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文檔簡介

1、線性代數行列式經典例題例1計算元素為aij = | ij|的n階行列式.解 方法1 由題設知，=0，故其中第一步用的是從最后一行起，逐行減前一行第二步用的每列加第列方法2 =例2. 設a, b, c是互異的實數, 證明:     的充要條件是a + b + c =0.證明: 考察范德蒙行列式:       = 行列式 即為y2前的系數. 于是= 所以 的充要條件是a + b + c = 0.例3計算D= 解： 方法1 遞推法 按第1列展開，有D= x D+（1）a = x D+ a由于D= x + a，于

2、是D= x D+ a=x（x D+a）+ a=xD+ ax + a= xD+ ax+ ax + a=方法2 第2列的x倍，第3列的x倍，第n列的x倍分別加到第1列上 =方法3 利用性質，將行列式化為上三角行列式D x k= x( + +a+x)=方法4 + + =（1）（1）a+（1）（1） ax+（1）（1）ax +（1）( a+x) x = 例4 計算n階行列式： ()解 采用升階（或加邊）法該行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不變的情況下，增加一行一列，適當選擇所增行（或列）的元素，使得下一步化簡后出現大量的零元素 =這個題的特殊情形是=可作為公式記下來例5計算n階“三對角”行列式D=解 方法1 遞推法DDDD即有遞推關系式 D=DD (n3)故 遞推得到 而，代入得 （2.1）由遞推公式得D 方法2 把D按第1列拆成2個n階行列式D=上式右端第一個行列式等于D，而第二個行列式=于是得遞推公式，已與（2.1）式相同方法3 在方法1中得遞推公式D=DD又因為當時 D=D= =-2= =于是猜想，下面用數學歸納法證明當n=1時，等式成立，假設當nk 時成立當n=k+1是，由遞推公式得D=DD =所以對于nN，等式都成立例6 計算階行列式： 其中解 這道題有多種解法方法1 化為上三角行列式其

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