匹配間距i_point=1:point; % 測試點賦值LL(i_point)=step*(i_point-1); z=linspace(-l,l,N+1); % 積分離散% 求解A向量for i_point=1:point; r=(LL(i_point)-z).2 + a2).(1/2); % 場源距離離散 g=exp(-j*k*r)./r; % 格林函數離散 A(i_point)=trapz(z,cos(k*z).*g); % A元素確定end% 求解B向量for i_point=1:point; r

11、=(LL(i_point)-z).2 + a2).(1/2); % 場源距離離散 g=exp(-j*k*r)./r; % 格林函數離散 B(i_point)=trapz(z,sin(2*k*abs(z).*g); % B元素確定end% 求解C向量for i_point=1:point; C(i_point)=cos(k*LL(i_point); % B元素確定end% 阻抗矩陣確定ZZ=A.',B.',C.'% 電壓矩陣確定for i_point=1:point; VV(i_point)=(-j*v0/60)*sin(k*abs(LL(i_point); % B元素確

12、定 VV= 0;-j/(60*sqrt(2);-j/60;end% 求解a1,a2,C_contant;current=inv(ZZ)*VV;% 圖形表示z_distribute=linspace(0,l, N+1);current_function=current(1,1)*sin(k*(l-abs(z_distribute) +. current(2,1)*sin(2*k*(l-abs(z_distribute); % 離散化電流分布% 電流實虛部current_re=real(current_function);current_im=imag(current_function);% cu

13、rrent_value=double(current_function)此處加這句可查看具體電流值% 繪圖figure(1)plot(current_re,z_distribute,'r');hold on;plot(current_im,z_distribute,'g');xlabel('current distribution');ylabel('unitary distance')title('antenna current distribution plot');legend('real curre

14、nt','imag current',2);% E面方向圖figure(2)tt=1;for theta=0:pi/100:2*pi;for n=1: point F(n)=current_function(n+1)*len*exp(i*k*len*n*cos(theta)*sin(theta);end;FF(tt)=sum(F);tt=tt+1;end;FFmax=max(abs(FF);for ii=1:tt-1 FF(ii)=FF(ii)/FFmax;end;theta=0:pi/100:2*pi;polar(theta,abs(FF),'r');

15、title('E-plane pattern,F(theta,phi)');title('E-plane pattern,F(theta,phi)')legend('E面方向性圖','天線長L=0.25','天線分段N=99','天線半徑a= 0.007022')%view(90,78)view(90,-68)% H面方向圖figure(3) theta=pi/2;tt=1;for fai=0:pi/180:2*pifor ii=1: point FH(ii)=current_function(ii

16、)*len*exp(i*k*len*ii*cos(theta)*sin(theta);end;FHA(tt)=sum(FH);tt=tt+1;end;FHAMAX=FHA/max(FHA);fai=0:pi/180:2*pi;polar(fai,abs(FHAMAX),'r');title('H-plane pattern,F(theta,phi),theta=90');legend('歸一化的H面方向性圖','天線長L=0.25','天線分段N=99','天線半徑a= 0.007022')參考文獻1 R.F.哈林頓. 計算電磁學的矩量法.北京：國防工業出版社,1981.2 李世智. 電磁輻射與散射問題的矩量法.北京：電子工業出版社,1